Размерность Хаусдорфа

Инвариантная мера фрактальной размерности

Пример нецелочисленных измерений. Первые четыре итерации кривой Коха , где после каждой итерации все исходные отрезки линии заменяются четырьмя, каждый из которых является самоподобной копией, которая составляет 1/3 длины оригинала. Один формализм измерения Хаусдорфа использует масштабный коэффициент (S = 3) и количество самоподобных объектов (N = 4) для вычисления измерения D, после первой итерации, которое равно D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1,26. ^[1]

В математике размерность Хаусдорфа — это мера шероховатости , или, точнее, фрактальная размерность , которая была введена в 1918 году математиком Феликсом Хаусдорфом . ^[2] Например, размерность Хаусдорфа отдельной точки равна нулю, отрезка прямой — 1, квадрата — 2, а куба — 3. То есть для наборов точек, которые определяют гладкую форму или форму, имеющую небольшое количество углов — формы традиционной геометрии и науки — размерность Хаусдорфа является целым числом, согласующимся с обычным смыслом размерности, также известным как топологическая размерность . Однако были также разработаны формулы, которые позволяют вычислять размерность других менее простых объектов, где, исключительно на основе их свойств масштабирования и самоподобия , можно прийти к выводу, что конкретные объекты — включая фракталы — имеют нецелые размерности Хаусдорфа. Благодаря значительным техническим достижениям Абрама Самойловича-Безиковича, позволяющим вычислять размерности для крайне нерегулярных или «грубых» множеств, эту размерность также часто называют размерностью Хаусдорфа–Безиковича.

Более конкретно, размерность Хаусдорфа — это размерное число, связанное с метрическим пространством , т. е. множеством, в котором определены расстояния между всеми членами. Размерность выводится из расширенных действительных чисел , , в отличие от более интуитивного понятия размерности, которое не связано с общими метрическими пространствами и принимает значения только в неотрицательных целых числах. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

В математических терминах размерность Хаусдорфа обобщает понятие размерности действительного векторного пространства . То есть размерность Хаусдорфа n -мерного пространства внутреннего произведения равна n . Это лежит в основе более раннего утверждения, что размерность Хаусдорфа точки равна нулю, линии равна единице и т. д., и что нерегулярные множества могут иметь нецелые размерности Хаусдорфа. Например, снежинка Коха, показанная справа, построена из равностороннего треугольника; в каждой итерации ее составные отрезки линии делятся на 3 отрезка единичной длины, вновь созданный средний отрезок используется в качестве основания нового равностороннего треугольника, который указывает наружу, и этот базовый отрезок затем удаляется, чтобы оставить конечный объект из итерации единичной длины 4. ^[3] То есть после первой итерации каждый исходный отрезок линии был заменен на N=4, где каждая самоподобная копия имеет длину 1/S = 1/3 от длины оригинала. ^[1] Другими словами, мы взяли объект с евклидовой размерностью D и уменьшили его линейный масштаб на 1/3 в каждом направлении, так что его длина увеличилась до N=S ^{D. [4]} Это уравнение легко решается относительно D , давая отношение логарифмов (или натуральных логарифмов ), появляющихся на рисунках, и давая — в случае Коха и других фракталов — нецелые размерности для этих объектов.

Измерение Хаусдорфа является преемником более простого, но обычно эквивалентного измерения подсчета ячеек или измерения Минковского–Булигана .

Интуиция

Интуитивное понятие размерности геометрического объекта X — это число независимых параметров, необходимых для выбора уникальной точки внутри. Однако любая точка, заданная двумя параметрами, может быть задана одним, поскольку мощность действительной плоскости равна мощности действительной прямой (это можно увидеть с помощью аргумента, включающего переплетение цифр двух чисел для получения одного числа, кодирующего ту же информацию). Пример заполняющей пространство кривой показывает, что можно даже сюръективно отобразить действительную прямую на действительную плоскость (взяв одно действительное число в пару действительных чисел таким образом, чтобы все пары чисел были покрыты) и непрерывно , так что одномерный объект полностью заполнит более многомерный объект.

