радикал Якобсона

Структура в теории колец (математика)

Натан Якобсон

В математике , а точнее в теории колец , радикал Джекобсона кольца R — это идеал , состоящий из тех элементов в R , которые аннулируют все простые правые R - модули . Случается, что подстановка «левого» вместо «правого» в определении даёт тот же идеал, и поэтому понятие симметрично слева направо. Радикал Джекобсона кольца часто обозначается как J( R ) или rad( R ); в этой статье будет предпочтительнее первое обозначение, поскольку оно позволяет избежать путаницы с другими радикалами кольца . Радикал Джекобсона назван в честь Натана Джекобсона , который первым изучил его для произвольных колец в работе Джекобсона 1945 года.

Радикал Джекобсона кольца имеет многочисленные внутренние характеристики, включая несколько определений, которые успешно расширяют это понятие на неунитальные кольца . Радикал модуля расширяет определение радикала Джекобсона, включая модули. Радикал Джекобсона играет важную роль во многих результатах теории колец и модулей, таких как лемма Накаямы .

Определения

Существует множество эквивалентных определений и характеристик радикала Джекобсона, но полезно рассмотреть определения, основанные на том, является ли кольцо коммутативным или нет.

Коммутативный случай

В коммутативном случае радикал Джекобсона коммутативного кольца R определяется как ^[1] ​​пересечение всех максимальных идеалов . Если обозначить Specm R как множество всех максимальных идеалов в R , то ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle \mathrm {J} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\,\in \,\operatorname {Specm} R}{\mathfrak {m}}}$

Это определение можно использовать для явных вычислений в ряде простых случаев, например, для локальных колец ( R , ) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ , которые имеют единственный максимальный идеал, артиновых колец и их произведений . Смотрите раздел примеров для явных вычислений.

Некоммутативный/общий случай

Для общего кольца с единицей R радикал Джекобсона J( R ) определяется как идеал всех элементов r ∈ R таких, что rM = 0 , когда M является простым R -модулем. То есть, Это эквивалентно определению в коммутативном случае для коммутативного кольца R, поскольку простые модули над коммутативным кольцом имеют вид R / для некоторого максимального идеала R , а аннуляторы R / в R являются в точности элементами , то есть Ann _R ( R / ) = . $${\displaystyle \mathrm {J} (R)=\{r\in R\mid rM=0{\text{ for all }}M{\text{ simple}}\}.}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Мотивация

Понимание радикала Джекобсона заключается в нескольких различных случаях: а именно, в его приложениях и вытекающих из них геометрических интерпретациях, а также в его алгебраических интерпретациях.

Геометрические приложения

Хотя Джекобсон изначально ввел свой радикал как метод построения теории радикалов для произвольных колец, одной из мотивирующих причин того, почему радикал Джекобсона рассматривается в коммутативном случае, является его появление в лемме Накаямы . Эта лемма является техническим инструментом для изучения конечно порождённых модулей над коммутативными кольцами, имеющим простую геометрическую интерпретацию: если у нас есть векторное расслоение E → X над топологическим пространством X и выбрана точка p ∈ X , то любой базис E | _p может быть расширен до базиса сечений E | _U → U для некоторой окрестности p ∈ U ⊆ X.

Другое применение — в случае конечно порожденных коммутативных колец вида для некоторого базового кольца k (например , поля или кольца целых чисел ). В этом случае нильрадикал и радикал Джекобсона совпадают. Это означает, что мы могли бы интерпретировать радикал Джекобсона как меру того, насколько далек идеал I, определяющий кольцо R , от определения кольца функций на алгебраическом многообразии из-за теоремы Гильберта Nullstellensatz . Это связано с тем, что алгебраические многообразия не могут иметь кольца функций с бесконечно малыми: эта структура рассматривается только в теории схем . ${\textstyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,/\,I}$

Эквивалентные характеристики

Радикал Джекобсона кольца имеет различные внутренние и внешние характеристики. Следующие эквивалентности появляются во многих текстах по некоммутативной алгебре, таких как Anderson & Fuller 1992, §15, Isaacs 1994, §13B и Lam 2001, Ch 2.

