Неотъемлемый элемент

В коммутативной алгебре элемент b коммутативного кольца B называется целым над подкольцом A кольца B, если b является корнем некоторого монического многочлена над A. ^[1 ]

Если A , B — поля , то понятия «интеграл над» и «интегральное расширение» — это в точности « алгебраическое над» и « алгебраические расширения » в теории поля (поскольку корень любого многочлена является корнем монического многочлена).

Наибольший интерес в теории чисел представляет случай комплексных чисел, целых по Z (например, или ); в этом контексте целые элементы обычно называются алгебраическими целыми числами . Алгебраические целые числа в конечном поле расширения k рациональных чисел Q образуют подкольцо k , называемое кольцом целых чисел k , центральный объект изучения в алгебраической теории чисел . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1+i}$

В данной статье под термином « кольцо» будет пониматься коммутативное кольцо с мультипликативным тождеством.

Определение

Пусть будет кольцом и пусть будет подкольцом кольца. Элемент кольца называется целым над кольцом, если для некоторого кольца существует такое , что ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ \dots ,\ a_{n-1}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0.}$$

Множество элементов из , которые целы над , называется целым замыканием в . Целое замыкание любого подкольца в само по себе является подкольцом и содержит Если каждый элемент из целочислен над , то мы говорим, что цело над , или, что эквивалентно, является целым расширением ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

Примеры

Интегральное замыкание в алгебраической теории чисел

Существует множество примеров интегрального замыкания, которые можно найти в алгебраической теории чисел, поскольку оно имеет основополагающее значение для определения кольца целых чисел для алгебраического расширения поля (или ). ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle L/\mathbb {Q} _{p}}$

Интегральное замыкание целых чисел в рациональных числах

Целые числа — единственные элементы Q , которые являются целыми над Z. Другими словами, Z — это целое замыкание Z в Q.

Квадратичные расширения

Гауссовы целые числа являются комплексными числами вида и являются целыми по Z . Тогда — это интегральное замыкание Z в . Обычно это кольцо обозначается . ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}},\,a,b\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [i]}}$

Целочисленное замыкание Z в — это кольцо ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {5}})}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right]}$

Этот пример и предыдущий являются примерами квадратичных целых чисел . Целочисленное замыкание квадратичного расширения можно найти, построив минимальный многочлен произвольного элемента и найдя теоретико-числовой критерий того, что многочлен имеет целые коэффициенты. Этот анализ можно найти в статье о квадратичных расширениях . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$

Корни единства

Пусть ζ — корень из единицы . Тогда интегральное замыкание Z в круговом поле Q (ζ) равно Z [ζ]. ^[2] Это можно найти, используя минимальный многочлен и используя критерий Эйзенштейна .

Кольцо целых алгебраических чисел

Целочисленное замыкание Z в поле комплексных чисел C , или алгебраическое замыкание, называется кольцом целых алгебраических чисел . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$

Другой

Корни из единицы , нильпотентные элементы и идемпотентные элементы в любом кольце целы над Z.

Интегральное замыкание в алгебраической геометрии

В геометрии интегральное замыкание тесно связано с нормализацией и нормальными схемами . Это первый шаг в разрешении особенностей , поскольку он дает процесс разрешения особенностей коразмерности 1.

• Например, целочисленное замыкание есть кольцо , поскольку геометрически первое кольцо соответствует -плоскости, объединенной с -плоскостью. Они имеют особенность коразмерности 1 вдоль -оси, где они пересекаются. ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(xy)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,z]\times \mathbb {C} [y,z]}$ ${\displaystyle xz}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle z}$
• Пусть конечная группа G действует на кольце A. Тогда A цело над AG , множеством элементов, фиксированным ^G ; см. Кольцо инвариантов .
• Пусть R — кольцо, а u — единица в кольце, содержащем R. Тогда ^[3]

1. u ⁻¹ является целым над R тогда и только тогда, когда u ⁻¹ ∈ R [ u ].
2. ${\displaystyle R[u]\cap R[u^{-1}]}$является целым по R.
3. Целое замыкание однородного координатного кольца нормального проективного многообразия X есть кольцо сечений ^[4]

${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {H} ^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).}$

Целостность в алгебре

• Если — алгебраическое замыкание поля k , то — целочисленное по ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$
• Целое замыкание C [[ x ]] в конечном расширении C (( x )) имеет вид (ср. ряд Пюизе ) ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \mathbf {C} [[x^{1/n}]]}$

Эквивалентные определения

Пусть B — кольцо, а A — подкольцо B. Для элемента b из B следующие условия эквивалентны:

(i) b является целым по A ;

(ii) подкольцо A [ b ] кольца B, порожденное A и b, является конечно порожденным A -модулем ;

(iii) существует подкольцо C кольца B, содержащее A [ b ] и являющееся конечно порожденным A -модулем;

(iv) существует точный A [ b ]-модуль M, такой что M конечно порожден как A -модуль.

