Лемма Накаямы

Теорема в алгебраической математике

В математике , а точнее в абстрактной алгебре и коммутативной алгебре , лемма Накаямы — также известная как теорема Крулля–Адзумайи ^[1] — определяет взаимодействие между радикалом Джекобсона кольца (обычно коммутативного кольца ) и его конечно порожденными модулями . Неформально, лемма немедленно дает точное представление о том, в каком смысле конечно порожденные модули над коммутативным кольцом ведут себя как векторные пространства над полем . Это важный инструмент в алгебраической геометрии , поскольку он позволяет изучать локальные данные на алгебраических многообразиях в форме модулей над локальными кольцами поточечно как векторные пространства над полем вычетов кольца.

Лемма названа в честь японского математика Тадаси Накаямы и введена в ее нынешнем виде в Накаяме (1951), хотя она была впервые обнаружена в частном случае идеалов в коммутативном кольце Вольфгангом Круллем , а затем в общем случае Горо Адзумая (1951). ^[2] В коммутативном случае лемма является простым следствием обобщенной формы теоремы Кэли–Гамильтона , наблюдения, сделанного Майклом Атья (1969). Частный случай некоммутативной версии леммы для правых идеалов появляется в Натане Якобсоне (1945), и поэтому некоммутативная лемма Накаямы иногда известна как теорема Якобсона–Адзумайи . ^[1] Последняя имеет различные приложения в теории радикалов Якобсона . ^[3]

Заявление

Пусть — коммутативное кольцо с единицей 1. Ниже приведена лемма Накаямы, сформулированная в работе Мацумуры (1989): ${\displaystyle R}$

Утверждение 1 : Пусть — идеал в , а над — конечно порождённый модуль . Если , то существует такой , что . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle IM=M}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle r\equiv 1\;(\operatorname {mod} I)}$ ${\displaystyle rM=0}$

Это доказано ниже. Полезная мнемоника для леммы Накаямы — " ". Это суммирует следующую альтернативную формулировку: ${\displaystyle IM=M\implies im=m}$

Утверждение 2 : Пусть — идеал в , а — конечно порождённый модуль над . Если , то существует такое , что для всех . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle IM=M}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle im=m}$ ${\displaystyle m\in M}$

Доказательство : Возьмите Утверждение 1. ${\displaystyle i=1-r}$

Следующее следствие также известно как лемма Накаямы, и именно в этой форме оно чаще всего появляется. ^[4]

Утверждение 3 : Если — конечно порождённый модуль над , — радикал Джекобсона , и , то . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle J(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle J(R)M=M}$ ${\displaystyle M=0}$

Доказательство : ( как в утверждении 1) находится в радикале Джекобсона, поэтому обратим. ${\displaystyle 1-r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

В более общем случае, это избыточный подмодуль модуля , когда он конечно порожден. ${\displaystyle J(R)M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Утверждение 4 : Если — конечно порождённый модуль над , — подмодуль , и = , то = . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N+J(R)M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Доказательство : Примените утверждение 3 к . ${\displaystyle M/N}$

Следующий результат демонстрирует лемму Накаямы в терминах генераторов. ^[5]

Утверждение 5 : Если — конечно порождённый модуль над и образы элементов ₁ ,..., из порождают как -модуль , то ₁ ,..., также порождают как -модуль. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ _{${\displaystyle n}$} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M/J(R)M}$ ${\displaystyle M/J(R)M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ _{${\displaystyle n}$} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Доказательство : Примените утверждение 4 к . ${\displaystyle \textstyle {N=\sum _{i}Rm_{i}}}$

Если вместо этого предположить, что является полным и отделенным относительно -адической топологии для идеала в , это последнее утверждение справедливо с и без предварительного предположения, что является конечно порожденным. ^[6] Здесь отделенность означает, что -адическая топология удовлетворяет аксиоме разделения T 1 и эквивалентна ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J(R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \textstyle {\bigcap _{k=1}^{\infty }I^{k}M=0.}}$

Последствия

Местные кольца

В частном случае конечно порождённого модуля над локальным кольцом с максимальным идеалом фактор является векторным пространством над полем . Из утверждения 5 следует, что базис из поднимается до минимального набора генераторов . Обратно, каждый минимальный набор генераторов получается таким образом, и любые два таких набора генераторов связаны обратимой матрицей с элементами в кольце. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Геометрическая интерпретация