Ниже приведены эквивалентные характеристики радикала Джекобсона в кольцах с единицей (характеристики для колец без единицы даны сразу после этого):

• J( R ) равен пересечению всех максимальных правых идеалов кольца. Эквивалентность вытекает из того факта, что для всех максимальных правых идеалов M , R / M является простым правым R -модулем, и что на самом деле все простые правые R -модули изоморфны одному из этого типа посредством отображения из R в S , заданного формулой r ↦ xr для любого образующего x кольца S . Также верно, что J( R ) равен пересечению всех максимальных левых идеалов внутри кольца. ^[2] Эти характеризации являются внутренними по отношению к кольцу, поскольку нужно только найти максимальные правые идеалы кольца. Например, если кольцо локально и имеет единственный максимальный правый идеал , то этот единственный максимальный правый идеал есть в точности J( R ). Максимальные идеалы в некотором смысле легче искать, чем аннуляторы модулей. Однако эта характеризация недостаточна, поскольку она не оказывается полезной при вычислительной работе с J( R ). Симметрия слева-справа этих двух определений замечательна и имеет различные интересные последствия. ^{[2] [3]} Эта симметрия контрастирует с отсутствием симметрии в цоколях R , поскольку может случиться, что soc( R _R ) не равно soc( _R R ). Если R — некоммутативное кольцо , J( R ) не обязательно равно пересечению всех максимальных двусторонних идеалов R . Например, если V — счетная прямая сумма копий поля k и R = End( V ) ( кольцо эндоморфизмов V как k -модуля), то J( R ) = 0 , поскольку известно, что R является регулярным по фон Нейману , но в R есть ровно один максимальный двусторонний идеал, состоящий из эндоморфизмов с конечномерным образом . ^[4]
• J( R ) равен сумме всех избыточных правых идеалов (или симметрично, сумме всех избыточных левых идеалов) R . Сравнивая это с предыдущим определением, сумма избыточных правых идеалов равна пересечению максимальных правых идеалов. Это явление отражается двойственно для правого цоколя R ; soc( R _R ) является как суммой минимальных правых идеалов , так и пересечением существенных правых идеалов . Фактически, эти два соотношения справедливы для радикалов и цоколей модулей в целом.
• Как определено во введении, J( R ) равен пересечению всех аннуляторов простых правых R -модулей, однако также верно, что это пересечение аннуляторов простых левых модулей. Идеал, который является аннулятором простого модуля, известен как примитивный идеал , и поэтому его переформулировка гласит , что радикал Джекобсона является пересечением всех примитивных идеалов. Эта характеристика полезна при изучении модулей над кольцами. Например, если U является правым R -модулем, а V является максимальным подмодулем U , U · J( R ) содержится в V , где U · J( R ) обозначает все произведения элементов J( R ) («скаляры») с элементами из U , справа. Это следует из того факта, что фактор - модуль U / V является простым и, следовательно, аннулируется J( R ).
• J( R ) — единственный правый идеал R , максимальный со свойством, что каждый элемент является правым квазирегулярным ^{[5] [6]} (или, что эквивалентно, левым квазирегулярным ^[2] ). Эта характеристика радикала Джекобсона полезна как с точки зрения вычислений, так и для помощи интуиции. Кроме того, эта характеристика полезна при изучении модулей над кольцом. Лемма Накаямы , возможно, является наиболее известным примером этого. Хотя каждый элемент J( R ) обязательно является квазирегулярным , не каждый квазирегулярный элемент обязательно является членом J( R ). ^[6]
• Хотя не каждый квазирегулярный элемент принадлежит J( R ), можно показать, что y принадлежит J( R ) тогда и только тогда, когда xy является левым квазирегулярным элементом для всех x из R. ^[7]
• J( R ) — это множество элементов x в R, таких, что каждый элемент из 1 + RxR является единицей: J( R ) = { x ∈ R | 1 + RxR ⊂ R ^× } . Фактически, y ∈ R находится в радикале Джекобсона тогда и только тогда, когда 1 + xy обратим для любого x ∈ R , тогда и только тогда, когда 1 + yx обратим для любого x ∈ R . Это означает, что xy и yx ведут себя аналогично нильпотентному элементу z с z ^{n +1} = 0 и (1 + z ) ⁻¹ = 1 − z + z ² − ... ± z ⁿ .

