В физике и математике размерность математического пространства (или объекта ) неформально определяется как минимальное количество координат, необходимых для указания любой точки внутри него. [1] [2] Таким образом, линия имеет размерность один (1D), потому что для указания точки на ней нужна только одна координата — например, точка 5 на числовой прямой. Поверхность , такая как граница цилиндра или сферы , имеет размерность два (2D), потому что для указания точки на ней нужны две координаты — например, для определения точки на поверхности сферы требуются и широта , и долгота . Двумерное евклидово пространство — это двумерное пространство на плоскости . Внутренняя часть куба , цилиндра или сферы является трехмерной (3D), потому что для определения точки внутри этих пространств нужны три координаты.
В классической механике пространство и время являются разными категориями и относятся к абсолютному пространству и времени . Эта концепция мира представляет собой четырехмерное пространство , но не то, которое было сочтено необходимым для описания электромагнетизма . Четыре измерения (4D) пространства-времени состоят из событий, которые не определены абсолютно пространственно и временно, а скорее известны относительно движения наблюдателя . Пространство Минковского сначала аппроксимирует вселенную без гравитации ; псевдоримановы многообразия общей теории относительности описывают пространство-время с материей и гравитацией. 10 измерений используются для описания теории суперструн (6D гиперпространство + 4D), 11 измерений могут описывать супергравитацию и М-теорию (7D гиперпространство + 4D), а пространство состояний квантовой механики является бесконечномерным функциональным пространством .
Понятие измерения не ограничивается физическими объектами.Пространства высокой размерности часто встречаются в математике инауках. Они могут бытьевклидовыми пространствамиили более общимипространствами параметровиликонфигурационными пространствамитакими как влагранжевойилигамильтоновой механике; этоабстрактные пространства, независимые отфизического пространства.
В математике размерность объекта — это, грубо говоря, число степеней свободы точки, которая движется на этом объекте. Другими словами, размерность — это число независимых параметров или координат , которые необходимы для определения положения точки, которая ограничена нахождением на объекте. Например, размерность точки равна нулю; размерность линии равна единице, поскольку точка может двигаться по линии только в одном направлении (или в противоположном); размерность плоскости равна двум и т. д.
Измерение является внутренним свойством объекта в том смысле, что оно не зависит от измерения пространства, в которое объект встроен или может быть встроен. Например, кривая , такая как окружность , имеет измерение один, поскольку положение точки на кривой определяется ее расстоянием со знаком вдоль кривой до фиксированной точки на кривой. Это не зависит от того факта, что кривая не может быть встроена в евклидово пространство с измерением ниже двух, если только она не является линией.
Размерность евклидова n -пространства E n равна n . При попытке обобщения на другие типы пространств возникает вопрос «что делает E n n -мерным?» Один из ответов заключается в том, что для покрытия фиксированного шара в E n малыми шарами радиуса ε , необходимо порядка ε − n таких малых шаров. Это наблюдение приводит к определению размерности Минковского и ее более сложного варианта, размерности Хаусдорфа , но есть и другие ответы на этот вопрос. Например, граница шара в E n локально выглядит как E n -1 , и это приводит к понятию индуктивной размерности . Хотя эти понятия согласуются относительно E n , они оказываются разными, если рассматривать более общие пространства.
Тессеракт — пример четырехмерного объекта. В то время как за пределами математики термин «измерение» используется как: «Тессеракт имеет четыре измерения », математики обычно выражают это как: «Тессеракт имеет измерение 4 » или: «Размерность тессеракта равна 4» или: 4D.
Хотя понятие высших измерений восходит к Рене Декарту , существенное развитие многомерной геометрии началось только в 19 веке благодаря работам Артура Кэли , Уильяма Роуэна Гамильтона , Людвига Шлефли и Бернхарда Римана . Habilitationsschrift Римана 1854 года , Theorie der vielfachen Kontinuität Шлефли 1852 года , а также открытие Гамильтоном кватернионов и открытие Джоном Т. Грейвсом октонионов в 1843 году ознаменовали начало многомерной геометрии.
В оставшейся части этого раздела рассматриваются некоторые наиболее важные математические определения размерности.
Размерность векторного пространства — это число векторов в любом базисе для пространства, т. е. число координат, необходимых для указания любого вектора. Это понятие размерности ( мощность базиса) часто называют размерностью Гамеля или алгебраической размерностью, чтобы отличать ее от других понятий размерности.