Каждая заполняющая пространство кривая касается некоторых точек несколько раз и не имеет непрерывной обратной. Невозможно отобразить два измерения на одно таким образом, чтобы это было непрерывно и непрерывно обратимо. Топологическая размерность, также называемая размерностью покрытия Лебега , объясняет, почему. Эта размерность является наибольшим целым числом n таким, что в каждом покрытии X малыми открытыми шарами есть по крайней мере одна точка, где n  + 1 шаров перекрываются. Например, когда кто-то покрывает линию короткими открытыми интервалами, некоторые точки должны быть покрыты дважды, что дает размерность  n  = 1.

Но топологическая размерность — это очень грубая мера локального размера пространства (размера вблизи точки). Кривая, которая почти заполняет пространство, все еще может иметь топологическую размерность один, даже если она заполняет большую часть области. Фрактал имеет целочисленную топологическую размерность, но с точки зрения занимаемого им пространства он ведет себя как многомерное пространство.

Размерность Хаусдорфа измеряет локальный размер пространства с учетом расстояния между точками, метрики . Рассмотрим число N ( r ) шаров радиусом не более r, необходимое для полного покрытия X. Когда r очень мало, N ( r ) растет полиномиально с 1/ r . Для достаточно хорошо себя ведущего X размерность Хаусдорфа — это уникальное число d такое, что N( r ) растет как 1/ r ^{d по мере} того, как r приближается к нулю. Точнее, это определяет размерность подсчета ящиков , которая равна размерности Хаусдорфа, когда значение d является критической границей между темпами роста, недостаточными для покрытия пространства, и темпами роста, которые избыточны.

Для гладких форм или форм с небольшим количеством углов, форм традиционной геометрии и науки, размерность Хаусдорфа является целым числом, согласующимся с топологической размерностью. Но Бенуа Мандельброт заметил, что фракталы , множества с нецелыми размерностями Хаусдорфа, встречаются в природе повсюду. Он заметил, что правильная идеализация большинства грубых форм, которые мы видим, заключается не в терминах гладких идеализированных форм, а в терминах фрактальных идеализированных форм:

Облака — не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не круги, кора деревьев не гладкая, а молния не распространяется по прямой линии. ^[5]

Для фракталов, которые встречаются в природе, Хаусдорфово и размерность подсчета ящиков совпадают. Размерность упаковки — еще одно похожее понятие, которое дает одно и то же значение для многих форм, но есть хорошо документированные исключения, когда все эти размерности различаются. ^{[ нужны примеры ]}

Формальное определение

Формальное определение размерности Хаусдорфа достигается путем определения сначала d-мерной меры Хаусдорфа , дробно-размерного аналога меры Лебега . Сначала строится внешняя мера : Пусть будет метрическим пространством . Если и , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle d\in [0,\infty )}$

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},}$

где инфимум берется по всем счетным покрытиям . Хаусдорфова d-мерная внешняя мера тогда определяется как , а ограничение отображения на измеримые множества оправдывает ее как меру, называемую -мерной Хаусдорфовой мерой. ^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$ ${\displaystyle d}$

Размерность Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа определяется как ${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }{(X)}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }{(X)}:=\inf\{d\geq 0:{\mathcal {H}}^{d}(X)=0\}.}$

Это то же самое, что и супремум множества таких, что -мерная мера Хаусдорфа бесконечна (за исключением того, что когда этот последний набор чисел пуст, размерность Хаусдорфа равна нулю). ${\displaystyle d\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

Содержание Хаусдорфа

-мерное неограниченное хаусдорфово содержание определяется как ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=H_{\infty }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{k})^{d}:\bigcup _{k=1}^{\infty }U_{k}\supseteq S\right\}}$

Другими словами, имеет конструкцию меры Хаусдорфа, где покрывающие множества могут иметь произвольно большие размеры (здесь мы используем стандартное соглашение, что ). ^[7] Мера Хаусдорфа и содержимое Хаусдорфа могут быть использованы для определения размерности множества, но если мера множества не равна нулю, их фактические значения могут не совпадать. ${\displaystyle C_{H}^{d}(S)}$ ${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$