Для колец без единицы возможно иметь R = J( R ) ; однако уравнение J( R / J( R )) = {0} все еще имеет место. Ниже приведены эквивалентные характеристики J( R ) для колец без единицы: ^[8]

• Понятие левой квазирегулярности можно обобщить следующим образом. Назовем элемент a в R левым обобщенно-квазирегулярным, если существует c в R такой, что c + a − ca = 0. Тогда J( R ) состоит из каждого элемента a , для которого ra является левым обобщенно-квазирегулярным для всех r в R . Можно проверить, что это определение совпадает с предыдущим квазирегулярным определением для колец с единицей.
• Для кольца без единицы определение левого простого модуля M изменяется путем добавления условия, что R ⋅ M ≠ 0. При таком понимании J( R ) можно определить как пересечение всех аннуляторов простых левых модулей R или просто R , если нет простых левых модулей R. Кольца без единицы без простых модулей существуют, в этом случае R = J( R ) , и кольцо называется радикальным кольцом . Используя обобщенную квазирегулярную характеристику радикала, ясно, что если найти кольцо с J( R ) ненулевым, то J( R ) является радикальным кольцом, если рассматривать его как кольцо без единицы.

Примеры

Примеры коммутативности

• Для кольца целых чисел Z его радикал Джекобсона является нулевым идеалом , поэтому J( Z ) = (0) , поскольку он задается пересечением каждого идеала, порожденного простым числом ( p ). Поскольку ( p ₁ ) ∩ ( p ₂ ) = ( p ₁ ⋅ p ₂ ) , и мы берем бесконечное пересечение без общих элементов, кроме 0, между всеми максимальными идеалами, мы имеем вычисление.
• Для локального кольца ( R , ) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ радикал Джекобсона просто J( R ) = ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ . Это важный случай из-за его использования в применении леммы Накаямы. В частности, это подразумевает, что если у нас есть алгебраическое векторное расслоение E → X над схемой или алгебраическим многообразием X , и мы фиксируем базис E | _p для некоторой точки p ∈ X , то этот базис поднимается до набора образующих для всех сечений E для некоторой окрестности U точки p .
• Если k — поле и R = k [[ X ₁ , ..., X _n ]] — кольцо формальных степенных рядов , то J( R ) состоит из тех степенных рядов , свободный член которых равен нулю, т.е. степенных рядов в идеале ( X ₁ , ..., X _n ) .
• В случае артиновых колец , таких как C [ t ₁ , t ₂ ]/( t ₁ ⁴ , t ₁ ² t ₂ ² , t ₂ ⁹ ) , радикал Джекобсона равен ( t ₁ , t ₂ ) .
• Предыдущий пример можно расширить до кольца R = C [ t ₂ , t ₃ , ...]/( t ₂ ² , t ₃ ³ , ...) , получив J( R ) = ( t ₂ , t ₃ , ...) .
• Радикал Джекобсона кольца Z /12 Z равен 6 Z /12 Z , который является пересечением максимальных идеалов 2 Z /12 Z и 3 Z /12 Z .
• Рассмотрим кольцо C [ t ] ⊗ _C C [ x ₁ , x ₂ ] _{x 1 ² + x 2 ² −1} , где второе — локализация C [ x ₁ , x ₂ ] по простому идеалу = ( x ₁ ² + x ₂ ² − 1) . Тогда радикал Джекобсона тривиален, поскольку максимальные идеалы порождаются элементом вида ( t − z ) ⊗ ( x 1 ₂ ⁺ x 2 ₂ ⁻ 1) для z ∈ C . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Некоммутативные примеры

• Кольца, для которых J( R ) равно {0}, называются полупримитивными кольцами или иногда "полупростыми кольцами Якобсона". Радикал Якобсона любого поля, любого регулярного кольца фон Неймана и любого левого или правого примитивного кольца равен {0}. Радикал Якобсона целых чисел равен {0}.
• Если K — поле, а R — кольцо всех верхнетреугольных матриц размера n на n с элементами из K , то J( R ) состоит из всех верхнетреугольных матриц с нулями на главной диагонали.
• Начнем с конечного ациклического колчана Γ и поля K и рассмотрим алгебру колчана K  Γ (как описано в статье Колчан ). Радикал Джекобсона этого кольца порождается всеми путями в Γ длины ≥ 1.
• Радикал Джекобсона C *-алгебры равен {0}. Это следует из теоремы Гельфанда–Наймарка и того факта, что для C*-алгебры топологически неприводимое *-представление в гильбертовом пространстве алгебраически неприводимо, так что его ядро ​​является примитивным идеалом в чисто алгебраическом смысле (см. Спектр C*-алгебры ).