Для несвободного случая это обобщается до понятия длины модуля .
Однозначно определенная размерность каждого связного топологического многообразия может быть вычислена. Связное топологическое многообразие локально гомеоморфно евклидову n -пространству, в котором число n является размерностью многообразия.
Для связных дифференцируемых многообразий размерность также является размерностью касательного векторного пространства в любой точке.
В геометрической топологии теория многообразий характеризуется тем, что измерения 1 и 2 относительно элементарны, случаи высокой размерности n > 4 упрощаются за счет наличия дополнительного пространства для «работы»; а случаи n = 3 и 4 в некотором смысле являются наиболее сложными. Такое положение дел было ярко выражено в различных случаях гипотезы Пуанкаре , в которых применяются четыре различных метода доказательства.
Размерность многообразия зависит от базового поля, относительно которого определяется евклидово пространство. Хотя анализ обычно предполагает, что многообразие находится над действительными числами , иногда при изучении комплексных многообразий и алгебраических многообразий полезно работать над комплексными числами . Комплексное число ( x + iy ) имеет действительную часть x и мнимую часть y , в которой x и y оба являются действительными числами; следовательно, комплексная размерность составляет половину действительной размерности.
Наоборот, в алгебраически неограниченных контекстах, одна комплексная система координат может быть применена к объекту, имеющему два действительных измерения. Например, обычная двумерная сферическая поверхность , когда ей задана комплексная метрика, становится сферой Римана одного комплексного измерения. [3]
Размерность алгебраического многообразия может быть определена различными эквивалентными способами. Наиболее интуитивным способом, вероятно, является размерность касательного пространства в любой регулярной точке алгебраического многообразия . Другой интуитивный способ — определить размерность как количество гиперплоскостей , необходимых для того, чтобы пересечение с многообразием свелось к конечному числу точек (размерность ноль). Это определение основано на том факте, что пересечение многообразия с гиперплоскостью уменьшает размерность на единицу, если только гиперплоскость не содержит многообразие.
Алгебраическое множество , являющееся конечным объединением алгебраических многообразий, имеет размерность, равную максимальной из размерностей его компонент. Она равна максимальной длине цепочек подмногообразий данного алгебраического множества (длина такой цепочки равна числу " ").
Каждое многообразие можно рассматривать как алгебраический стек , и его размерность как многообразия согласуется с его размерностью как стека. Однако существует много стеков, которые не соответствуют многообразиям, и некоторые из них имеют отрицательную размерность. В частности, если V — многообразие размерности m, а G — алгебраическая группа размерности n, действующая на V , то фактор-стек [ V / G ] имеет размерность m − n . [4]
Размерность Крулля коммутативного кольца — это максимальная длина цепочек простых идеалов в нем, причем цепочка длины n является последовательностью простых идеалов, связанных включением. Она тесно связана с размерностью алгебраического многообразия из-за естественного соответствия между подмногообразиями и простыми идеалами кольца многочленов на многообразии.
Для алгебры над полем размерность векторного пространства конечна тогда и только тогда, когда ее размерность Крулля равна 0.
Для любого нормального топологического пространства X размерность покрытия Лебега пространства X определяется как наименьшее целое число n, для которого выполняется следующее: любое открытое покрытие имеет открытое измельчение (второе открытое покрытие, в котором каждый элемент является подмножеством элемента в первом покрытии) такое, что ни одна точка не включена в более чем n + 1 элемент. В этом случае dim X = n . Для многообразия X это совпадает с размерностью, упомянутой выше. Если такого целого числа n не существует, то размерность X называется бесконечной, и записывается dim X = ∞ . Более того, X имеет размерность −1, т. е. dim X = −1 тогда и только тогда, когда X пусто. Это определение размерности покрытия можно распространить с класса нормальных пространств на все тихоновские пространства, просто заменив термин «открытый» в определении на термин « функционально открытый ».
