Месторождение Леви-Чивита

Система чисел с неконечными величинами

В математике поле Леви-Чивита , названное в честь Туллио Леви-Чивита , ^[1] — неархимедово упорядоченное поле ; т. е. система чисел, содержащая бесконечные и бесконечно малые величины. Обычно обозначается . ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Каждый член может быть построен как формальный ряд вида ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q},}$

где — множество рациональных чисел , коэффициенты — действительные числа, и должно интерпретироваться как фиксированная положительная бесконечно малая величина. Мы требуем, чтобы для каждого рационального числа было только конечное число меньше, чем с ; это ограничение необходимо для того, чтобы сделать умножение и деление четко определенными и уникальными. Две такие серии считаются равными, только если все их коэффициенты равны. Порядок определяется в соответствии со словарным порядком списка коэффициентов, что эквивалентно предположению, что является бесконечно малой величиной. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a_{q}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a_{q}\neq 0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Действительные числа встраиваются в это поле в виде рядов, в которых все коэффициенты обращаются в нуль, за исключением . ${\displaystyle a_{0}}$

Примеры

• ${\displaystyle 7\varepsilon }$— бесконечно малая величина, которая больше , чем , но меньше любого положительного действительного числа. ${\displaystyle \varepsilon }$
• ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$меньше, чем , а также меньше, чем для любого положительного действительного числа . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r\varepsilon }$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle 1+\varepsilon }$отличается от 1 на бесконечно малую величину.
• ${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}}$больше и даже больше, чем для любого положительного действительного числа , но все еще меньше, чем любое положительное действительное число. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r\varepsilon }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}}$
• ${\displaystyle 1/\varepsilon }$больше любого действительного числа.
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}+\cdots +{\frac {1}{n!}}\varepsilon ^{n}+\cdots }$интерпретируется как , что бесконечно мало отличается от 1. ${\displaystyle e^{\varepsilon }}$
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +2\varepsilon ^{2}+\cdots +n!\varepsilon ^{n}+\cdots }$является допустимым членом поля, поскольку ряд должен быть построен формально, без учета сходимости .

Определение полевых операций и положительного конуса

Если и — два ряда Леви-Чивита, то ${\displaystyle a=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q}}$ ${\displaystyle b=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }b_{q}\varepsilon ^{q}}$

• их сумма является поточечной суммой . ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a+b:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }(a_{q}+b_{q})\varepsilon ^{q}}$
• их продукт — продукт Коши . ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle ab:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }\left(\sum \limits _{r+s=q}a_{r}b_{s}\right)\varepsilon ^{q}}$

(Можно проверить, что для каждого множество конечно, так что все произведения корректно определены, и что полученный ряд определяет допустимый ряд Леви-Чивиты.) ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :\ r+s=q,\ a_{r}\neq 0,\ b_{s}\neq 0\}}$

• соотношение выполняется, если (т.е. по крайней мере один коэффициент отличен от нуля) и наименьший отличный от нуля коэффициент строго положителен. ${\displaystyle 0<a}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Оснащенное этими операциями и порядком, поле Леви-Чивиты действительно является упорядоченным расширением поля, где ряд является положительной бесконечно малой величиной. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Свойства и применение

Поле Леви-Чивиты является вещественно-замкнутым , что означает, что его можно алгебраически замкнуть , присоединив мнимую единицу ( i ) или позволив коэффициентам быть комплексными . Оно достаточно богато, чтобы позволить провести значительный объем анализа, но его элементы все еще могут быть представлены на компьютере в том же смысле, в котором действительные числа могут быть представлены с использованием плавающей точки . Это основа автоматического дифференцирования , способа выполнения дифференцирования в случаях, которые не поддаются символическому дифференцированию или методам конечных разностей. ^[2]

Поле Леви-Чивиты также является полным по Коши , что означает, что, релятивизируя определения последовательности Коши и сходящейся последовательности к последовательностям рядов Леви-Чивиты, каждая последовательность Коши в поле сходится. Эквивалентно, у нее нет собственного расширения плотного упорядоченного поля. ${\displaystyle \forall \exists \forall }$

Как упорядоченное поле, оно имеет естественную оценку, заданную рациональной экспонентой, соответствующей первому ненулевому коэффициенту ряда Леви-Чивиты. Кольцо оценки — это кольцо рядов, ограниченных действительными числами, поле вычетов — , а группа значений — . Результирующее поле оценок является гензелевым (будучи вещественно замкнутым с выпуклым кольцом оценок), но не сферически полным . Действительно, поле рядов Хана с действительными коэффициентами и группой значений является собственным непосредственным расширением, содержащим ряды, такие как , которые не находятся в поле Леви-Чивиты. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ ${\displaystyle 1+\varepsilon ^{1/2}+\varepsilon ^{2/3}+\varepsilon ^{3/4}+\varepsilon ^{4/5}+\cdots }$

Отношения к другим упорядоченным полям

Поле Леви-Чивиты является пополнением Коши поля рядов Пюизё над полем действительных чисел, то есть это плотное расширение без собственного плотного расширения. Вот список некоторых его примечательных собственных подполей и его собственных упорядоченных расширений полей: ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Известные подполя

• Поле действительных чисел. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Поле дробей действительных многочленов ( рациональных функций ) с бесконечно малой положительной неизвестной . ${\displaystyle \mathbb {R} (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• Поле формальных рядов Лорана над . ${\displaystyle \mathbb {R} ((\varepsilon ))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Поле ряда Пюизё над . ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Известные расширения

• Поле рядов Хана с действительными коэффициентами и рациональными показателями степеней. ${\displaystyle \mathbb {R} [[\varepsilon ^{\mathbb {Q} }]]}$
• Поле логарифмически -экспоненциальных трансрядов . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$
• Поле сюрреалистических чисел с датой рождения под первой цифрой . ${\displaystyle \mathbf {No} (\varepsilon _{0})}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$
• Поля гипердействительных чисел, построенные как ультрастепени по модулю свободного ультрафильтра (хотя здесь вложения не являются каноническими). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Ссылки

1. Леви-Чивита, Туллио (1893). «Sugli infiniti ed Infinitisimi Attuali Quali Elementi Analitici» [О актуальных бесконечностях и бесконечно малых как аналитических элементах]. Atti Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti (на итальянском языке). ЛИ (7а): 1795–1815.
2. Ходр Шамседдин, Мартин Берц «Анализ поля Леви-Чивиты: краткий обзор», Contemporary Mathematics , 508 стр. 215–237 (2010)

Внешние ссылки

• Веб-калькулятор для чисел Леви-Чивиты