Примеры

Размерность еще одного фрактального примера. Треугольник Серпинского , объект с размерностью Хаусдорфа log(3)/log(2)≈1,58. ^[4]

• Счетные множества имеют размерность Хаусдорфа 0. ^[8]
• Евклидово пространство имеет размерность Хаусдорфа , а окружность имеет размерность Хаусдорфа 1. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Фракталы часто являются пространствами, чья размерность Хаусдорфа строго превышает топологическую размерность . ^[5] Например, множество Кантора , нульмерное топологическое пространство , является объединением двух копий самого себя, каждая копия уменьшена в 1/3 раза; следовательно, можно показать, что его размерность Хаусдорфа равна ln(2)/ln(3) ≈ 0,63. ^[9] Треугольник Серпинского является объединением трех копий самого себя, каждая копия уменьшена в 1/2 раза; это дает размерность Хаусдорфа ln(3)/ln(2) ≈ 1,58. ^[1] Эти размерности Хаусдорфа связаны с «критической экспонентой» теоремы Мастера для решения рекуррентных соотношений при анализе алгоритмов .
• Кривые, заполняющие пространство, такие как кривая Пеано, имеют ту же размерность Хаусдорфа, что и пространство, которое они заполняют.
• Траектория броуновского движения в размерности 2 и выше предположительно соответствует размерности Хаусдорфа 2. ^[10]

Оценка размерности Хаусдорфа побережья Великобритании

• Льюис Фрай Ричардсон провел подробные эксперименты для измерения приблизительной размерности Хаусдорфа для различных береговых линий. Его результаты варьировались от 1,02 для береговой линии Южной Африки до 1,25 для западного побережья Великобритании . ^[5]

Свойства размерности Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа и индуктивная размерность

Пусть X — произвольное сепарабельное метрическое пространство. Существует топологическое понятие индуктивной размерности для X , которое определяется рекурсивно. Оно всегда является целым числом (или +∞) и обозначается dim _ind ( X ).

Теорема . Предположим, что X непусто. Тогда

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim _{\operatorname {ind} }(X).}$

Более того,

${\displaystyle \inf _{Y}\dim _{\operatorname {Haus} }(Y)=\dim _{\operatorname {ind} }(X),}$

где Y пробегает метрические пространства, гомеоморфные X. Другими словами, X и Y имеют один и тот же базовый набор точек , а метрика d _Y пространства Y топологически эквивалентна d _X.

Эти результаты были первоначально установлены Эдвардом Шпильрайном (1907–1976), например, см. Hurewicz and Wallman, Глава VII. ^{[ необходима полная цитата ]}

Размерность Хаусдорфа и размерность Минковского

Размерность Минковского подобна размерности Хаусдорфа и по крайней мере не меньше ее, и они равны во многих ситуациях. Однако множество рациональных точек в [0, 1] имеет размерность Хаусдорфа нулевую и размерность Минковского один. Существуют также компактные множества, для которых размерность Минковского строго больше размерности Хаусдорфа.

Размерности Хаусдорфа и меры Фростмана

Если существует мера μ, определенная на борелевских подмножествах метрического пространства X, такая, что μ ( X ) > 0 и μ ( B ( x , r )) ≤ r ^s выполняется для некоторой константы s > 0 и для каждого шара B ( x , r ) в X , то dim _Haus ( X ) ≥ s . Частичное обратное утверждение обеспечивается леммой Фростмана . ^{[ необходима цитата ] [11]}

Поведение в профсоюзах и продукты

Если — конечное или счетное объединение, то ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}X_{i}}$

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).}$

В этом можно убедиться непосредственно из определения.