Обычное доказательство этого использует следующий вариант теоремы Кэли–Гамильтона об определителях :

Теорема Пусть u — эндоморфизм A -модуля M , порожденный n элементами, а I — идеал A такой , что . Тогда имеет место соотношение: ${\displaystyle u(M)\subset IM}$

${\displaystyle u^{n}+a_{1}u^{n-1}+\cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,\,a_{i}\in I^{i}.}$

Эта теорема (с I = A и умножением u на b ) дает (iv) ⇒ (i), а остальное просто. По совпадению, лемма Накаямы также является непосредственным следствием этой теоремы.

Элементарные свойства

Цельное закрытие образует кольцо

Из приведенных выше четырех эквивалентных утверждений следует, что множество элементов , которые целы над , образует подкольцо , содержащее . (Доказательство: если x , y — элементы , которые целы над , то являются целыми над , поскольку они стабилизируют , который является конечно порожденным модулем над и аннулируется только нулем.) ^[5] Это кольцо называется целым замыканием в . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x+y,xy,-x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[x]A[y]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Транзитивность целостности

Другим следствием приведенной выше эквивалентности является то, что «целостность» транзитивна в следующем смысле. Пусть будет кольцом, содержащим и . Если является целым над и целым над , то является целым над . В частности, если само является целым над и целым над , то также является целым над . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$

Интеграл замкнут в дробном поле

Если является целочисленным замыканием в , то говорят, что A является целочисленно замкнутым в . Если является полным кольцом дробей , (например, поле дробей, когда является областью целостности ), то иногда опускают квалификацию «в » и просто говорят «целочисленное замыкание » и « является целочисленно замкнутым ». ^[6] Например, кольцо целых чисел является целочисленно замкнутым в поле . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$

Транзитивность целочисленного замыкания с целочисленно замкнутыми областями

Пусть A — область целостности с полем дробей K , а A' — целочисленное замыкание A в алгебраическом расширении поля L поля K. Тогда поле дробей A' равно L. В частности, A' — целозамкнутая область .

Транзитивность в алгебраической теории чисел

Эта ситуация применима в алгебраической теории чисел при связывании кольца целых чисел и расширения поля. В частности, при заданном расширении поля интегральное замыкание в является кольцом целых чисел . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

Замечания

Обратите внимание, что транзитивность целочисленности выше подразумевает, что если является целым над , то является объединением (что эквивалентно индуктивному пределу ) подколец, которые являются конечно порожденными -модулями. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Если является нётеровым , транзитивность целочисленности можно ослабить до утверждения: ${\displaystyle A}$

Существует конечно порождённый -подмодуль , содержащий . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A[b]}$

Связь с условиями конечности

Наконец, предположение, что быть подкольцом может быть немного изменено. Если является гомоморфизмом колец , то говорят, что является целым, если является целым над . Точно так же говорят, что является конечным ( конечно порожденным -модулем) или имеет конечный тип ( конечно порожденная -алгебра ). С этой точки зрения, можно сказать, что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle f}$конечен тогда и только тогда, когда целочисленен и имеет конечный тип. ${\displaystyle f}$

Или более конкретно,

${\displaystyle B}$является конечно порождённым -модулем тогда и только тогда, когда порождается как -алгебра конечным числом элементов, целых по . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Интегральные расширения

Теоремы Коэна-Зейденберга

Целочисленное расширение A  ⊆  B обладает свойством восхождения , свойством лежания и свойством несравнимости ( теоремы Коэна–Зейденберга ). Явно, если задана цепочка простых идеалов в A, то существует a в B с (восхождением и лежанием) и два различных простых идеала с отношением включения не могут стягиваться в один и тот же простой идеал (несравнимость). В частности, размерности Крулля A и B одинаковы. Более того, если A — целозамкнутая область, то имеет место свойство схождения (см. ниже). ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}'_{i}\cap A}$

В общем, подъем подразумевает лежание. ^[7] Таким образом, ниже мы просто говорим «подъем», имея в виду «подъем» и «лежание».

