Идеал (теория колец)

Аддитивная подгруппа математического кольца, поглощающая умножение.

В математике , а точнее в теории колец , идеал кольца — это особое подмножество его элементов. Идеалы обобщают определенные подмножества целых чисел , такие как четные числа или числа, кратные 3. Сложение и вычитание четных чисел сохраняет четность, а умножение четного числа на любое целое число (четное или нечетное) приводит к получению четного числа; эти свойства закрытия и поглощения являются определяющими свойствами идеала. Идеал можно использовать для построения факторкольца аналогично тому, как в теории групп нормальная подгруппа может использоваться для построения факторгруппы .

Среди целых чисел идеалы один к одному соответствуют неотрицательным целым числам : в этом кольце каждый идеал является главным идеалом , состоящим из кратных одному неотрицательному числу. Однако в других кольцах идеалы могут не соответствовать непосредственно элементам кольца, и некоторые свойства целых чисел при обобщении на кольца более естественно связаны с идеалами, чем с элементами кольца. Например, простые идеалы кольца аналогичны простым числам , а китайская теорема об остатках может быть обобщена на идеалы. Существует версия уникальной простой факторизации идеалов дедекиндовой области (тип кольца, важный в теории чисел ).

Родственное, но отличное понятие идеала в теории порядка происходит от понятия идеала в теории колец. Дробный идеал является обобщением идеала, а обычные идеалы иногда для ясности называют целыми .

История

Эрнст Куммер изобрел концепцию идеальных чисел , которые служат «недостающими» факторами в числовых кольцах, в которых не удается выполнить уникальную факторизацию; здесь слово «идеальный» означает существование только в воображении, по аналогии с «идеальными» объектами в геометрии, такими как точки, удаленные от бесконечности. ^[1] В 1876 году Рихард Дедекинд заменил неопределенное понятие Куммера конкретными наборами чисел, наборами, которые он назвал идеалами, в третьем издании книги Дирихле Vorlesungen über Zahlentheorie , к которой Дедекинд добавил множество дополнений. ^{[1] [2] [3] Позже} Дэвидом Гильбертом и особенно Эмми Нётер это понятие было расширено за пределы числовых колец и теперь применяется к кольцам многочленов и другим коммутативным кольцам .

Определения и мотивация

Для произвольного кольца пусть – его аддитивная группа . Подмножество I называется левым идеалом , если оно является аддитивной подгруппой, которая «поглощает умножение слева на элементы »; то есть является левым идеалом, если он удовлетворяет следующим двум условиям: ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ ${\displaystyle (R,+)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle (I,+)}$является подгруппой _ ${\displaystyle (R,+),}$
2. Для каждого продукт есть в наличии . ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle rx}$ ${\displaystyle I}$

Правый идеал определяется с заменой условия на . Двусторонний идеал — это левый идеал, который также является правым идеалом, и иногда его называют просто идеалом. На языке модулей определения означают, что левый (соответственно правый, двусторонний) идеал является -подмодулем , когда рассматривается как левый (соответственно правый, би-) - модуль. Когда кольцо является коммутативным, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, и термин идеал используется отдельно. ${\displaystyle rx\in I}$ ${\displaystyle xr\in I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Чтобы понять понятие идеала, рассмотрим, как возникают идеалы при построении колец «элементов по модулю». Для конкретности рассмотрим кольцо целых чисел по модулю данного целого числа ( — коммутативное кольцо). Ключевое наблюдение здесь заключается в том, что мы получаем , беря целочисленную строку и обертывая ее вокруг себя, чтобы идентифицировать различные целые числа. При этом мы должны удовлетворить 2 требования: ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

1) должен быть отождествлен с 0, поскольку равен 0 по модулю . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

2) полученная структура снова должна быть кольцом.

Второе требование заставляет нас проводить дополнительные идентификации (т. е. оно определяет точный способ, которым мы должны обернуться вокруг себя). Понятие идеала возникает, когда мы задаем вопрос: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Каков точный набор целых чисел, которые мы вынуждены идентифицировать с 0?

