В математике элемент кольца называется нильпотентным , если существует некоторое натуральное число , называемое индексом (или иногда степенью ), такое, что .
Этот термин вместе со своим сестринским идемпотентом был введен Бенджамином Пирсом в контексте его работы по классификации алгебр. [1]
Ни один нильпотентный элемент не может быть единицей (за исключением тривиального кольца , которое имеет только один элемент 0 = 1 ). Все нильпотентные элементы являются делителями нуля .
Матрица с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда ее характеристический полином равен .
Если нильпотентен, то является единицей , поскольку влечет за собой
В более общем смысле, сумма единичного элемента и нильпотентного элемента является единицей, когда они коммутируют.
Нильпотентные элементы коммутативного кольца образуют идеал ; это следствие биномиальной теоремы . Этот идеал является нильрадикалом кольца. Каждый нильпотентный элемент коммутативного кольца содержится в каждом простом идеале этого кольца, поскольку . Так содержится в пересечении всех простых идеалов.
Если не нильпотентно, мы можем провести локализацию по степеням :, чтобы получить ненулевое кольцо . Простые идеалы локализованного кольца в точности соответствуют тем простым идеалам с . [2] Поскольку каждое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, каждое ненильпотентное кольцо не содержится в каком-либо простом идеале. Таким образом, это в точности пересечение всех простых идеалов. [3]
Для нильрадикала доступна характеристика, аналогичная характеристике радикала Джекобсона и аннигиляции простых модулей: нильпотентные элементы кольца - это именно те, которые аннулируют все области целостности, внутренние по кольцу (то есть имеют форму для простых идеалов ). Это следует из того, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.
Пусть – алгебра Ли . Тогда элемент называется нильпотентным, если он находится в и является нильпотентным преобразованием. См. также: Жорданово разложение в алгебре Ли .
Любой лестничный оператор в конечномерном пространстве нильпотентен. Они представляют собой операторы создания и уничтожения , которые переходят из одного состояния в другое, например, повышающие и понижающие матрицы Паули .
Операнд , удовлетворяющий условиям, является нильпотентным. Числа Грассмана , которые позволяют представить фермионные поля в виде интегралов по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадраты равны нулю. Заряд БРСТ является важным примером в физике .
Поскольку линейные операторы образуют ассоциативную алгебру и, следовательно, кольцо, это частный случай исходного определения. [4] [5] В более общем смысле, ввиду приведенных выше определений, оператор нильпотентен, если существует такой, что ( нулевая функция ). Таким образом, линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером является внешняя производная (опять же с ). Оба связаны между собой, в том числе через суперсимметрию и теорию Морса [6] , как показано Эдвардом Виттеном в знаменитой статье. [7]
Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если его выразить в терминах алгебры физического пространства . [8] В более общем смысле, техника микроаддитивности (которая может использоваться для вывода теорем в физике) использует нильпотентные или нильквадратные бесконечно малые числа и является частично гладким анализом бесконечно малых величин .
Двумерные двойственные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, содержащие нильпотентные пространства, включают расщепленные кватернионы (кокватернионы), разделенные октонионы , бикватернионы и комплексные октонионы . Если нильпотентная бесконечно малая представляет собой переменную, стремящуюся к нулю, можно показать, что любая сумма членов, для которых она является предметом, представляет собой неопределенно малую долю члена первого порядка.