Когда A , B — области, такие, что B целочисленно над A , A является полем тогда и только тогда, когда B является полем. Как следствие , имеем: если задан простой идеал B , является максимальным идеалом B тогда и только тогда, когда является максимальным идеалом A. Другое следствие: если L / K — алгебраическое расширение, то любое подкольцо L, содержащее K , является полем. ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A}$

Приложения

Пусть B — кольцо, целостное над подкольцом A , а k — алгебраически замкнутое поле . Если — гомоморфизм, то f продолжается до гомоморфизма B → k . ^[8] Это следует из дальнейшего. ${\displaystyle f:A\to k}$

Геометрическая интерпретация восхождения

Пусть — целочисленное расширение колец. Тогда индуцированное отображение ${\displaystyle f:A\to B}$

${\displaystyle {\begin{cases}f^{\#}:\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A\\p\mapsto f^{-1}(p)\end{cases}}}$

является замкнутым отображением ; фактически, для любого идеала I и является сюръективным , если f является инъективным . Это геометрическая интерпретация восхождения. ${\displaystyle f^{\#}(V(I))=V(f^{-1}(I))}$ ${\displaystyle f^{\#}}$

Геометрическая интерпретация интегральных расширений

Пусть B — кольцо, а A — подкольцо, которое является нётеровой целозамкнутой областью (т. е. является нормальной схемой ). Если B целочисленно над A , то является субмерсивным; т. е. топология является топологией фактора . [ ^9] Доказательство использует понятие конструктивных множеств . (См. также: Торсор (алгебраическая геометрия) .) ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$

Целостность, базис-изменение, универсально-замкнутость и геометрия

Если является целым над , то является целым над R для любой A -алгебры R . ^[10] В частности, является замкнутым; т. е. интегральное расширение индуцирует " универсально замкнутое " отображение. Это приводит к геометрической характеристике интегрального расширения . А именно, пусть B будет кольцом только с конечным числом минимальных простых идеалов (например, областью целостности или нётеровым кольцом). Тогда B является целым над (подкольцом) A тогда и только тогда, когда является замкнутым для любой A -алгебры R . ^[11] В частности, каждое собственное отображение является универсально замкнутым. ^[12] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\otimes _{A}R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R}$

Действия Галуа на интегральных расширениях целозамкнутых областей

Предложение. Пусть A — целозамкнутая область с полем дробей K , L — конечное нормальное расширение K , B — целочисленное замыкание A в L. Тогда группа действует транзитивно на каждом слое . ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

Доказательство. Предположим для любого в G . Тогда, по принципу избегания простого числа , существует элемент x в , такой что для любого . G фиксирует элемент и, таким образом, y является чисто неотделимым над K . Тогда некоторая мощность принадлежит K ; поскольку A является целозамкнутым, мы имеем: Таким образом, мы обнаружили , что находится в , но не в ; т. е . . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}\neq \sigma ({\mathfrak {p}}_{1})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}}$ ${\displaystyle \sigma (x)\not \in {\mathfrak {p}}_{1}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle y=\prod \nolimits _{\sigma }\sigma (x)}$ ${\displaystyle y^{e}}$ ${\displaystyle y^{e}\in A.}$ ${\displaystyle y^{e}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}\cap A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\cap A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\cap A\neq {\mathfrak {p}}_{2}\cap A}$

Применение к алгебраической теории чисел

Группа Галуа затем действует на все простые идеалы, лежащие над фиксированным простым идеалом . ^[13] То есть, если ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$

то на множестве есть действие Галуа . Это называется Расщеплением простых идеалов в расширениях Галуа . ${\displaystyle S_{\mathfrak {p}}=\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}}$

Замечания

Та же идея в доказательстве показывает, что если — чисто неотделимое расширение (не обязательно нормальное), то — биекция . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

Пусть A , K и т. д. как и прежде, но предположим, что L — это только конечное расширение поля K. Тогда

(i) имеет конечные волокна. ${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

(ii) между A и B имеет место сближение : при этом существует то, что сжимается до него. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'_{n}\cap A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}}$

Действительно, в обоих утверждениях, увеличивая L , мы можем предположить, что L является нормальным расширением. Тогда (i) выполняется немедленно. Что касается (ii), то, поднимаясь, мы можем найти цепь , которая сжимается до . По транзитивности существует такое, что и тогда являются искомой цепью. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}''_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{i}}$ ${\displaystyle \sigma \in G}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {p}}''_{n})={\mathfrak {p}}'_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{i}=\sigma ({\mathfrak {p}}''_{i})}$

Интегральное закрытие

Пусть A ⊂ B — кольца, а A' — целое замыкание A в B. (Определение см. выше.)