Индуктивное измерение может быть определено индуктивно следующим образом. Рассмотрим дискретный набор точек (такой как конечный набор точек) как 0-мерный. Перетаскивая 0-мерный объект в некотором направлении, получаем 1-мерный объект. Перетаскивая 1-мерный объект в новом направлении , получаем 2-мерный объект. В общем, ( n + 1 )-мерный объект получается путем перетаскивания n -мерного объекта в новом направлении. Индуктивное измерение топологического пространства может относиться к малому индуктивному измерению или большому индуктивному измерению и основано на аналогии, что в случае метрических пространств ( n + 1 )-мерные шары имеют n -мерные границы , что позволяет дать индуктивное определение, основанное на размерности границ открытых множеств. Более того, граница дискретного набора точек является пустым множеством, и поэтому пустое множество можно считать имеющим размерность -1. [5]
Аналогично, для класса комплексов CW размерность объекта равна наибольшему n , для которого n -скелет нетривиален. Интуитивно это можно описать следующим образом: если исходное пространство может быть непрерывно деформировано в набор треугольников более высокой размерности, соединенных на своих гранях сложной поверхностью, то размерность объекта равна размерности этих треугольников. [ необходима цитата ]
Размерность Хаусдорфа полезна для изучения структурно сложных множеств, особенно фракталов . Размерность Хаусдорфа определена для всех метрических пространств и, в отличие от рассмотренных выше размерностей, может также иметь нецелые действительные значения. [6] Размерность ящика или размерность Минковского является вариантом той же идеи. В общем, существует больше определений фрактальных размерностей , которые работают для крайне нерегулярных множеств и достигают нецелых положительных действительных значений.
Каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис , и любые два таких базиса для конкретного пространства имеют одинаковую мощность . Эта мощность называется размерностью гильбертова пространства. Эта размерность конечна тогда и только тогда, когда размерность Гамеля пространства конечна, и в этом случае две размерности совпадают.
Классические физические теории описывают три физических измерения : из определенной точки пространства основные направления, в которых мы можем двигаться, — это вверх/вниз, влево/вправо и вперед/назад. Движение в любом другом направлении можно выразить с помощью этих трех. Движение вниз — это то же самое, что и движение вверх на отрицательное расстояние. Движение по диагонали вверх и вперед — это то же самое, что подразумевает название направления , то есть движение в линейной комбинации вверх и вперед. В своей простейшей форме: линия описывает одно измерение, плоскость описывает два измерения, а куб описывает три измерения. (См. Пространство и декартова система координат .)
Временное измерение , или измерение времени , является измерением времени. По этой причине время часто называют « четвертым измерением », но это не означает, что оно является пространственным измерением [ требуется цитата ] . Временное измерение — это один из способов измерения физических изменений. Оно воспринимается иначе, чем три пространственных измерения, поскольку существует только одно из них, и мы не можем свободно перемещаться во времени, но субъективно движемся в одном направлении .
Уравнения, используемые в физике для моделирования реальности, не трактуют время так, как его обычно воспринимают люди. Уравнения классической механики симметричны относительно времени , а уравнения квантовой механики обычно симметричны, если и время, и другие величины (такие как заряд и четность ) меняются местами. В этих моделях восприятие времени, текущего в одном направлении, является артефактом законов термодинамики (мы воспринимаем время как текущее в направлении увеличения энтропии ).
Наиболее известная трактовка времени как измерения — это специальная теория относительности Пуанкаре и Эйнштейна ( и расширенная до общей теории относительности ), которая рассматривает воспринимаемое пространство и время как компоненты четырехмерного многообразия , известного как пространство-время , а в особом, плоском случае как пространство Минковского . Время отличается от других пространственных измерений, поскольку время действует во всех пространственных измерениях. Время действует в первом, втором и третьем, а также в теоретических пространственных измерениях, таких как четвертое пространственное измерение . Однако время не присутствует в одной точке абсолютной бесконечной сингулярности , определяемой как геометрическая точка , поскольку бесконечно малая точка не может иметь никаких изменений и, следовательно, никакого времени. Так же, как когда объект перемещается через положения в пространстве, он также перемещается через положения во времени. В этом смысле сила, побуждающая любой объект изменяться, — это время . [7] [8] [9]
В физике общепринятой нормой являются три измерения пространства и одно измерение времени. Однако существуют теории, которые пытаются объединить четыре фундаментальных взаимодействия , вводя дополнительные измерения / гиперпространство . В частности, теория суперструн требует 10 измерений пространства-времени и происходит из более фундаментальной 11-мерной теории, предварительно названной М-теорией , которая включает в себя пять ранее различных теорий суперструн. Теория супергравитации также продвигает 11D пространство-время = 7D гиперпространство + 4 общих измерения. На сегодняшний день нет прямых экспериментальных или наблюдательных доказательств, подтверждающих существование этих дополнительных измерений. Если гиперпространство существует, оно должно быть скрыто от нас каким-то физическим механизмом. Одна хорошо изученная возможность заключается в том, что дополнительные измерения могут быть «свернуты» в таких крошечных масштабах, что они фактически невидимы для текущих экспериментов.
