Конструктивный набор (топология)

В топологии конструктивные множества — это класс подмножеств топологического пространства , имеющих относительно «простую» структуру. Они используются, в частности, в алгебраической геометрии и смежных областях. Ключевой результат, известный как теорема Шевалле в алгебраической геометрии, показывает, что образ конструктивного множества можно построить для важного класса отображений (точнее, морфизмов ) алгебраических многообразий (или, в более общем плане, схем ). Кроме того, большое количество «локальных» геометрических свойств схем, морфизмов и пучков (локально) конструируемо. Конструктивные множества также фигурируют в определении различных типов конструктивных пучков в алгебраической геометрии и когомологиях пересечений .

Определения

Простое определение, адекватное во многих ситуациях, состоит в том, что конструктивное множество — это конечное объединение локально замкнутых множеств . (Множество является локально замкнутым, если оно является пересечением открытого множества и закрытого множества .) Однако необходимы модификация и другое немного более слабое определение, чтобы иметь определения, которые лучше ведут себя с «большими» пространствами:

Определения: Подмножество топологического пространства называется ретрокомпактным, если оно компактно для любого компактного открытого подмножества . Подмножество является конструктивным , если оно представляет собой конечное объединение подмножеств вида , где оба и являются открытыми и ретрокомпактными подмножествами . Подмножество является локально конструируемым, если существует покрытие , состоящее из открытых подмножеств, каждое из которых является конструируемым подмножеством . ^{[1] [2]} ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\cap U}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap (X-V)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\cap U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Эквивалентно, конструктивные подмножества топологического пространства - это наименьшая коллекция подмножеств, которая (i) содержит все открытые ретрокомпактные подмножества и (ii) содержит все дополнения и конечные объединения (а, следовательно, и конечные пересечения) множеств в нем. Другими словами, конструктивные множества — это в точности булева алгебра, порожденная ретрокомпактными открытыми подмножествами. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle X}$

В локально нетеровом топологическом пространстве все подмножества ретрокомпактны ^[3] , и поэтому для таких пространств упрощенное определение, данное первым выше, эквивалентно более сложному. Большинство часто встречающихся схем в алгебраической геометрии (включая все алгебраические многообразия ) локально нетеровы, но существуют важные конструкции, которые приводят к более общим схемам.

В любом (не обязательно нётеровом ) топологическом пространстве каждое конструктивное множество содержит плотное открытое подмножество своего замыкания. ^[4]

Терминология: Определение, данное здесь, используется в первом издании EGA и Stacks Project . Во втором издании EGA конструируемые множества (согласно приведенному выше определению) называются «глобально конструируемыми», а слово «конструируемые» зарезервировано для того, что выше называется локально конструируемым. ^[5]

Теорема Шевалле

Основная причина важности конструктивных множеств в алгебраической геометрии заключается в том, что образ (локально) конструируемого множества также (локально) конструируем для большого класса карт (или «морфизмов»). Ключевой результат:

Теорема Шевалле. Если — конечно представимый морфизм схем и — локально конструируемое подмножество, то также локально конструируемо в . ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle f(Z)}$ ${\displaystyle Y}$

В частности, образ алгебраического многообразия не обязательно должен быть многообразием, но (при предположениях) всегда является конструктивным множеством. Например, карта , которая отправляет сообщение, имеет изображение set , которое не является многообразием, но является конструктивным. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\rightarrow \mathbf {A} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,xy)}$ ${\displaystyle \{x\neq 0\}\cup \{x=y=0\}}$

Теорема Шевалле в изложенной выше общности потерпела бы неудачу, если бы использовалось упрощенное определение конструктивных множеств (без ограничения ретрокомпактными открытыми множествами в определении). ^[9]

Конструктивные свойства

Большое количество «локальных» свойств морфизмов схем и квазикогерентных пучков на схемах справедливы над локально конструируемым подмножеством. EGA IV § 9 ^[10] охватывает большое количество таких свойств. Ниже приведены некоторые примеры (где все ссылки указывают на EGA IV):