Целочисленные замыкания ведут себя хорошо при различных конструкциях. В частности, для мультипликативно замкнутого подмножества S из A локализация S ⁻¹ A' является целочисленным замыканием S ⁻¹ A в S ⁻¹ B , и является целочисленным замыканием в . ^[14] Если являются подкольцами колец , то целочисленное замыкание в равно , где являются целочисленными замыканиями в . ^[15] ${\displaystyle A'[t]}$ ${\displaystyle A[t]}$ ${\displaystyle B[t]}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{i},1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle \prod A_{i}}$ ${\displaystyle \prod B_{i}}$ ${\displaystyle \prod {A_{i}}'}$ ${\displaystyle {A_{i}}'}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

Целочисленное замыкание локального кольца A , скажем, в B , не обязательно должно быть локальным. (В этом случае кольцо называется унибранным .) Это имеет место, например, когда A является гензелевым , а B является расширением поля дробей A.

Если A — подкольцо поля K , то целочисленное замыкание A в K — это пересечение всех колец нормирования поля K , содержащих A.

Пусть A — -градуированное подкольцо -градуированного кольца B. Тогда целое замыкание A в B является -градуированным подкольцом B. ^[16 ] ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Существует также понятие интегрального замыкания идеала . Интегральное замыкание идеала , обычно обозначаемое как , представляет собой множество всех элементов, таких, что существует монический многочлен ${\displaystyle I\subset R}$ ${\displaystyle {\overline {I}}}$ ${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x^{1}+a_{n}}$

с корнем . ^{[17] [18]} Радикал идеала целозамкнут. ^{[19] [20]} ${\displaystyle a_{i}\in I^{i}}$ ${\displaystyle r}$

Для нётеровых колец существуют также альтернативные определения.

• ${\displaystyle r\in {\overline {I}}}$если существует , не содержащийся ни в каком минимальном простом числе, такой, что для всех . ${\displaystyle c\in R}$ ${\displaystyle cr^{n}\in I^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$
• ${\displaystyle r\in {\overline {I}}}$если в нормализованном раздутии I обратный пул r содержится в обратном образе I . Раздутие идеала — это операция схем, которая заменяет заданный идеал главным идеалом. Нормализация схемы — это просто схема, соответствующая целочисленному замыканию всех ее колец.

Понятие целочисленного замыкания идеала используется в некоторых доказательствах теоремы о спуске .

Дирижер

Пусть B — кольцо, а A — подкольцо B, такое что B цело над A. Тогда аннулятор A -модуля B / A называется кондуктором A в B. Поскольку это понятие возникло в алгебраической теории чисел , кондуктор обозначается как . Явно, состоит из элементов a в A , таких что . (ср. идеализатор в абстрактной алгебре.) Это наибольший идеал A , который также является идеалом B. ^[21] Если S — мультипликативно замкнутое подмножество A , то ${\displaystyle {\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}(B/A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle aB\subset A}$

${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)={\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A)}$.

Если B является подкольцом полного кольца дробей A , то мы можем идентифицировать

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Hom} _{A}(B,A)}$.

Пример: Пусть k — поле и пусть (т.е. A — координатное кольцо аффинной кривой ). B — целочисленное замыкание A в . Проводник A в B — идеал . В более общем случае проводник , a , b — взаимно простые числа, имеет вид . ^[22] ${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset B=k[t]}$ ${\displaystyle x^{2}=y^{3}}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle (t^{2},t^{3})A}$ ${\displaystyle A=k[[t^{a},t^{b}]]}$ ${\displaystyle (t^{c},t^{c+1},\dots )A}$ ${\displaystyle c=(a-1)(b-1)}$

Предположим, что B — это целое замыкание области целостности A в поле дробей A, такое, что A -модуль конечно порожден. Тогда кондуктор A — идеал, определяющий носитель ; таким образом, A совпадает с B в дополнении к в . В частности, множество , дополнение к , является открытым множеством . ${\displaystyle B/A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle B/A}$ ${\displaystyle V({\mathfrak {f}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid A_{\mathfrak {p}}{\text{ is integrally closed}}\}}$ ${\displaystyle V({\mathfrak {f}})}$

Конечность интегрального замыкания

Важный, но сложный вопрос — о конечности целочисленного замыкания конечно порожденной алгебры. Известно несколько результатов.