Ответом, что неудивительно, является набор всех целых чисел, конгруэнтных 0 по модулю . То есть мы должны обернуться вокруг себя бесконечно много раз, чтобы все целые числа совпадали с 0. Если мы посмотрим, каким свойствам должно удовлетворять это множество, чтобы гарантировать, что оно является кольцом, то мы придем к определению идеала. Действительно, можно непосредственно проверить, что это идеал . ${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nm\mid m\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \ldots ,-2n,-n,n,2n,3n,\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Замечание. Также необходимо провести идентификацию с элементами, отличными от 0. Например, элементы in должны быть идентифицированы как 1, элементы in должны быть идентифицированы как 2 и так далее. Однако они определяются однозначно, поскольку являются аддитивной группой. ${\displaystyle 1+n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2+n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Аналогичную конструкцию можно сделать и в любом коммутативном кольце : начать с произвольного , а затем отождествить с 0 все элементы идеала . Оказывается, идеал — это наименьший идеал, содержащий , называемый идеалом , порожденным . В более общем смысле мы можем начать с произвольного подмножества , а затем идентифицировать с помощью 0 все элементы идеала, порожденного : наименьшим идеалом, таким, что . Кольцо, которое мы получим после отождествления, зависит только от идеала , а не от множества , с которого мы начали. То есть, если , то полученные кольца будут одинаковыми. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle xR=\{xr\mid r\in R\}}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle S\subseteq (S)}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S)=(T)}$

Следовательно, идеал коммутативного кольца канонически фиксирует информацию, необходимую для получения кольца элементов по модулю заданного подмножества . Элементами по определению являются те, которые конгруэнтны нулю, то есть отождествлены с нулем в результирующем кольце. Полученное кольцо называется фактором по и обозначается . Интуитивно определение идеала постулирует два естественных условия, необходимых для того, чтобы содержать все элементы, обозначенные как «нули» : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S\subseteq R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$

1. ${\displaystyle I}$является аддитивной подгруппой : ноль 0 из является «нулем» , а если и являются «нолями», то также является «нулем». ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0\in I}$ ${\displaystyle x_{1}\in I}$ ${\displaystyle x_{2}\in I}$ ${\displaystyle x_{1}-x_{2}\in I}$
2. Любое , умноженное на «ноль», является «нолем» . ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle rx\in I}$

Оказывается, приведенных выше условий достаточно и для того, чтобы содержать все необходимые «нули»: никакие другие элементы не должны обозначаться как «ноль», чтобы образовать . (На самом деле, никакие другие элементы не должны обозначаться как «нулевые», если мы хотим провести наименьшее количество идентификаций.) ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$

Замечание. Приведенная выше конструкция по-прежнему работает с использованием двусторонних идеалов, даже если она не обязательно коммутативна. ${\displaystyle R}$

Примеры и свойства

(Для краткости некоторые результаты излагаются только для левых идеалов, но обычно справедливы и для правых идеалов с соответствующими изменениями обозначений.)

