Размерность Минковского–Булигана

Метод определения фрактальной размерности

Оценка площади побережья Великобритании по количеству коробок

В фрактальной геометрии размерность Минковского –Булигана , также известная как размерность Минковского или размерность подсчета ящиков , является способом определения фрактальной размерности множества в евклидовом пространстве или, в более общем смысле, в метрическом пространстве . Она названа в честь польского математика Германа Минковского и французского математика Жоржа Булигана . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (X,d)}$

Чтобы вычислить это измерение для фрактала , представьте, что этот фрактал лежит на равномерно распределенной сетке, и посчитайте, сколько ящиков требуется для покрытия множества. Измерение подсчета ящиков вычисляется путем наблюдения за тем, как это число изменяется по мере того, как мы делаем сетку более мелкой, применяя алгоритм подсчета ящиков . ${\displaystyle S}$

Предположим, что это число коробок с длиной стороны, необходимое для покрытия набора. Тогда размерность подсчета коробок определяется как ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}.}$

Грубо говоря, это означает, что размерность — это показатель степени, такой что , чего и следовало ожидать в тривиальном случае, когда — гладкое пространство ( многообразие ) целочисленной размерности . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N(\varepsilon )\approx C\varepsilon ^{-d}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$

Если вышеуказанный предел не существует, можно все равно взять верхний предел и нижний предел , которые соответственно определяют верхнюю размерность ящика и нижнюю размерность ящика . Верхнюю размерность ящика иногда называют энтропийной размерностью , размерностью Колмогорова , емкостью Колмогорова , предельной емкостью или верхней размерностью Минковского , в то время как нижнюю размерность ящика также называют нижней размерностью Минковского .

Верхняя и нижняя размерности ящика тесно связаны с более популярной размерностью Хаусдорфа . Только в очень специальных приложениях важно различать эти три (см. ниже). Еще одной мерой фрактальной размерности является корреляционная размерность .

Альтернативные определения

Примеры упаковки мячей, покрытия мячей и покрытия коробок

Можно определить размеры коробки с помощью шаров, используя либо число покрытия , либо число упаковки. Число покрытия — это минимальное количество открытых шаров радиуса, необходимое для покрытия фрактала, или, другими словами, такое, что их объединение содержит фрактал. Мы также можем рассмотреть внутреннее число покрытия , которое определяется тем же способом, но с дополнительным требованием, чтобы центры открытых шаров лежали в множестве S . Число упаковки — это максимальное количество непересекающихся открытых шаров радиуса , которые можно расположить так, чтобы их центры находились во фрактале. Хотя , , и не являются точно идентичными, они тесно связаны друг с другом и приводят к идентичным определениям верхних и нижних размеров коробки. Это легко показать, если доказать следующие неравенства: ${\displaystyle N_{\text{covering}}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N'_{\text{covering}}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N_{\text{covering}}}$ ${\displaystyle N'_{\text{covering}}}$ ${\displaystyle N_{\text{packing}}}$

${\displaystyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon )\leq N_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N_{\text{packing}}(\varepsilon /4).}$

Они, в свою очередь, следуют либо по определению, либо с небольшими усилиями из неравенства треугольника .

Преимущество использования шаров вместо квадратов заключается в том, что это определение обобщается на любое метрическое пространство . Другими словами, определение ящика является внешним  — предполагается, что фрактальное пространство S содержится в евклидовом пространстве , и определяются ящики в соответствии с внешней геометрией содержащего пространства. Однако размерность S должна быть внутренней , независимой от среды, в которую помещается S , и определение шара может быть сформулировано внутренне. Один определяет внутренний шар как все точки S в пределах определенного расстояния от выбранного центра, и один подсчитывает такие шары, чтобы получить размерность. (Точнее, определение _{покрытия} N является внешним, но два других являются внутренними.)

Преимущество использования коробок состоит в том, что во многих случаях N ( ε ) можно легко вычислить явно, и что для коробок числа покрытия и упаковки (определенные эквивалентным образом) равны.

Логарифм чисел упаковки и покрытия иногда называют числами энтропии , и они в некоторой степени аналогичны концепциям термодинамической энтропии и теоретико-информационной энтропии , поскольку они измеряют количество «беспорядка» в метрическом пространстве или фрактале в масштабе ε, а также измеряют, сколько бит или цифр потребуется для указания точки пространства с точностью ε .