Целочисленное замыкание дедекиндовой области в конечном расширении поля дробей является дедекиндовой областью; в частности, нётерово кольцо. Это следствие теоремы Крулля–Акидзуки . В общем случае, целочисленное замыкание нётеровой области размерности не более 2 является нётеровым; Нагата привёл пример нётеровой области размерности 3, целочисленное замыкание которой не является нётеровым. ^[23] Более хорошее утверждение таково: целочисленное замыкание нётеровой области является областью Крулля ( теорема Мори–Нагаты ). Нагата также привёл пример нётеровой локальной области размерности 1, такой что целочисленное замыкание не является конечным над этой областью. ^{[ требуется цитата ]}

Пусть A — нётерова целозамкнутая область с полем дробей K. Если L / K — конечное сепарабельное расширение, то целочисленное замыкание A в L — конечно порождённый A -модуль. ^[24] Это просто и стандартно (используется тот факт, что след определяет невырожденную билинейную форму). ${\displaystyle A'}$

Пусть A — конечно порожденная алгебра над полем k , которое является областью целостности с полем дробей K. Если L — конечное расширение K , то целое замыкание A в L является конечно порожденным A -модулем и также является конечно порожденной k -алгеброй. ^[25] Результат принадлежит Нётер и может быть показан с помощью леммы Нётер о нормализации следующим образом. Ясно, что достаточно показать утверждение, когда L / K либо отделимо, либо чисто неотделимо. Отделимый случай отмечен выше, поэтому предположим, что L / K чисто неотделимо. По лемме о нормализации A является целым над кольцом многочленов . Поскольку L / K — конечное чисто неотделимое расширение, существует степень q простого числа такая , что каждый элемент L является корнем степени q из элемента из K. Пусть — конечное расширение k, содержащее все корни степени q из коэффициентов конечного числа рациональных функций , которые порождают L. Тогда имеем: Кольцо справа — это поле дробей , которое является целым замыканием S ; таким образом, содержит . Следовательно, конечно над S ; тем более над A . Результат останется верным, если мы заменим k на Z . ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle S=k[x_{1},...,x_{d}]}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle L\subset k'(x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}).}$ ${\displaystyle k'[x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}]}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A'}$

Целое замыкание полной локальной нётеровой области A в конечном расширении поля дробей A конечно над A . ^[26] Точнее, для локального нётерова кольца R мы имеем следующие цепочки импликаций: ^[27]

(i) Полное A — это кольцо Нагаты ${\displaystyle \Rightarrow }$

(ii) A — область Нагаты . A аналитически неразветвлена. Целое замыкание пополнения конечно над целым замыканием A конечно над A. ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

Лемма Нётер о нормализации

Нормализационная лемма Нётер — это теорема коммутативной алгебры . Для заданного поля K и конечно порождённой K -алгебры A теорема утверждает, что можно найти элементы y ₁ , y ₂ , ..., y _m в A , которые алгебраически независимы над K, такие, что A конечно (и, следовательно, целочисленно) над B = K [ y ₁ ,..., y _m ]. Таким образом, расширение K ⊂ A можно записать как композицию K ⊂ B ⊂ A , где K ⊂ B — чисто трансцендентное расширение, а B ⊂ A конечно. ^[28]

Интегральные морфизмы

В алгебраической геометрии морфизм схем является целым , если он аффинен и если для некоторого (эквивалентно, любого) аффинного открытого покрытия Y каждое отображение имеет вид , где A — целая B -алгебра. Класс целочисленных морфизмов является более общим, чем класс конечных морфизмов , поскольку существуют целочисленные расширения, которые не являются конечными, такие как, во многих случаях, алгебраическое замыкание поля над полем. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U_{i})\to U_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)}$

Абсолютное интегральное замыкание

Пусть A — область целостности, а L — (некоторое) алгебраическое замыкание поля дробей A. Тогда целочисленное замыкание A в L называется абсолютным целочисленным замыканием A. [ 29 ] Оно единственно с точностью до неканонического изоморфизма . Кольцо ^всех алгебраических целых чисел является примером ( и, таким образом, обычно не является нётеровым). ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A^{+}}$

