кольцо Гензеля

В математике гензелево кольцо ( или кольцо Гензеля ) — локальное кольцо , в котором верна лемма Гензеля . Они были введены Адзумайей (1951), который назвал их в честь Курта Гензеля . Первоначально Адзумайя допускал, чтобы гензелевы кольца были некоммутативными , но большинство авторов сейчас ограничивают их коммутативностью .

Некоторые стандартные ссылки на кольца Гензеля: (Nagata 1975, Глава VII), (Raynaud 1970) и (Grothendieck 1967, Глава 18).

Определения

В этой статье кольца будут предполагаться коммутативными, хотя существует также теория некоммутативных гензелевых колец.

• Локальное кольцо R с максимальным идеалом m называется гензелевым, если выполняется лемма Гензеля. Это означает, что если P — монический многочлен в R [ x ], то любое разложение его образа P в ( R / m )[ x ] в произведение взаимно простых монических многочленов может быть поднято до разложения в R [ x ].
• Локальное кольцо является гензелевым тогда и только тогда, когда каждое конечное расширение кольца является произведением локальных колец.
• Гензелево локальное кольцо называется строго гензелевым, если его поле вычетов сепарабельно замкнуто .
• Злоупотребляя терминологией , поле с оценкой называется гензелевым, если его кольцо оценки гензелевое. Это так, если и только если расширяется единственным образом на каждое конечное расширение (соотв. на каждое конечное отделимое расширение , соотв. на , соотв. на ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{alg}}$ ${\displaystyle K^{sep}}$
• Кольцо называется гензелевым, если оно является прямым произведением конечного числа гензелевых локальных колец.

Характеристики

• Предположим, что — гензелово поле. Тогда каждое алгебраическое расширение является гензеловым (по четвертому определению выше). ${\displaystyle (K,v)}$ ${\displaystyle K}$
• Если — гензелево поле и алгебраично над , то для любого сопряженного над , . Это следует из четвертого определения и из того факта, что для любого K-автоморфизма , является расширением . Обратное утверждение также верно, поскольку для нормального расширения поля расширения до , как известно, сопряжены. ^[1] ${\displaystyle (K,v)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v(\alpha ')=v(\alpha )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K^{alg}}$ ${\displaystyle v\circ \sigma }$ ${\displaystyle v|_{K}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L}$

Гензелевы кольца в алгебраической геометрии

Гензелевы кольца являются локальными кольцами относительно топологии Нисневича в том смысле, что если — гензелево локальное кольцо, а — покрытие Нисневича , то одно из является изоморфизмом. Это следует сравнить с тем фактом, что для любого открытого покрытия Зарисского спектра локального кольца одно из является изоморфизмом. Фактически, это свойство характеризует гензелевы кольца, соответственно, локальные кольца. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle X=Spec(R)}$ ${\displaystyle U_{i}\to X}$ ${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle X=Spec(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U_{i}\to X}$

Аналогично строгие гензелевы кольца являются локальными кольцами геометрических точек в этальной топологии .

Гензелизация

Для любого локального кольца A существует универсальное гензелово кольцо B , порожденное A , называемое гензелизацией кольца A , введенное Нагатой (1953), такое, что любой локальный гомоморфизм из A в гензелово кольцо может быть единственным образом продолжен на B . Гензелизация кольца A единственна с точностью до единственного изоморфизма . Гензелизация кольца A является алгебраической заменой для пополнения кольца A . Гензелизация кольца A имеет то же поле пополнения и вычетов, что и A , и является плоским модулем над A . Если A является нётеровым , приведенным , нормальным , регулярным или превосходным , то его гензелизация также является таковой. Например, гензелизация кольца многочленов k [ x , y ,...], локализованного в точке (0,0,...), является кольцом алгебраических формальных степенных рядов (формальных степенных рядов, удовлетворяющих алгебраическому уравнению). Это можно рассматривать как «алгебраическую» часть пополнения.

Аналогично существует строго гензелово кольцо, порождённое A , называемое строгой гензелизацией A . Строгая гензелизация не совсем универсальна: она единственна, но только с точностью до неединственного изоморфизма. Точнее, она зависит от выбора отделимого алгебраического замыкания поля вычетов A , и автоморфизмы этого отделимого алгебраического замыкания соответствуют автоморфизмам соответствующей строгой гензелизации. Например, строгая гензелизация поля p -адических чисел задаётся максимальным неразветвлённым расширением, порождённым всеми корнями из единицы порядка, простого с p . Она не «универсальна», поскольку имеет нетривиальные автоморфизмы.

Примеры

• Каждое поле является гензелевым локальным кольцом. (Но не каждое поле с оценкой является «гензелевым» в смысле четвертого определения выше.)
• Полные хаусдорфовы локальные кольца, такие как кольцо целых p -адических чисел и кольца формальных степенных рядов над полем, являются гензелевыми.
• Кольца сходящихся степенных рядов по действительным или комплексным числам являются гензелевыми.
• Кольца алгебраических степенных рядов над полем являются гензелевыми.
• Локальное кольцо, целое над гензелевым кольцом, является гензелевым.
• Гензелизация локального кольца — это гензелево локальное кольцо.
• Каждое частное гензелева кольца является гензеловым.
• Кольцо A является гензелевым тогда и только тогда, когда соответствующее ему редуцированное кольцо A _red является гензелевым (это частное кольца A по идеалу нильпотентных элементов ).
• Если A имеет только один простой идеал , то он гензелев, поскольку A _red является полем.

Ссылки

1. AJ Engler, A. Prestel, Valued fields , Springer monographs of Mathematics, 2005, thm. 3.2.15, стр. 69.

• Адзумая, Горо (1951), «О максимально центральных алгебрах», Nagoya Mathematical Journal , 2 : 119–150, doi : 10.1017/s0027763000010114 , ISSN  0027-7630, MR  0040287
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Кольцо Гензеля», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Гротендик, Александр (1967), «Элементы алгебраической геометрии (редиги с сотрудничеством Жана Дьедонне): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième party», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5–361 , doi : 10.1007/BF02732123, заархивировано из оригинала 03 марта 2016 г. , получено 9 декабря 2007 г.
• Курке, Х.; Пфистер, Г.; Роцен, М. (1975), Henselsche Ringe und алгебраической геометрии , Mathematische Monographien, vol. II, Берлин: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , MR  0491694
• Нагата, Масаёси (1953), «О теории гензелевых колец», Nagoya Mathematical Journal , 5 : 45–57, doi : 10.1017/s0027763000015439 , ISSN  0027-7630, MR  0051821
• Нагата, Масаёси (1954), «О теории гензелевых колец. II», Nagoya Mathematical Journal , 7 : 1–19, doi : 10.1017/s002776300001802x , ISSN  0027-7630, MR  0067865
• Нагата, Масаёси (1959), «О теории гензелевых колец. III», Мемуары Колледжа наук, Университет Киото. Серия A: Математика , 32 : 93–101, doi : 10.1215/kjm/1250776700 , MR  0109835
• Нагата, Масаёси (1975) [1962], Локальные кольца , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, т. 13 (переиздание), Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, стр. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, МР  0155856
• Рейно, Мишель (1970), Anneaux locaux henséliens , Конспекты лекций по математике, том. 169, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. v+129, doi : 10.1007/BFb0069571, ISBN. 978-3-540-05283-8, МР  0277519