• В кольце R само множество R образует двусторонний идеал R , называемый единичным идеалом . Его часто также обозначают как поскольку это именно двусторонний идеал, порожденный (см. ниже) единицей . Кроме того, множество , состоящее только из аддитивного тождества 0 _R , образует двусторонний идеал, называемый нулевым идеалом и обозначается . ^{[примечание 1]} Каждый (левый, правый или двусторонний) идеал содержит нулевой идеал и содержится в единичном идеале. ^[4] ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle 1_{R}}$ ${\displaystyle \{0_{R}\}}$ ${\displaystyle (0)}$
• Идеал (левый, правый или двусторонний), который не является единичным идеалом, называется собственным идеалом (поскольку он является собственным подмножеством ). ^[5] Примечание: левый идеал является собственным тогда и только тогда, когда он не содержит единичного элемента, поскольку если является единичным элементом, то для каждого . Обычно существует множество правильных идеалов. В самом деле, если R — тело , то — его единственные идеалы, и наоборот: то есть ненулевое кольцо R является телом, если — единственные левые (или правые) идеалы. (Доказательство: если — ненулевой элемент, то главный левый идеал (см. ниже) ненулевой и, следовательно , ; т. е. для некоторого ненулевого . Аналогично для некоторого ненулевого . Тогда .) ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle (0),(1)}$ ${\displaystyle (0),(1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Rx}$ ${\displaystyle Rx=(1)}$ ${\displaystyle yx=1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle zy=1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$
• Четные целые числа образуют идеал в кольце всех целых чисел, поскольку сумма любых двух четных целых чисел четна, а произведение любого целого числа на четное число также четно; этот идеал обычно обозначается . В более общем смысле, набор всех целых чисел, делящихся на фиксированное целое число, представляет собой идеал, обозначаемый . Фактически, каждый ненулевой идеал кольца порождается его наименьшим положительным элементом, как следствие евклидова деления , так же как и область главного идеала . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Множество всех многочленов с действительными коэффициентами, которые делятся на многочлен, является идеалом в кольце всех многочленов с действительными коэффициентами . ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$
• Возьмите кольцо и целое положительное число . Для каждого множество всех матриц с элементами в -й строке равно нулю является правым идеалом в кольце всех матриц с элементами в . Это не левый идеал. Аналогично, для каждого множество всех матриц, у которых -й столбец равен нулю, является левым идеалом, но не правым идеалом. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M_{n}(R)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle j}$
• Кольцо всех непрерывных функций от до при поточечном умножении содержит идеал всех непрерывных функций таких, что . ^[6] Другим идеалом в являются те функции, которые обращаются в нуль при достаточно больших аргументах, т.е. те непрерывные функции , для которых существует такое число, что всякий раз, когда . ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=0}$ ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L>0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle |x|>L}$
• Кольцо называется простым, если оно ненулевое и не имеет двусторонних идеалов, кроме . Таким образом, тело является простым, а простое коммутативное кольцо является полем. Кольцо матриц над телом является простым кольцом. ${\displaystyle (0),(1)}$
• Если - гомоморфизм колец , то ядро ​​является двусторонним идеалом . ^[4] По определению , и, следовательно, если не является нулевым кольцом (поэтому ), то является собственным идеалом. В более общем смысле, для каждого левого идеала I из S прообраз является левым идеалом. Если I — левый идеал кольца R , то это левый идеал подкольца S : если f не сюръективен, он не обязательно должен быть идеалом S ; см. также #Расширение и сокращение идеала ниже. ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle \ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}}$ ${\displaystyle \ker(f)}$ ${\displaystyle f^{-1}(I)}$ ${\displaystyle f(I)}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle f(I)}$
• Идеальное соответствие : Учитывая сюръективный гомоморфизм колец , существует биективное, сохраняющее порядок соответствие между левыми (соответственно правыми, двусторонними) идеалами, содержащими ядро, и левыми (соответственно правыми, двусторонними) идеалами : переписка предоставлена ​​и прообраз . Более того, для коммутативных колец это биективное соответствие ограничивается простыми идеалами, максимальными идеалами и радикальными идеалами (определения этих идеалов см. в разделе «Типы идеалов»). ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I\mapsto f(I)}$ ${\displaystyle J\mapsto f^{-1}(J)}$
• (Для тех , кто знает модули) Если M — левый R -модуль и его подмножество, то аннулятор S — левый идеал. Для заданных идеалов коммутативного кольца R R -аннулятор кольца является идеалом R , называемым идеальным фактором кольца by и обозначается ; это пример идеализатора в коммутативной алгебре. ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})}$
• Пусть – возрастающая цепочка левых идеалов в кольце R ; т. е. является полностью упорядоченным множеством и для каждого . Тогда объединение является левым идеалом R . (Примечание: этот факт остается верным, даже если R не имеет единицы 1.) ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},i\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}}$
• Приведенный выше факт вместе с леммой Цорна доказывает следующее: если – возможно пустое подмножество и левый идеал, не пересекающийся с E , то существует идеал, максимальный среди идеалов, содержащих и не пересекающихся с E . (Опять же, это все еще справедливо, если в кольце R отсутствует единица 1.) Когда , принимая и , в частности, существует левый идеал, который является максимальным среди собственных левых идеалов (часто называемый просто максимальным левым идеалом); дополнительную информацию см. в теореме Крулла . ${\displaystyle E\subset R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subset R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle R\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=(0)}$ ${\displaystyle E=\{1\}}$
• Произвольное объединение идеалов не обязательно должно быть идеалом, но по-прежнему верно следующее: учитывая, возможно, пустое подмножество X в R , существует наименьший левый идеал, содержащий X , называемый левым идеалом, порожденным X , и обозначается . Такой идеал существует, поскольку он является пересечением всех левых идеалов, содержащих X. Эквивалентно, это набор всех (конечных) левых R -линейных комбинаций элементов X над R : ${\displaystyle RX}$ ${\displaystyle RX}$