Характеристики

• Если R унитальна и не является тривиальным кольцом {0}, радикал Джекобсона всегда отличен от R , поскольку кольца с единицей всегда имеют максимальные правые идеалы . Однако некоторые важные теоремы и гипотезы в теории колец рассматривают случай, когда J( R ) = R – «Если R является нулевым кольцом (то есть каждый его элемент нильпотентен ) , равно ли кольцо многочленов R [ x ] своему радикалу Джекобсона?» эквивалентно открытой гипотезе Кёте . ^[9]
• Для любого идеала I, содержащегося в J( R ), J( R / I ) = J( R ) / I .
• В частности, радикал Джекобсона кольца R / J( R ) равен нулю. Кольца с нулевым радикалом Джекобсона называются полупримитивными кольцами .
• Кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда оно артиново и его радикал Джекобсона равен нулю.
• Если f  : R → S — сюръективный гомоморфизм колец , то f (J( R )) ⊆ J( S ) .
• Если R — кольцо с единицей, а M — конечно порождённый левый R -модуль с J( R ) M = M , то M = 0 ( лемма Накаямы ).
• J( R ) содержит все центральные нильпотентные элементы, но не содержит идемпотентных элементов, за исключением 0.
• J( R ) содержит каждый ниль-идеал R. Если R является левым или правым артиновым , то J( R ) является нильпотентным идеалом .
  На самом деле это можно усилить: если {0} = T ₀ ⊆ T ₁ ⊆ ⋅⋅⋅ ⊆ T _k = R — композиционный ряд для правого R -модуля R (такой ряд обязательно существует, если R является правоартиновым, и существует аналогичный левый композиционный ряд, если R является левоартиновым), то (J( R )) ^k = 0 . ^[a]
          
  
  Однако следует отметить, что в общем случае радикал Джекобсона не обязательно должен состоять только из нильпотентных элементов кольца.
• Если R коммутативен и конечно порожден как алгебра над полем или Z , то J( R ) равен нильрадикалу R .
• Радикал Джекобсона (унитального) кольца — это его наибольший избыточный правый (эквивалентно, левый) идеал.

Смотрите также

• Подгруппа Фраттини
• Нильрадикал кольца
• Радикал модуля
• Радикальный идеал

Примечания

1. Доказательство: Поскольку множители T _u / T _{u −1} являются простыми правыми R -модулями, правое умножение на любой элемент J( R ) аннулирует эти множители.
   Другими словами, ( T _u / T _{u −1} ) ⋅ J( R ) = 0 , откуда T _u · J( R ) ⊆ T _{u −1} . Следовательно, индукция по i показывает, что все неотрицательные целые числа i и u (для которых имеет смысл следующее) удовлетворяют T _u ⋅ (J( R )) ⁱ ⊆ T _{u − i} . Применение этого к u = i = k дает результат.

Цитаты

1. "Раздел 10.18 (0AMD): Радикал Джекобсона кольца — проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 24.12.2020 .
2. Isaacs 1994, стр. 182
3. Айзекс 1994, стр. 173, Задача 12.5
4. Лэм 2001, стр. 46, пример 3.15
5. Айзекс 1994, стр. 180, Следствие 13.4
6. Isaacs 1994, стр. 181
7. Лэм 2001, стр. 50.
8. Лэм 2001, стр. 63
9. Смоктунович 2006, с. 260, §5

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Graduate Texts in Mathematics , т. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, г-н  1245487
• Атья, М.Ф .; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co., стр. ix+128, MR  0242802
• Бурбаки, Н. Элементы математики .
• Herstein, IN (1994) [1968], Некоммутативные кольца , Carus Mathematical Monographs, т. 15, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки , стр. xii+202, ISBN 0-88385-015-X, г-н  1449137Переиздание оригинала 1968 года; с послесловием Лэнса У. Смолла
• Айзекс, И. М. (1994), Алгебра: курс для выпускников (1-е изд.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Якобсон, Натан (1945), «Радик и полупростота для произвольных колец», American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi :10.2307/2371731, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371731, MR  0012271
• Лэм, TY (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 131 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. xx+385, doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, г-н  1838439
• Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры , Graduate Texts in Mathematics, т. 88, Springer-Verlag, стр. xii+436, ISBN 0-387-90693-2, МР  0674652Исследования по истории современной науки, 9
• Смоктунович, Агата (2006), «Некоторые результаты в некоммутативной теории колец», Международный конгресс математиков, т. II (PDF) , Европейское математическое общество , стр. 259–269, ISBN 978-3-03719-022-7, MR  2275597, архивировано из оригинала (PDF) 2017-08-09 , извлечено 2014-12-31

Внешние ссылки

• Интуитивный пример радикала Джекобсона