В этой форме лемма Накаямы приобретает конкретное геометрическое значение. Локальные кольца возникают в геометрии как ростки функций в точке. Конечно-порожденные модули над локальными кольцами возникают довольно часто как ростки сечений векторных расслоений . Работая на уровне ростков, а не точек, понятие конечномерного векторного расслоения уступает место понятию когерентного пучка . Неформально лемма Накаямы гласит, что можно по-прежнему считать когерентный пучок происходящим из векторного расслоения в некотором смысле. Точнее, пусть будет когерентным пучком -модулей над произвольной схемой . Стебель в точке , обозначаемый , является модулем над локальным кольцом , а слой в является векторным пространством . Лемма Накаямы подразумевает, что базис слоя поднимается до минимального набора образующих . То есть: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{p}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{X,p},{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)={\mathcal {M}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}{\mathcal {M}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{p}}$

• Любой базис волокна когерентного пучка в точке происходит из минимального базиса локальных сечений. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Переформулируя это геометрически, если есть локально свободный -модуль, представляющий векторное расслоение , и если мы возьмем базис векторного расслоения в точке на схеме , то этот базис может быть поднят до базиса сечений векторного расслоения в некоторой окрестности точки. Мы можем организовать эти данные схематически ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}E|_{p}&\to &E|_{U}&\to &E\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\p&\to &U&\to &X\end{matrix}}}$

где — n-мерное векторное пространство, то есть базис в (который является базисом сечений расслоения ) может быть поднят до базиса сечений для некоторой окрестности . ${\displaystyle E|_{p}}$ ${\displaystyle E|_{p}}$ ${\displaystyle E_{p}\to p}$ ${\displaystyle E|_{U}\to U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$

Поднимаясь и спускаясь

Теорема о движении вверх по сути является следствием леммы Накаямы. ^[7] Она утверждает:

• Пусть — целочисленное расширение коммутативных колец, а простой идеал из . Тогда существует простой идеал в такой, что . Более того, можно выбрать так, чтобы он содержал любой простой из такой, что . ${\displaystyle R\hookrightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap R={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\cap R\subset {\mathfrak {p}}}$

Эпиморфизмы модулей

Лемма Накаямы уточняет один смысл, в котором конечно порожденные модули над коммутативным кольцом подобны векторным пространствам над полем. Следующее следствие леммы Накаямы дает другой способ, в котором это верно:

• Если — конечно порождённый -модуль и — сюръективный эндоморфизм, то — изоморфизм. ^[8] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle f}$

Над локальным кольцом можно сказать больше о модульных эпиморфизмах: ^[9]

• Предположим, что — локальное кольцо с максимальным идеалом , а — конечно порожденные -модули. Если — -линейное отображение, такое что фактор сюръективен, то — сюръективен. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \phi _{\mathfrak {m}}:M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N}$ ${\displaystyle \phi }$

Гомологические версии

Лемма Накаямы также имеет несколько версий в гомологической алгебре . Вышеприведенное утверждение об эпиморфизмах можно использовать для того, чтобы показать: ^[9]

• Пусть будет конечно порождённым модулем над локальным кольцом. Тогда проективен тогда и только тогда , когда он свободен . Это можно использовать для вычисления группы Гротендика любого локального кольца как . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K(R)=\mathbb {Z} }$

Геометрическим и глобальным аналогом этого является теорема Серра–Свана , связывающая проективные модули и когерентные пучки.

В более общем смысле, можно сказать, что ^[10]

• Пусть будет локальным кольцом и конечно порождённым модулем над . Тогда проективная размерность над равна длине каждой минимальной свободной резолюции . Более того, проективная размерность равна глобальной размерности , которая по определению является наименьшим целым числом таким, что ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(k,M)=0.}$

Здесь — поле вычетов и — функтор tor . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Tor}}}$

Теорема об обратной функции

Лемма Накаямы используется для доказательства версии теоремы об обратной функции в алгебраической геометрии:

• Пусть — проективный морфизм между квазипроективными многообразиями . Тогда является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является биекцией и дифференциал инъективен для всех . ^[11] ${\textstyle f:X\to Y}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle df_{p}}$ ${\displaystyle p\in X}$

Доказательство

Стандартное доказательство леммы Накаямы использует следующую технику, предложенную Атья и Макдональдом (1969). ^[12]

• Пусть M — R - модуль , порожденный n элементами, а φ:  M  →  M — R -линейное отображение . Если существует идеал I в R, такой что φ( M ) ⊂  IM , то существует монический многочлен

${\displaystyle p(x)=x^{n}+p_{1}x^{n-1}+\cdots +p_{n}}$

с p _k  ∈  I ^k , таким, что

${\displaystyle p(\varphi )=0}$

как эндоморфизм M.