  ${\displaystyle RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}.}$

(поскольку такой промежуток является наименьшим левым идеалом, содержащим X .) ^{[примечание 2]} Правый (соответственно двусторонний) идеал, порожденный X , определяется аналогичным образом. Для «двухстороннего» приходится использовать линейные комбинации с обеих сторон; то есть,

${\displaystyle RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.\,}$

• Левый (соответственно правый, двусторонний) идеал, порожденный одним элементом x , называется главным левым (соответственно правым, двусторонним) идеалом, порожденным x , и обозначается (соответственно ). Главный двусторонний идеал часто обозначают также . Если – конечное множество, то также записывается как . ${\displaystyle Rx}$ ${\displaystyle xR,RxR}$ ${\displaystyle RxR}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle RXR}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$
• На кольце существует биективное соответствие между идеалами и отношениями конгруэнтности (отношениями эквивалентности, учитывающими кольцевую структуру): Учитывая идеал кольца , пусть если . Тогда является отношением конгруэнтности на . Обратно, учитывая отношение конгруэнтности на , пусть . Тогда является идеалом . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y\in I}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I=\{x\in R:x\sim 0\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

Виды идеалов

Для упрощения описания все кольца считаются коммутативными. Некоммутативный случай подробно обсуждается в соответствующих статьях.

Идеалы важны, поскольку они появляются как ядра гомоморфизмов колец и позволяют определить факторкольца . Изучаются разные типы идеалов, поскольку их можно использовать для построения разных типов факторных колец.

• Максимальный идеал : Собственный идеал I называется максимальным идеалом, если не существует другого собственного идеала J ,в котором I является собственным подмножеством J. Фактор-кольцо максимального идеала,вообще говоря, является простым кольцом и является полем для коммутативных колец. ^[7]
• Минимальный идеал : Ненулевой идеал называется минимальным, если он не содержит других ненулевых идеалов.
• Простой идеал : Собственный идеалназывается простым идеалом , если для любогоив, еслинаходится в, то хотя бы один изинаходится в. Фактор-кольцо простого идеалавообще является первичным кольцом и областью целостности для коммутативных колец. ^[8] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$
• Радикальный идеал или полупервичный идеал ^: Собственный идеал I называется радикальным или полупервичным , если для любого a в R , еслиn находится в I для некоторого n , то a находится в I. Фактор-кольцо радикального идеала является полупервичным кольцом для общих колец и приведенным кольцом для коммутативных колец.
• Первичный идеал : Идеал I называется первичным идеалом , если для всех a и b в R , если ab находится в I , то хотя бы один из ^a и bn находится в I для некоторого натурального числа n . Каждый простой идеал первичен, но не наоборот. Полупервичный первичный идеал является простым.
• Главный идеал : Идеал, порожденный одним элементом. ^[9]
• Конечно порожденный идеал : Этот тип идеала конечно порожден как модуль.
• Примитивный идеал :Левый примитивный идеал является аннулятором простого левого модуля .
• Неприводимый идеал . Идеал называется неприводимым, если его нельзя записать как пересечение идеалов, которые его собственно содержат.
• Комаксимальные идеалы : Два идеала I , J называются комаксимальными, если для некоторых и . ${\displaystyle x+y=1}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle y\in J}$
• Обычный идеал : этот термин имеет множество применений. Список см. в статье.
• Ниль-идеал : Идеал является нулевым идеалом, если каждый из его элементов нильпотентен.
• Нильпотентный идеал : некоторая его мощность равна нулю.
• Параметрический идеал : идеал, порожденный системой параметров .
• Совершенный идеал : Собственный идеал I в нётеровом кольценазывается совершенным идеалом, если его степень равна проективной размерности соответствующего факторкольца, ^[10] . Совершенный идеал несмешан . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textrm {grade}}(I)={\textrm {proj}}\dim(R/I)}$
• Несмешанный идеал : Собственный идеал I в нётеровом кольценазывается несмешанным идеалом (по высоте), если высота I равна высоте каждого ассоциированного простого числа P из R / I . (Это сильнее, чем утверждение, что R/I равномерно . См . такжеравномерное кольцо . ${\displaystyle R}$

