Теорема Блюмберга

Любая действительная функция на R допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество R.

В математике теорема Блюмберга утверждает , что для любой вещественной функции существует плотное подмножество такое , что ограничение на является непрерывным . Он назван в честь своего первооткрывателя, российско-американского математика Генри Блумберга. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

Примеры

Например, ограничение функции Дирихле ( индикаторной функции рациональных чисел ) на непрерывно, хотя функция Дирихле нигде не непрерывна в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Пространства Блюмберга

В более общем смысле, пространство Блюмберга - это топологическое пространство , для которого любая функция допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество. Теорема Блюмберга, таким образом, утверждает, что (оснащенная своей обычной топологией) является пространством Блюмберга. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Если — метрическое пространство , то оно является пространством Блюмберга тогда и только тогда, когда оно является пространством Бэра . ^[1] Задача Блюмберга состоит в том, чтобы определить, должен ли хаусдорфовский компакт быть Блюмбергом. Контрпример был дан в 1974 году Ронни Леви, обусловленный гипотезой Лузина , что ^[2] Проблема была решена в 1975 году Уильямом А.Р. Вайсом, который дал безусловный контрпример. Оно было построено путем непересекающегося объединения двух компактных хаусдорфовых пространств, одно из которых можно было бы доказать как неблюмберговское, если бы гипотеза континуума была верной, а другое — если бы оно было ложным. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{1}}.}$

Мотивация и обсуждение

Ограничение любой непрерывной функции на любое подмножество ее области определения (плотное или иное) всегда непрерывно, поэтому вывод теоремы Блюмберга интересен только для функций, которые не являются непрерывными. Учитывая, что функция не является непрерывной, обычно неудивительно обнаружить, что ее ограничение на некоторое подмножество снова не является непрерывным, ^{[примечание 1]} , и поэтому (потенциально) интересны только те ограничения, которые непрерывны. Однако не все подобные ограничения интересны. Например, ограничение любой функции (даже такой интересной, как функция Дирихле ) на любое подмножество, на котором она постоянна, будет непрерывным, хотя этот факт так же неинтересен, как и постоянные функции. Точно так же неинтересно, что ограничение любой функции (непрерывной или нет) на одну точку или на любое конечное подмножество (или, в более общем смысле, на любое дискретное подпространство , такое как целые числа ) будет непрерывным. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Значительно более интересным является случай прерывистой функции , ограничение которой на некоторое плотное подмножество (ее область определения) является непрерывным. Важным фактом о непрерывных функциях со значениями, определенными на плотных подмножествах, является то, что непрерывное расширение на все из , если оно существует, будет уникальным (существуют непрерывные функции, определенные на плотных подмножествах, таких как которые не могут быть непрерывно расширены на все из ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f(x)=1/x,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Функция Томаэ , например, не является непрерывной (фактически она разрывна для каждого рационального числа), хотя ее ограничение на плотное подмножество иррациональных чисел непрерывно. Аналогично, каждая аддитивная функция , которая не является линейной (то есть не имеет вида для некоторой константы ), является нигде непрерывной функцией , ограничение которой на непрерывно (такие функции являются нетривиальными решениями функционального уравнения Коши ). Возникает вопрос: всегда ли можно найти такое плотное подмножество? Теорема Блюмберга отвечает на этот вопрос утвердительно. Другими словами, каждая функция – независимо от того, насколько плохо она себя ведет – может быть ограничена некоторым плотным подмножеством, на котором она непрерывна. Иными словами, теорема Блюмберга показывает, что не существует функции , которая бы вела себя настолько плохо (с точки зрения непрерывности), что все ее ограничения на все возможные плотные подмножества были разрывными. ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto cx}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Вывод теоремы становится более интересным по мере того, как функция становится более патологической или плохо себя ведет. Представьте себе, например, что вы определяете функцию, выбирая каждое значение совершенно случайным образом (чтобы ее график выглядел как бесконечное множество точек, случайно разбросанных по плоскости ); как бы вы это ни представляли, теорема Блюмберга гарантирует, что даже у этой функции есть некоторое плотное подмножество, на котором ее ограничение непрерывно. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Смотрите также

• Теорема о замкнутом графе (функциональный анализ)  - Теоремы, связывающие непрерывность с замыканием графов.
• Плотно определенный оператор  - функция, которая определена почти везде (математика).
• Теорема Хана – Банаха  - Теорема о продолжении ограниченных линейных функционалов.
• Теорема о расширении Титце  . Непрерывные карты на замкнутом подмножестве нормального пространства можно расширить.
• Теорема о расширении Уитни  - частичное обращение теоремы Тейлора

Примечания

1. Любая функция , которая не является непрерывной, может быть ограничена некоторым плотным подмножеством (в частности, ее областью определения), на котором ее ограничение не является непрерывным, поэтому интересны только те подмножества, на которых ее ограничение непрерывно . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f\vert _{D}}$

Цитаты

1. Брэдфорд и Гоффман 1960.
2. Леви 1974.
3. Вайс 1975, Вайс 1977.

Рекомендации

• Блумберг, Генри (1922). «Новые свойства всех вещественных функций» (PDF) . Труды Национальной академии наук . 8 (1): 283–288. дои : 10.1073/pnas.8.10.283 . ПМЦ  1085149 . ПМИД  16586898.
• Блумберг, Генри (сентябрь 1922 г.). «Новые свойства всех действительных функций». Труды Американского математического общества . 24 (2): 113–128. дои : 10.1090/S0002-9947-1922-1501216-9 . JSTOR  1989037 .
• Брэдфорд, Джей Си; Гоффман, Каспер (1960). «Метрические пространства, в которых справедлива теорема Блюмберга». Труды Американского математического общества . 11 : 667-670.
• «Вариации теоремы Блюмберга», Джек Б. Браун, Real Analysis Exchange 9 , № 1 (1983/1984), стр. 123–137, номер документа : 10.2307/44153521, JSTOR  44153521.
• «Большие» непрерывные ограничения произвольных функций», К. К. Чесельски, М. Е. Мартинес-Гомес и Дж. Б. Сеоан-Сепульведа, The American Mathematical Monthly , 126 , № 6 (июнь-июль 2019 г.), стр. 547-552, JSTOR  48661187.
• «Сильно неблюмберговские пространства», Ронни Леви, Общая топология и ее приложения , 4 , № 2 (июнь 1974 г.), стр. 173–177, doi : 10.1016/0016-660X(74)90019-1.
• «Решение проблемы Блюмберга», Уильям А. Р. Вайс, Бюллетень Американского математического общества 81 , № 5 (сентябрь 1975 г.), стр. 957–958, номер документа : 10.1090/S0002-9904-1975-13914-0.
• «Проблема Блюмберга», Уильям А. Р. Вайс, Труды Американского математического общества 230 (июнь 1977 г.), стр. 71–85, номер документа : 10.2307/1997712, JSTOR  1997712.
• Уайт, HE (1974). «Топологические пространства, в которых справедлива теорема Блюмберга». Труды Американского математического общества . 44 : 454–462.
• «Теорема Блюмберга», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]