Это утверждение является в точности обобщенной версией теоремы Кэли–Гамильтона , и доказательство проводится по той же схеме. На генераторах x _i множества M имеет место соотношение вида

${\displaystyle \varphi (x_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}}$

где a _ij  ∈  I. Таким образом,

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(\varphi \delta _{ij}-a_{ij}\right)x_{j}=0.}$

Требуемый результат получается путем умножения на сопряженную матрицу (φδ _ij  −  a _ij ) и применения правила Крамера . Тогда можно найти det(φδ _ij  −  a _ij ) = 0, поэтому требуемый многочлен равен

${\displaystyle p(t)=\det(t\delta _{ij}-a_{ij}).}$

Чтобы доказать лемму Накаямы из теоремы Кэли–Гамильтона, предположим, что IM  =  M и возьмем φ в качестве тождества на M. Затем определим многочлен p ( x ), как указано выше. Тогда

${\displaystyle r=p(1)=1+p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}}$

обладает требуемым свойством: и . ${\displaystyle r\equiv 1\;(\operatorname {mod} I)}$ ${\displaystyle rM=0}$

Некоммутативный случай

Версия леммы справедлива для правых модулей над некоммутативными унитальными кольцами R. Полученная теорема иногда известна как теорема Джекобсона–Адзумаи . ^[13]

Пусть J( R ) — радикал Джекобсона кольца R . Если U — правый модуль над кольцом R , а I — правый идеал в R , то определим U · I как множество всех (конечных) сумм элементов вида u · i , где · — просто действие R на U . Обязательно U · I — подмодуль U .

Если V — максимальный подмодуль U , то U / V является простым . Поэтому U · J( R ) обязательно является подмножеством V по определению J( R ) и тому факту, что U / V является простым. ^[14] Таким образом, если U содержит по крайней мере один (собственный) максимальный подмодуль, U · J( R ) является собственным подмодулем U . Однако это не обязательно выполняется для произвольных модулей U над R , поскольку U не обязательно содержит никаких максимальных подмодулей. ^[15] Естественно, если U — нётеров модуль, это выполняется. Если R — нётеров, а U конечно порожден , то U — нётеров модуль над R , и заключение выполняется. ^[16] Несколько примечательно то, что более слабое предположение, а именно, что U конечно порожден как R -модуль (и никакого предположения конечности на R ), достаточно, чтобы гарантировать заключение. Это по сути утверждение леммы Накаямы. ^[17]

Точнее, нужно:

Лемма Накаямы : Пусть U — конечно порождённый правый модуль над (унитальным) кольцом R. Если U — ненулевой модуль, то U · J( R ) — собственный подмодуль U . ^[17]

Доказательство

Пусть будет конечным подмножеством , минимальным по отношению к свойству, которое оно порождает . Поскольку не равно нулю, это множество непустое. Обозначим каждый элемент через для . Поскольку порождает , . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}R=U}$

Предположим , что , чтобы получить противоречие. Тогда каждый элемент можно выразить как конечную комбинацию для некоторого . ${\displaystyle U\cdot \operatorname {J} (R)=U}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle u=\sum \limits _{s=1}^{m}u_{s}j_{s}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,\,u_{s}\in U,\,j_{s}\in \operatorname {J} (R),\,s=1,\dots ,m}$

Каждый может быть далее разложен как для некоторого . Поэтому мы имеем ${\displaystyle u_{s}}$ ${\displaystyle u_{s}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}r_{i,s}}$ ${\displaystyle r_{i,s}\in R}$

${\displaystyle u=\sum _{s=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}r_{i,s}\right)j_{s}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\left(\sum _{s=1}^{m}r_{i,s}j_{s}\right)}$.

Так как является (двусторонним) идеалом в , то для каждого имеем , и, таким образом, это становится ${\displaystyle \operatorname {J} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sum _{s=1}^{m}r_{i,s}j_{s}\in \operatorname {J} (R)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}k_{i}}$для некоторых , . ${\displaystyle k_{i}\in \operatorname {J} (R)}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

Подставляя и применяя дистрибутивность, получаем ${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}(1-k_{i})=0}$.