В 1921 году теория Калуцы–Клейна представила 5D, включая дополнительное измерение пространства. На уровне квантовой теории поля теория Калуцы–Клейна объединяет гравитацию с калибровочными взаимодействиями, основываясь на понимании того, что гравитация, распространяющаяся в малых компактных дополнительных измерениях, эквивалентна калибровочным взаимодействиям на больших расстояниях. В частности, когда геометрия дополнительных измерений тривиальна, она воспроизводит электромагнетизм . Однако при достаточно высоких энергиях или на коротких расстояниях эта установка по-прежнему страдает от тех же патологий, которые, как известно, препятствуют прямым попыткам описания квантовой гравитации . Поэтому эти модели по-прежнему требуют UV-дополнения , того вида, который теория струн призвана обеспечить. В частности, теория суперструн требует шести компактных измерений (6D гиперпространство), образующих многообразие Калаби–Яу . Таким образом, теорию Калуцы–Клейна можно рассматривать либо как неполное описание само по себе, либо как подмножество построения модели теории струн.
В дополнение к малым и скрученным дополнительным измерениям могут быть дополнительные измерения, которые вместо этого не видны, потому что материя, связанная с нашей видимой вселенной, локализована в (3 + 1)-мерном подпространстве. Таким образом, дополнительные измерения не обязательно должны быть малыми и компактными, но могут быть большими дополнительными измерениями . D-браны — это динамические протяженные объекты различных размерностей, предсказанные теорией струн, которые могли бы играть эту роль. Они обладают тем свойством, что открытые возбуждения струн, которые связаны с калибровочными взаимодействиями, ограничены браной своими конечными точками, тогда как закрытые струны, которые опосредуют гравитационное взаимодействие, могут свободно распространяться во всем пространстве-времени, или «балке». Это может быть связано с тем, почему гравитация экспоненциально слабее других сил, поскольку она эффективно разбавляет себя по мере распространения в более многомерный объем.
Некоторые аспекты физики бран были применены к космологии . Например, космология бранного газа [10] [11] пытается объяснить, почему существует три измерения пространства, используя топологические и термодинамические соображения. Согласно этой идее, это так, поскольку три — это наибольшее число пространственных измерений, в которых струны могут пересекаться в общем случае. Если изначально существует много витков струн вокруг компактных измерений, пространство может расшириться до макроскопических размеров только после того, как эти витки будут устранены, что требует, чтобы противоположно намотанные струны нашли друг друга и аннигилировали. Но струны могут найти друг друга, чтобы аннигилировать со значимой скоростью только в трех измерениях, поэтому следует, что только три измерения пространства могут вырасти большими, учитывая этот вид начальной конфигурации.
Дополнительные измерения называются универсальными , если все поля в равной степени свободны распространяться внутри них.
Несколько типов цифровых систем основаны на хранении, анализе и визуализации геометрических фигур, включая программное обеспечение для иллюстраций , автоматизированное проектирование и географические информационные системы . Различные векторные системы используют широкий спектр структур данных для представления фигур, но почти все они в своей основе основаны на наборе геометрических примитивов, соответствующих пространственным измерениям: [12]
Часто в этих системах, особенно ГИС и картографии , представление явления реального мира может иметь иное (обычно более низкое) измерение, чем представляемое явление. Например, город (двумерный регион) может быть представлен в виде точки, а дорога (трехмерный объем материала) может быть представлена в виде линии. Это размерное обобщение коррелирует с тенденциями в пространственном познании. Например, вопрос о расстоянии между двумя городами предполагает концептуальную модель городов как точек, в то время как указание направлений, включающих движение «вверх», «вниз» или «вдоль» дороги, подразумевает одномерную концептуальную модель. Это часто делается в целях эффективности данных, визуальной простоты или когнитивной эффективности и приемлемо, если различие между представлением и представляемым понятно, но может вызвать путаницу, если пользователи информации предполагают, что цифровая форма является идеальным представлением реальности (т. е. верят, что дороги на самом деле являются линиями).