Два других важных термина, использующих слово «идеал», не всегда являются идеалами своего круга. Подробности смотрите в соответствующих статьях:

• Дробный идеал : обычно определяется, когдаR является коммутативной областью с полем отношений K. Несмотря на названия, дробные идеалы представляют собой R подмодулей модуля K с особым свойством. Если дробный идеал целиком содержится в R ,то он действительно является идеалом R.
• Обратимый идеал : Обычно обратимый идеал A определяется как дробный идеал, для которого существует другой дробный идеал B , такойчто AB = BA = R. Некоторые авторы могут также применять «обратимый идеал» к обычным кольцевым идеалам A и B с AB = BA = R в кольцах, отличных от областей.

Идеальные операции

Сумма и произведение идеалов определяются следующим образом. Для и левых (соответственно правых) идеалов кольца R их сумма равна ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}}$,

который является левым (соответственно правым) идеалом и, если они двусторонние, ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},}$

т.е. продукт является идеалом, порожденным всеми продуктами формы ab с a in и b in . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Примечание — это наименьший левый (соответственно правый) идеал, содержащий оба и (или объединение ), а произведение содержится в пересечении и . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Дистрибутивный закон справедлив для двусторонних идеалов : ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$,
• ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$.

Если произведение заменяется пересечением, действует частичный распределительный закон:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}}$

где равенство выполняется, если содержит или . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Примечание . Сумма и пересечение идеалов снова являются идеалом; с помощью этих двух операций соединения и встречи множество всех идеалов данного кольца образует полную модульную решетку . Решетка, вообще говоря, не является дистрибутивной решеткой . Три операции пересечения, суммы (или соединения) и произведения превращают множество идеалов коммутативного кольца в квантал .

Если – идеалы коммутативного кольца R , то в следующих двух случаях (по крайней мере) ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$генерируется элементами, которые образуют регулярную последовательность по модулю . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

(В более общем смысле, разница между произведением и пересечением идеалов измеряется функтором Tor : ^[11] ) ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}.}$

Область целостности называется областью Дедекинда , если для каждой пары идеалов существует такой идеал, что . ^[12] Затем можно показать, что каждый ненулевой идеал дедекиндовой области может быть однозначно записан как произведение максимальных идеалов, что является обобщением фундаментальной теоремы арифметики . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$

Примеры идеальных операций

У нас есть ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z} }$

поскольку это набор целых чисел, которые делятся на и . ${\displaystyle (n)\cap (m)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Пусть и пусть . Затем, ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$и ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x+z)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$пока ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$

В первом вычислении мы видим общую схему взятия суммы двух конечно порожденных идеалов. Это идеал, порожденный объединением их генераторов. В последних трёх мы наблюдаем, что произведения и пересечения совпадают всякий раз, когда два идеала пересекаются в нулевом идеале. Эти вычисления можно проверить с помощью Macaulay2 . ^{[13] [14] [15]}

Радикал кольца

Идеалы естественным образом появляются при изучении модулей, особенно в форме радикала.

Для простоты мы работаем с коммутативными кольцами, но с некоторыми изменениями результаты справедливы и для некоммутативных колец.