Смотрите также

• Нормальная схема
• Лемма нормализации Нётер
• Алгебраическое целое число
• Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
• Торсор (алгебраическая геометрия)

Примечания

1. Приведенное выше уравнение иногда называют интегральным уравнением, а b называют интегрально зависимым от A (в отличие от алгебраически зависимого ).
2. Милн 2020, Теорема 6.4
3. Капланский 1974, 1.2. Упражнение 4.
4. Хартсхорн 1977, Гл. II, Упражнение 5.14
5. Это доказательство принадлежит Дедекинду (Милн, ANT). В качестве альтернативы можно использовать симметричные многочлены, чтобы показать, что целые элементы образуют кольцо. (там же)
6. Глава 2 из Huneke & Swanson 2006
7. Капланский 1974, Теорема 42
8. Бурбаки 2006, гл. 5, §2, следствие 4 к теореме 1.
9. Мацумура 1970, Гл. 2. Теорема 7
10. Бурбаки 2006, Глава 5, §1, Предложение 5
11. Атья и Макдональд 1994, Гл. 5. Упражнение 35
12. "Раздел 32.14 (05JW): Универсально замкнутые морфизмы — проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 11.05.2020 .
13. Стайн. Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел (PDF) . стр. 101.
14. Упражнение в Атье и Макдональде, 1994 г.
15. Бурбаки 2006, Глава 5, §1, Предложение 9
16. Доказательство: Пусть — гомоморфизм колец такой, что если является однородным степени n . Целое замыкание в равно , где — целое замыкание A в B . Если b в B является целым над A , то является целым над ; т. е. он принадлежит . То есть каждый коэффициент в многочлене принадлежит A . ${\displaystyle \phi :B\to B[t]}$ ${\displaystyle \phi (b_{n})=b_{n}t^{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle A[t]}$ ${\displaystyle B[t]}$ ${\displaystyle A'[t]}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle \phi (b)}$ ${\displaystyle A[t]}$ ${\displaystyle A'[t]}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle \phi (b)}$
17. Упражнение 4.14 в Eisenbud 1995
18. Определение 1.1.1 в Huneke & Swanson 2006
19. Упражнение 4.15 в Eisenbud 1995
20. Примечание 1.1.3 в Huneke & Swanson 2006
21. Глава 12 из Huneke & Swanson 2006
22. Хунеке и Свенсон 2006, Пример 12.2.1
23. Huneke & Swanson 2006, Упражнение 4.9
24. Атья и Макдональд 1994, глава 5. Предложение 5.17.
25. Хартсхорн 1977, Гл. I. Теорема 3.9 А
26. Huneke & Swanson 2006, Теорема 4.3.4
27. Мацумура 1970, гл. 12
28. Глава 4 Рида.
29. Мелвин Хохстер , Математика 711: Лекция от 7 сентября 2007 г.

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, Ян Г. (1994) [1969]. Введение в коммутативную алгебру . Эддисон–Уэсли. ISBN 0-201-40751-5.
• Бурбаки, Николя (2006). Алгебра коммутативная . Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-33937-3.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию , Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Springer-Verlag , ISBN 0-387-94268-8
• Капланский, Ирвинг (сентябрь 1974 г.). Коммутативные кольца . Лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-42454-5.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Мацумура, Х (1970), Коммутативная алгебра
• H. Matsumura Теория коммутативных колец. Перевод с японского M. Reid. Второе издание. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.
• Милн, Дж. С. (19 июля 2020 г.). «Алгебраическая теория чисел».
• Хунеке, Крейг; Свонсон, Ирена (2006), Целостное замыкание идеалов, колец и модулей, Серия лекций Лондонского математического общества, том 336, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, MR  2266432, архивировано из оригинала 2019-11-15 , извлечено 2011-03-01
• М. Рид , Бакалавриат коммутативной алгебры , Лондонское математическое общество, 29 , Cambridge University Press, 1995.

Дальнейшее чтение

• Ирена Свенсон, Целостные замыкания идеалов и колец
• Имеют ли DG-алгебры какое-либо разумное понятие целочисленного замыкания?
• Всегда ли k [ x 1 , … , x n {\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}} является целочисленным расширением для регулярной последовательности ?] ${\displaystyle k[f_{1},\ldots ,f_{n}]}$ ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{n})}$