Если X и Y — непустые метрические пространства, то размерность Хаусдорфа их произведения удовлетворяет ^[12]

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus} }(X)+\dim _{\operatorname {Haus} }(Y).}$

Это неравенство может быть строгим. Можно найти два множества размерности 0, произведение которых имеет размерность 1. ^[13] В противоположном направлении известно, что когда X и Y являются борелевскими подмножествами R ⁿ , размерность Хаусдорфа X × Y ограничена сверху размерностью Хаусдорфа X плюс верхняя размерность упаковки Y . Эти факты обсуждаются в Mattila (1995).

Самоподобные множества

Многие множества, определяемые условием самоподобия, имеют размерности, которые можно определить явно. Грубо говоря, множество E является самоподобным, если оно является неподвижной точкой многозначного преобразования ψ, то есть ψ( E ) = E , хотя точное определение дано ниже.

Теорема . Предположим,

${\displaystyle \psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\ldots ,m}$

каждое из которых является сжимающим отображением на R ⁿ с константой сжатия r _i < 1. Тогда существует единственный непустой компакт A такой, что

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A).}$

Теорема следует из теоремы Стефана Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения, примененной к полному метрическому пространству непустых компактных подмножеств R ⁿ с расстоянием Хаусдорфа . ^[14]

Условие открытого множества

Для определения размерности самоподобного множества A (в некоторых случаях) нам необходимо техническое условие, называемое условием открытости множества (OSC) для последовательности сокращений ψ _i .

Существует открытое множество V с компактным замыканием, такое что

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,}$

где множества в объединении слева попарно не пересекаются .

Условие открытого множества — это условие разделения, которое гарантирует, что изображения ψ _i ( V ) не будут перекрываться «слишком сильно».

Теорема . Предположим, что условие открытого множества выполняется и каждое ψ _i является подобием, то есть композицией изометрии и дилатации вокруг некоторой точки. Тогда единственная неподвижная точка ψ является множеством, размерность Хаусдорфа которого равна s , где s является единственным решением ^[15]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.}$

Коэффициент сжатия подобия — это величина расширения.

В общем случае множество E , которое переносится на себя отображением

${\displaystyle A\mapsto \psi (A)=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)}$

является самоподобным тогда и только тогда, когда пересечения удовлетворяют следующему условию:

${\displaystyle H^{s}\left(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\right)=0,}$

где s — размерность Хаусдорфа E , а H ^s обозначает s-мерную меру Хаусдорфа . Это ясно в случае салфетки Серпинского (пересечения — это просто точки), но также верно и в более общем случае:

Теорема . При тех же условиях, что и в предыдущей теореме, единственная неподвижная точка ψ является самоподобной.

Смотрите также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа. Примеры детерминированных фракталов, случайных и естественных фракталов.
• Размерность Ассуада , еще одна разновидность фрактальной размерности, которая, как и размерность Хаусдорфа, определяется с помощью покрытий шарами.
• Внутреннее измерение
• Размеры упаковки
• Фрактальная размерность