Выберите некоторые . Если бы правый идеал был собственным, то он содержался бы в максимальном правом идеале и оба и принадлежали бы , что приводит к противоречию (заметим, что по определению радикала Джекобсона). Таким образом , и имеет правый обратный в . Имеем ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle (1-k_{j})R}$ ${\displaystyle M\neq R}$ ${\displaystyle 1-k_{j}}$ ${\displaystyle k_{j}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {J} (R)\subseteq M}$ ${\displaystyle (1-k_{j})R=R}$ ${\displaystyle 1-k_{j}}$ ${\displaystyle (1-k_{j})^{-1}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}(1-k_{i})(1-k_{j})^{-1}=0}$.

Поэтому,

${\displaystyle \sum _{i\neq j}x_{i}(1-k_{i})(1-k_{j})^{-1}=-x_{j}}$.

Таким образом, есть линейная комбинация элементов из . Это противоречит минимальности и устанавливает результат. ^[18] ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle X\setminus \{x_{j}\}}$ ${\displaystyle X}$

Градуированная версия

Существует также градуированная версия леммы Накаямы. Пусть R — кольцо, градуированное упорядоченной полугруппой неотрицательных целых чисел, и пусть обозначает идеал, порожденный положительно градуированными элементами. Тогда если M — градуированный модуль над R , для которого для i достаточно отрицательно (в частности, если M конечно порождено и R не содержит элементов отрицательной степени) такое, что , то . Особое значение имеет случай, когда R — кольцо многочленов со стандартной градуировкой, а M — конечно порожденный модуль. ${\displaystyle R_{+}}$ ${\displaystyle M_{i}=0}$ ${\displaystyle R_{+}M=M}$ ${\displaystyle M=0}$

Доказательство гораздо проще, чем в неградуированном случае: принимая i за наименьшее целое число, такое что , мы видим, что не встречается в , поэтому либо , либо такого i не существует, т. е . . ${\displaystyle M_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle R_{+}M}$ ${\displaystyle M\neq R_{+}M}$ ${\displaystyle M=0}$

Смотрите также

• Теория модулей
• Теорема Серра–Свана

Примечания

1. Nagata 1975, §A.2
2. Нагата 1975, §A.2; Мацумура 1989, с. 8
3. Айзекс 1993, Следствие 13.13, стр. 184
4. Эйзенбуд 1995, Следствие 4.8; Атья и Макдональд (1969, Предложение 2.6)
5. Эйзенбуд 1995, Следствие 4.8(б)
6. Эйзенбуд 1995, Упражнение 7.2
7. Эйзенбуд 1995, §4.4
8. Мацумура 1989, Теорема 2.4
9. Griffiths & Harris 1994, стр. 681
10. Эйзенбуд 1995, Следствие 19.5
11. МакКернан, Джеймс. "Теорема об обратной функции" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-09-09.
12. Matsumura 1989, стр. 7: «Стандартный метод, применимый к конечным A -модулям, — это «трюк с детерминантами»...» См. также доказательство, содержащееся в Eisenbud (1995, §4.1).
13. Нагата 1975, §A2
14. Айзекс 1993, стр. 182
15. Айзекс 1993, стр. 183
16. Айзекс 1993, Теорема 12.19, стр. 172
17. Isaacs 1993, Теорема 13.11, стр. 183
18. Айзекс 1993, Теорема 13.11, стр. 183; Айзекс 1993, Следствие 13.12, стр. 183

Ссылки

• Атья, Майкл Ф .; Макдональд, Ян Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley.
• Адзумая, Горо (1951), «О максимально центральных алгебрах», Nagoya Mathematical Journal , 2 : 119–150, doi : 10.1017/s0027763000010114 , ISSN  0027-7630, MR  0040287.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, г-н  1322960
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классических произведений Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics, т. 52, Springer-Verlag.
• Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, курс для выпускников (1-е изд.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Якобсон, Натан (1945), «Радик и полупростота для произвольных колец», American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi :10.2307/2371731, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371731, MR  0012271.
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, МР  1011461.
• Нагата, Масаеши (1975), Местные кольца , Издательство Роберта Э. Кригера, Хантингтон, Нью-Йорк, ISBN 978-0-88275-228-0, МР  0460307.
• Накаяма, Тадаси (1951), «Замечание о конечно порождённых модулях», Nagoya Mathematical Journal , 3 : 139–140, doi : 10.1017/s0027763000012265 , ISSN  0027-7630, MR  0043770.

Ссылки

• Как понять лемму Накаямы и ее следствия