Другое эквивалентное (внешнее) определение для измерения подсчета ящиков дается формулой

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\log r}},}$

где для каждого r  > 0 множество определяется как r -окрестность S , т. е. множество всех точек, которые находятся на расстоянии меньшем r от S (или, что эквивалентно, является объединением всех открытых шаров радиуса r , центр которых является членом  S ). ${\displaystyle S_{r}}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle S_{r}}$

Характеристики

Верхняя размерность ящика конечно устойчива, т.е. если { A ₁ , ..., A _n } — конечный набор множеств, то

${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim _{\text{upper box}}(A_{1}),\dots ,\dim _{\text{upper box}}(A_{n})\}.}$

Однако, оно не является счетно устойчивым, т. е. это равенство не выполняется для бесконечной последовательности множеств. Например, размерность ящика одной точки равна 0, но размерность ящика набора рациональных чисел в интервале [0, 1] имеет размерность 1. Размерность Хаусдорфа , для сравнения, счетно устойчива. С другой стороны, нижняя размерность ящика даже не является конечно устойчивой.

Интересное свойство верхнего измерения ящика, не разделяемое ни нижним измерением ящика, ни измерением Хаусдорфа, — это связь с добавлением множеств. Если A и B — два множества в евклидовом пространстве, то A + B образуется путем взятия всех пар точек a ,  b , где a из A , а b из B , и сложения a  +  b . Получается

${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).}$

Связь с размерностью Хаусдорфа

Измерение подсчета ящиков — одно из ряда определений измерения, которое можно применить к фракталам. Для многих хорошо себя ведущих фракталов все эти измерения равны; в частности, эти измерения совпадают всякий раз, когда фрактал удовлетворяет условию открытого множества (OSC). ^[1] Например, измерение Хаусдорфа , нижнее измерение ящика и верхнее измерение ящика множества Кантора равны log(2)/log(3). Однако эти определения не эквивалентны.

Размеры ящика и размерность Хаусдорфа связаны неравенством

${\displaystyle \dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{lower box}}\leq \dim _{\text{upper box}}.}$

В общем случае оба неравенства могут быть строгими . Верхняя размерность ящика может быть больше нижней размерности ящика, если фрактал ведет себя по-разному в разных масштабах. Например, рассмотрим набор чисел в интервале [0, 1], удовлетворяющих условию

для любого n все цифры между 2 ^{2 n} -й цифрой и (2 ^{2 n +1}  − 1)-й цифрой равны нулю.

Цифры в "нечетных интервалах", т. е. между цифрами 2 ^{2 n +1} и 2 ^{2 n +2}  − 1, не ограничены и могут принимать любые значения. Этот фрактал имеет верхнюю размерность ящика 2/3 и нижнюю размерность ящика 1/3, факт, который можно легко проверить, вычислив N ( ε ) для и заметив, что их значения ведут себя по-разному для четных и нечетных n . ${\displaystyle \varepsilon =10^{-2^{n}}}$

Другой пример: множество рациональных чисел , счетное множество с , имеет , поскольку его замыкание, , имеет размерность 1. Фактически, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \dim _{\text{Haus}}=0}$ ${\displaystyle \dim _{\text{box}}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.}$

Эти примеры показывают, что добавление счетного множества может изменить размерность ящика, демонстрируя своего рода нестабильность этой размерности.

Смотрите также

• Корреляционное измерение
• Размеры упаковки
• Показатель неопределенности
• Гипотеза Вейля–Берри
• Лакунарность

Ссылки

1. Вагон, Стэн (2010). Mathematica в действии: решение проблем с помощью визуализации и вычислений . Springer-Verlag . стр. 214. ISBN 0-387-75477-6.

• Фальконер, Кеннет (1990). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения . Чичестер: John Wiley. стр. 38–47. ISBN 0-471-92287-0. Збл  0689.28003.
• Вайсштейн, Эрик В. «Измерение Минковского-Булиганда». Математический мир .

Внешние ссылки

• FrakOut!: приложение OSS для расчета фрактальной размерности фигуры с использованием метода подсчета ячеек (не расставляет ячейки автоматически).
• FracLac: онлайн-руководство пользователя и программное обеспечение ImageJ и плагин для подсчета ящиков FracLac; бесплатное удобное программное обеспечение с открытым исходным кодом для анализа цифровых изображений в биологии