В математике единичный интервал — это замкнутый интервал [0,1] , то есть набор всех действительных чисел , которые больше или равны 0 и меньше или равны 1. Его часто обозначают I (заглавная буква I). ). Помимо своей роли в реальном анализе , единичный интервал используется для изучения теории гомотопий в области топологии .
В литературе термин «единичный интервал» иногда применяется к другим формам, которые может принимать интервал от 0 до 1: (0,1] , [0,1) и (0,1) . Однако обозначение I чаще всего используется для замкнутого интервала [0,1] .
Единичный интервал представляет собой полное метрическое пространство , гомеоморфное расширенной прямой вещественных чисел . Как топологическое пространство , оно компактно , сжимаемо , линейно связно и локально линейно связно . Куб Гильберта получается топологическим произведением счетного числа копий единичного интервала.
В математическом анализе единичный интервал представляет собой одномерное аналитическое многообразие , граница которого состоит из двух точек 0 и 1. Его стандартная ориентация изменяется от 0 до 1.
Единичный интервал представляет собой полностью упорядоченное множество и полную решетку (каждое подмножество единичного интервала имеет верхнюю и нижнюю границы ).
Размер или мощность набора — это количество содержащихся в нем элементов.
Единичный интервал — это подмножество действительных чисел . Однако он имеет тот же размер, что и все множество: мощность континуума . Поскольку действительные числа могут использоваться для обозначения точек на бесконечно длинной линии , это означает, что отрезок линии длиной 1, который является частью этой линии, имеет то же количество точек, что и вся линия. Более того, он имеет такое же количество точек, как квадрат площади 1, как куб объёма 1 и даже как неограниченное n -мерное евклидово пространство (см. Кривая заполнения пространства ) .
Количество элементов (либо действительных чисел, либо точек) во всех упомянутых выше множествах несчетно , так как оно строго больше количества натуральных чисел .
Единичный интервал представляет собой кривую . Открытый интервал (0,1) является подмножеством положительных действительных чисел и наследует от них ориентацию. Ориентация меняется на обратную , когда интервал вводится с 1, например, в интеграле, используемом для определения натурального логарифма для x в интервале, что дает отрицательные значения для логарифма такого x . Фактически, этот интеграл оценивается как площадь со знаком , дающая отрицательную площадь на единичном интервале из-за обратной ориентации там.
Интервал [-1,1] длиной два, разграниченный положительными и отрицательными единицами, встречается часто, например, в диапазоне тригонометрических функций синуса и косинуса и гиперболической функции tanh. Этот интервал можно использовать для определения области определения обратных функций . Например, когда 𝜃 ограничено до [−π/2, π/2], тогда оно находится в этом интервале и там определен арксинус.
Иногда термин «единичный интервал» используется для обозначения объектов, которые играют роль в различных разделах математики, аналогичную роли, которую [0,1] играет в теории гомотопий. Например, в теории колчанов (аналогом) единичного интервала является граф, набор вершин которого равен и который содержит одно ребро e , источник которого равен 0, а цель - 1. Затем можно определить понятие гомотопии между гомоморфизмы колчана , аналогичные понятию гомотопии между непрерывными отображениями.
В логике единичный интервал [0,1] можно интерпретировать как обобщение логической области {0,1}, и в этом случае вместо того, чтобы принимать только значения 0 или 1, можно принять любое значение между 0 и 1 включительно. . Алгебраически отрицание (НЕ) заменяется на 1 − x ; союз (И) заменяется умножением ( xy ); а дизъюнкция (OR) определяется согласно законам Де Моргана как 1 - (1 - x )(1 - y ) .
Интерпретация этих значений как значений логической истинности дает многозначную логику , которая формирует основу для нечеткой логики и вероятностной логики . В этих интерпретациях значение интерпретируется как «степень» истины – насколько утверждение истинно, или вероятность того, что предложение истинно.