• Если — конечно определенный морфизм схем и — последовательность конечно определенных квазикогерентных -модулей, то множество, для которых точен, локально конструируемо. (Предложение (9.4.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'\rightarrow {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}''}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}''_{s}}$
• Если – конечно определенный морфизм схем и – конечно определенный квазикогерентный -модуль, то множество, для которого локально свободно, локально конструируемо. (Предложение (9.4.7)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$
• Если — конечно представимый морфизм схем и — локально конструируемое подмножество, то множество, для которого замкнуто (или открыто) в, локально конструируемо. (Следствие (9.5.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)\cap Z}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)}$
• Пусть – схема и морфизм -схем . Рассмотрим множество , над которыми индуцированный морфизм слоев обладает некоторым свойством . Тогда локально конструктивно, если обладает любым из следующих свойств: сюръективное, собственное, конечное, погружение, замкнутое погружение, открытое погружение, изоморфизм. (Предложение (9.6.1)) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\subset S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\rightarrow Y_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$
• Пусть – конечно представимый морфизм схем и рассмотрим множество, для которых слой обладает свойством . Тогда локально конструктивно, если обладает любым из следующих свойств: геометрически неприводимым, геометрически связным, геометрически приведенным. (Теорема (9.7.7)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle P\subset S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$
• Пусть – локально конечно представимый морфизм схем и рассмотрим множество, для которых слой обладает свойством . Тогда локально конструктивно, если обладает любым из следующих свойств: геометрически регулярным, геометрически нормальным, геометрически приведенным. (Предложение (9.9.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle P\subset X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

Одна важная роль, которую играют эти результаты о конструктивности, заключается в том, что в большинстве случаев, если предположить, что рассматриваемые морфизмы также плоские, из этого следует, что рассматриваемые свойства фактически выполняются в открытом подмножестве. Значительное количество таких результатов включено в EGA IV § 12. ^[11]

Смотрите также

• Конструируемая топология
• Конструктивная связка

Примечания

1. Гротендик и Дьедонне 1961, гл. 0 _III , Определения (9.1.1), (9.1.2) и (9.1.11), стр. 12-14.
2. «Определение 5.15.1 (тег 005G)» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 4 октября 2022 г.
3. Гротендик и Дьедонне 1961, гл. 0 _III , разд. (9.1), с. 12
4. Цзиньпэн Ан (2012). «Жесткие геометрические структуры, изометрические действия и алгебраические факторы». Геом. Посвящение 157 : 153–185.
5. Гротендик и Дьедонне 1971, гл. 0 _I , Определения (2.3.1), (2.3.2) и (2.3.10), стр. 55-57.
6. Гротендик и Дьедонне 1964, гл. I , Теорема (1.8.4), с. 239.
7. «Теорема 29.22.3 (Теорема Шевалле) (тег 054K)» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 4 октября 2022 г.
8. Гротендик и Дьедонне 1971, гл. I , Теорема (7.1.4), с. 329.
9. «Раздел 109.24 Изображения локально закрытых подмножеств (тег 0GZL)» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 4 октября 2022 г.
10. Гротендик и Дьедонне 1966, гл. IV , § 9 «Propriétés constructibles», стр. 54–94.
11. Гротендик и Дьедонне 1966, гл. IV , § 12 «Этюд волокон морфизмов площадок представления фини», стр. 173–187.

Рекомендации

• Аллуш, Жан Поль. Обратите внимание на конструктивные множества топологического пространства.
• Андрадас, Карлос; Брёкер, Людвиг; Руис, Хесус М. (1996). Конструируемые множества в реальной геометрии . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) --- Результаты по математике и смежным областям (3). Том. 33. Берлин: Springer-Verlag . стр. х+270. ISBN 3-540-60451-0. МР  1393194.
• Борель, Арманд . Линейные алгебраические группы.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологический этюд faisceaux coherents, Première party». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 11 . дои : 10.1007/bf02684274. МР  0217085.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, премьерная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 20 . дои : 10.1007/bf02684747. МР  0173675.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Тройная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 28 . дои : 10.1007/bf02684343. МР  0217086.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1971). Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на французском языке). Том. 166 (2-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
• Мостовский, А. (1969). Конструкторы с приложениями . Исследования по логике и основам математики. Амстердам --- Варшава: Издательство Северной Голландии ---- PWN-Польское научное издательство . стр. ix+269. МР  0255390.

Внешние ссылки

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/04ZC Топологическое определение (локальной) конструктивности
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/054H Свойства конструктивности морфизмов схем (включая теорему Шевалле)