Пусть R — коммутативное кольцо. По определению примитивный идеал R является аннулятором (ненулевого) простого R -модуля . Радикал Джейкобсона R является пересечением всех примитивных идеалов . Эквивалентно, ${\displaystyle J=\operatorname {Jac} (R)}$

${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.}$

Действительно, если – простой модуль и x – ненулевой элемент в M , то и , смысл является максимальным идеалом. Обратно, если – максимальный идеал, то – аннулятор простого R -модуля . Есть и другая характеристика (доказательство несложное): ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Rx=M}$ ${\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.}$

Для необязательно коммутативного кольца это общий факт, что он является единичным элементом тогда и только тогда, когда он есть (см. ссылку), и поэтому эта последняя характеристика показывает, что радикал может быть определен как в терминах левых, так и правых примитивных идеалов. . ${\displaystyle 1-yx}$ ${\displaystyle 1-xy}$

В определение радикала Джекобсона встроен следующий простой, но важный факт ( лемма Накаямы ): если M — модуль такой, что , то M не допускает максимального подмодуля , так как если существует максимальный подмодуль и , следовательно , противоречие. Поскольку ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальный подмодуль, в частности, имеет место: ${\displaystyle JM=M}$ ${\displaystyle L\subsetneq M}$ ${\displaystyle J\cdot (M/L)=0}$ ${\displaystyle M=JM\subset L\subsetneq M}$

Если и M конечно порождено, то ${\displaystyle JM=M}$ ${\displaystyle M=0.}$

Максимальный идеал является простым идеалом, поэтому имеет место

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}$

где пересечение слева называется нильрадикалом R . Как оказывается, это также множество нильпотентных элементов R . ${\displaystyle \operatorname {nil} (R)}$

Если R — артиново кольцо , то оно нильпотентно и . (Доказательство: сначала отметим, что DCC подразумевает для некоторого n . Если (DCC) является идеалом, собственно минимальным по отношению к последнему, то . Это противоречие.) ${\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)}$ ${\displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})}$ ${\displaystyle J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$ ${\displaystyle J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0}$

Расширение и сжатие идеала

Пусть A и B — два коммутативных кольца , и пусть f  : A → B — гомоморфизм колец . Если это идеал в A , то он не обязательно должен быть идеалом в B (например, возьмем f как включение кольца целых чисел Z в поле рациональных чисел Q ). Расширение в B определяется как идеал в B , порожденный . Явно, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}}$

Если является идеалом B , то это всегда идеал A , называемый сжатием до A. ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Предполагая, что f  : A → B — кольцевой гомоморфизм, идеал в A , идеал в B , тогда: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$является простым в B , является простым в A. ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}}$

В общем случае неверно, что из того, что простое (или максимальное) в A , следует, что оно простое (или максимальное) в B . Многие классические примеры этого происходят из алгебраической теории чисел. Например, встраивание . В элементе 2 учитывается то, что (можно показать) ни один из них не является единицей в B . So не является простым в B (а значит, и не максимальным). Действительно, показывает, что , , и поэтому . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$ ${\displaystyle B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$ ${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$ ${\displaystyle 1+i,1-i}$ ${\displaystyle (2)^{e}}$ ${\displaystyle (1\pm i)^{2}=\pm 2i}$ ${\displaystyle (1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})}$ ${\displaystyle (1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})}$ ${\displaystyle (2)^{e}=(1+i)^{2}}$

С другой стороны, если f сюръективно и тогда : ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supseteq \ker f}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}}$и . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$является простым идеалом в A является простым идеалом в B . ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$является максимальным идеалом в A является максимальным идеалом в B . ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$

Замечание : Пусть K — расширение поля L , а B и A — кольца целых чисел K и L соответственно . Тогда B — интегральное расширение A , и пусть f — отображение включения из A в B. Поведение простого идеала А при расширении — одна из центральных проблем алгебраической теории чисел . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}}$

Иногда полезно следующее: ^[16] простой идеал является сжатием простого идеала тогда и только тогда, когда . (Доказательство: предполагая последнее, обратите внимание, что пересекается , противоречие. Теперь простые идеалы соответствуют тем в B , которые не пересекаются с . Следовательно, существует простой идеал B , не пересекающийся с , такой, что является максимальным идеалом, содержащим . Затем проверяют, что лежит над Обратное очевидно.) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Обобщения

Идеалы могут быть обобщены на любой моноидный объект , где находится объект, в котором структура моноида забыта . Левый идеал — это подобъект , который «поглощает умножение слева на элементы »; то есть является левым идеалом , если он удовлетворяет следующим двум условиям: ${\displaystyle (R,\otimes )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle I}$является подобъектом _ ${\displaystyle R}$
2. Для каждого продукт есть в наличии . ${\displaystyle r\in (R,\otimes )}$ ${\displaystyle x\in (I,\otimes )}$ ${\displaystyle r\otimes x}$ ${\displaystyle (I,\otimes )}$