Ссылки

1. MacGregor Campbell, 2013, «5.6 Масштабирование и измерение Хаусдорфа», на Annenberg Learner:MATHematics illunited , см. [1], доступ получен 5 марта 2015 г.
2. Гнейтинг, Тилманн; Шевчикова, Хана; Персиваль, Дональд Б. (2012). «Оценки фрактальной размерности: оценка грубости временных рядов и пространственных данных». Статистическая наука . 27 (2): 247–277. arXiv : 1101.1444 . doi : 10.1214/11-STS370. S2CID  88512325.
3. Ларри Риддл, 2014, «Классические системы итерированных функций: снежинка Коха», электронная академия колледжа Агнес Скотт (онлайн), см. [2], дата обращения 5 марта 2015 г.
4. Keith Clayton, 1996, «Фракталы и фрактальное измерение», Basic Concepts in Nonlinear Dynamics and Chaos (семинар), Society for Chaos Theory in Psychology and the Life Sciences, ежегодное собрание, 28 июня 1996 г., Беркли, Калифорния, см. [3], доступ получен 5 марта 2015 г.
5. Мандельброт, Бенуа (1982). Фрактальная геометрия природы . Конспект лекций по математике 1358. WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9.
6. Бриггс, Джимми; Тайри, Тим (3 декабря 2016 г.). "Мера Хаусдорфа" (PDF) . Вашингтонский университет . Получено 3 февраля 2022 г.
7. Фаркаш, Абель; Фрейзер, Джонатан (30 июля 2015 г.). «О равенстве меры Хаусдорфа и содержания Хаусдорфа». arXiv : 1411.0867 [math.MG].
8. Schleicher, Dierk (июнь 2007 г.). «Измерение Хаусдорфа, его свойства и его сюрпризы». The American Mathematical Monthly . 114 (6): 509–528. arXiv : math/0505099 . doi :10.1080/00029890.2007.11920440. ISSN  0002-9890. S2CID  9811750.
9. Фалконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (2-е изд.). John Wiley and Sons .
10. Мортерс, Перес (2010). Броуновское движение . Издательство Кембриджского университета .
11. В этой статье Википедии также обсуждаются дополнительные полезные характеристики размерности Хаусдорфа. ^{[ необходимо разъяснение ]}
12. Marstrand, JM (1954). «Размерность декартовых произведений множеств». Proc. Cambridge Philos. Soc . 50 (3): 198–202. Bibcode :1954PCPS...50..198M. doi :10.1017/S0305004100029236. S2CID  122475292.
13. Фалконер, Кеннет Дж. (2003). Фрактальная геометрия. Математические основы и приложения . John Wiley & Sons, Inc., Хобокен, Нью-Джерси.
14. Фальконер, К. Дж. (1985). "Теорема 8.3". Геометрия фрактальных множеств . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1.
15. Хатчинсон, Джон Э. (1981). «Фракталы и самоподобие». Indiana Univ. Math. J . 30 (5): 713–747. doi : 10.1512/iumj.1981.30.30055 .

Дальнейшее чтение

• Dodson, M. Maurice; Kristensen, Simon (12 июня 2003 г.). "Размерность Хаусдорфа и диофантовы приближения". Фрактальная геометрия и ее приложения: юбилей Бенуа Мандельброта . Труды симпозиумов по чистой математике. Том 72. С. 305–347. arXiv : math/0305399 . Bibcode : 2003math......5399D. doi : 10.1090/pspum/072.1/2112110. ISBN 9780821836378. S2CID  119613948.
• Гуревич, Витольд ; Уоллман, Генри (1948). Теория размерности. Princeton University Press.
• Э. Шпильрайн (1937). «Измерение и мера». Фундамента Математика . 28 : 81–9. дои : 10.4064/fm-28-1-81-89 .
• Marstrand, JM (1954). «Размерность декартовых произведений множеств». Proc. Cambridge Philos. Soc . 50 (3): 198–202. Bibcode : 1954PCPS...50..198M. doi : 10.1017/S0305004100029236. S2CID  122475292.
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-65595-8.
• AS Besicovitch (1929). «О линейных множествах точек дробных размерностей». Mathematische Annalen . 101 (1): 161–193. doi :10.1007/BF01454831. S2CID  125368661.
• AS Besicovitch ; HD Ursell (1937). «Наборы дробных размерностей». Журнал Лондонского математического общества . 12 (1): 18–25. doi :10.1112/jlms/s1-12.45.18.
  Несколько отрывков из этого тома перепечатаны в Edgar, Gerald A. (1993). Classics on fractals . Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-58701-7.См. главы 9,10,11
• Ф. Хаусдорф (март 1919 г.). «Размеры и размеры» (PDF) . Математические Аннален . 79 (1–2): 157–179. дои : 10.1007/BF01457179. hdl :10338.dmlcz/100363. S2CID  122001234.
• Хатчинсон, Джон Э. (1981). «Фракталы и самоподобие». Indiana Univ. Math. J . 30 (5): 713–747. doi : 10.1512/iumj.1981.30.30055 .
• Фальконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (2-е изд.). John Wiley and Sons .

Внешние ссылки

• Размерность Хаусдорфа в Encyclopedia of Mathematics
• Мера Хаусдорфа в Encyclopedia of Mathematics