Правильный идеал определяется с заменой условия " " на "' ". Двусторонний идеал — это левый идеал, который также является правым идеалом, и иногда его называют просто идеалом. Когда это коммутативный моноидный объект соответственно, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, и термин идеал используется отдельно. ${\displaystyle r\otimes x\in (I,\otimes )}$ ${\displaystyle x\otimes r\in (I,\otimes )}$ ${\displaystyle R}$

Идеал также можно рассматривать как особый тип R -модуля . Если рассматривать левый -модуль (путем левого умножения), то левый идеал на самом деле является просто левым подмодулем . Другими словами, является левым (правым) идеалом тогда и только тогда, когда он является левым (правым) -модулем, который является подмножеством . является двусторонним идеалом, если он является суб- бимодулем . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Пример: Если мы позволяем , идеалом является абелева группа, которая является подмножеством , т.е. для некоторых . Таким образом, они отражают все идеалы . ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Смотрите также

• Модульная арифметика
• Теорема Нётер об изоморфизме
• Булева теорема о простых идеалах
• Идеальная теория
• Идеал (теория порядка)
• Идеальная норма
• Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
• Идеальная связка

Примечания

1. Некоторые авторы называют нулевой и единичный идеалы кольца R тривиальными идеалами R .
2. Если у R нет единицы измерения, то внутренние описания, приведенные выше, необходимо немного изменить. Помимо конечных сумм произведений вещей из X на вещи из R , мы должны разрешить сложение n -кратных сумм вида x + x + ... + x и n -кратных сумм вида (− x ) + (− x ) + ... + (− x ) для каждого x в X и каждого n в натуральных числах. Когда в R есть единица измерения, это дополнительное требование становится излишним.

Рекомендации

1. Джон Стиллвелл (2010). Математика и ее история . п. 439.
2. Гарольд М. Эдвардс (1977). Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел . п. 76.
3. Эверест Г., Уорд Т. (2005). Введение в теорию чисел . п. 83.
4. Даммит и Фут (2004), стр. 243.
5. Ланг 2005, Раздел III.2.
6. Даммит и Фут (2004), с. 244.
7. Потому что простые коммутативные кольца являются полями. См. Лам (2001). Первый курс некоммутативных колец. п. 39.
8. Даммит и Фут (2004), с. 255.
9. Даммит и Фут (2004), с. 251.
10. Мацумура, Хидеюки (1987). Коммутативная теория колец. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 132. ИСБН 9781139171762.
11. Eisenbud 1995, Упражнение A 3.17.
12. Милнор (1971), с. 9.
13. «Идеалы». www.math.uiuc.edu . Архивировано из оригинала 16 января 2017 г. Проверено 14 января 2017 г.
14. «суммы, произведения и степени идеалов». www.math.uiuc.edu . Архивировано из оригинала 16 января 2017 г. Проверено 14 января 2017 г.
15. «Пересечение идеалов». www.math.uiuc.edu . Архивировано из оригинала 16 января 2017 г. Проверено 14 января 2017 г.
16. Атья и Макдональд (1969), Предложение 3.16.

• Атья, Майкл Ф .; Макдональд, Ян Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Книги Персея. ISBN 0-201-00361-9.
• Черт возьми, Дэвид Стивен; Фут, Ричард Мартин (2004). Абстрактная алгебра (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 9780471433347.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с взглядом на алгебраическую геометрию , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN. 978-0-387-94268-1, МР  1322960
• Ланг, Серж (2005). Бакалавриат по алгебре (Третье изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-22025-3.
• Хазевинкель, Михель ; Губарени, Надежда; Губарени Надежда Михайловна; Кириченко, Владимир В. (2004). Алгебры, кольца и модули . Том. 1. Спрингер. ISBN 1-4020-2690-0.
• Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую К-теорию . Анналы математических исследований. Том. 72. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691081014. МР  0349811. Збл  0237.18005.

Внешние ссылки

• Левинсон, Джейк (14 июля 2014 г.). «Геометрическая интерпретация расширения идеалов?». Обмен стеками .