Картирование сокращения

Функция, уменьшающая расстояние между всеми точками

В математике сжимающее отображение , или контрактор , на метрическом пространстве ( M ,  d ) — это функция f из M в себя, обладающая тем свойством, что существует некоторое действительное число такое, что для всех x и y в M , ${\displaystyle 0\leq k<1}$

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).}$

Наименьшее такое значение k называется константой Липшица функции f . Сжимающие отображения иногда называют липшицевыми . Если указанное выше условие выполняется для k  ≤ 1, то отображение называется нерасширяющим .

В более общем смысле, идея сжимающего отображения может быть определена для отображений между метрическими пространствами. Таким образом, если ( M ,  d ) и ( N ,  d' ) являются двумя метрическими пространствами, то является сжимающим отображением, если существует константа такая, что ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle 0\leq k<1}$

${\displaystyle d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)}$

для всех x и y в M.

Каждое сжимающее отображение является липшицево-непрерывным и, следовательно, равномерно непрерывным (для липшицево-непрерывной функции константа k уже не обязательно меньше 1).

Сжимающее отображение имеет не более одной неподвижной точки . Более того, теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что каждое сжимающее отображение на непустом полном метрическом пространстве имеет единственную неподвижную точку, и что для любого x из M итерированная последовательность функций x , f  ( x ), f  ( f  ( x )), f  ( f  ( f  ( x ))), ... сходится к неподвижной точке. Эта концепция очень полезна для итерированных функциональных систем , где часто используются сжимающие отображения . Теорема Банаха о неподвижной точке также применяется при доказательстве существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений и используется в одном доказательстве теоремы об обратной функции . ^[1]

Контракционные отображения играют важную роль в задачах динамического программирования . ^{[2] [3]}

Твердо нерасширяемое отображение

Нерасширяющее отображение с можно обобщить до строго нерасширяющего отображения в гильбертовом пространстве, если для всех x и y из выполняется следующее : ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \|f(x)-f(y)\|^{2}\leq \,\langle x-y,f(x)-f(y)\rangle .}$

где

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$.

Это особый случай усредненных нерасширяющих операторов с . ^[4] Твердо нерасширяющее отображение всегда является нерасширяющим, согласно неравенству Коши–Шварца . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$

Класс твердо нерасширяемых отображений замкнут относительно выпуклых комбинаций , но не композиций. ^[5] Этот класс включает проксимальные отображения собственных, выпуклых, полунепрерывных снизу функций, следовательно, он также включает ортогональные проекции на непустые замкнутые выпуклые множества . Класс твердо нерасширяемых операторов равен множеству резольвент максимально монотонных операторов . ^[6] Удивительно, но в то время как итерация нерасширяемых отображений не гарантирует нахождения неподвижной точки (например, умножение на -1), твердой нерасширяемости достаточно, чтобы гарантировать глобальную сходимость к неподвижной точке, при условии, что неподвижная точка существует. Точнее, если , то для любой начальной точки итерация ${\displaystyle {\text{Fix}}f:=\{x\in {\mathcal {H}}\ |\ f(x)=x\}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )\quad x_{n+1}=f(x_{n})}$

приводит к сходимости к фиксированной точке . Эта сходимость может быть слабой в бесконечномерной обстановке. ^[5] ${\displaystyle x_{n}\to z\in {\text{Fix}}f}$

Карта субподряда

Карта субконтрактации или субподрядчик — это отображение f на метрическом пространстве ( M ,  d ) такое, что

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(x,y);}$

${\displaystyle d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)\quad {\text{unless}}\quad x=f(x).}$

Если образ субподрядчика f компактен , то f имеет неподвижную точку. ^[7]

Локально выпуклые пространства

В локально выпуклом пространстве ( E ,  P ) с топологией, заданной множеством P полунорм , можно определить для любого p  ∈  P p -сжатие как отображение f такое, что существует некоторое k _p < 1, такое что p ( f ( x ) − f ( y )) ≤ k _p p ( x − y ) . Если f является p -сжатием для всех p  ∈  P и ( E ,  P ) является секвенциально полным, то f имеет неподвижную точку, заданную как предел любой последовательности x _{n +1} = f ( x _n ), и если ( E ,  P ) является хаусдорфовым , то неподвижная точка единственна. ^[8]

Смотрите также

• Краткая карта
• Сокращение (теория операторов)
• Трансформация
• Сравнительное уравнение
• Теорема Блэквелла о сжимающем отображении
• свойство CLRg

Ссылки

1. Шифрин, Теодор (2005). Многомерная математика . Wiley. С. 244–260. ISBN 978-0-471-52638-4.
2. Денардо, Эрик В. (1967). «Отображения сжатия в теории, лежащей в основе динамического программирования». Обзор SIAM . 9 (2): 165–177. Bibcode : 1967SIAMR...9..165D. doi : 10.1137/1009030.
3. Стоки, Нэнси Л.; Лукас , Роберт Э. (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике. Кембридж: Издательство Гарвардского университета. С. 49–55. ISBN 978-0-674-75096-8.
4. Комбеттс, Патрик Л. (2004). «Решение монотонных включений с помощью композиций нерасширяющихся усредненных операторов». Оптимизация . 53 (5–6): 475–504. doi :10.1080/02331930412331327157. S2CID  219698493.
5. Bauschke, Heinz H. (2017). Выпуклый анализ и теория монотонных операторов в гильбертовых пространствах . Нью-Йорк: Springer.
6. Комбеттс, Патрик Л. (июль 2018 г.). «Теория монотонных операторов в выпуклой оптимизации». Математическое программирование . B170 : 177–206. arXiv : 1802.02694 . Bibcode :2018arXiv180202694C. doi :10.1007/s10107-018-1303-3. S2CID  49409638.
7. Голдштейн, А.А. (1967). Конструктивный вещественный анализ . Серия Харпера по современной математике. Нью-Йорк-Эванстон-Лондон: Harper and Row. стр. 17. Zbl  0189.49703.
8. Кейн, Г. Л. Младший; Нашид, М. З. (1971). «Неподвижные точки и устойчивость для суммы двух операторов в локально выпуклых пространствах». Pacific Journal of Mathematics . 39 (3): 581–592. doi : 10.2140/pjm.1971.39.581 .

Дальнейшее чтение

• Istratescu, Vasile I. (1981). Теория неподвижной точки: Введение . Голландия: D.Reidel. ISBN 978-90-277-1224-0.обеспечивает введение на уровне бакалавриата.
• Гранас, Анджей; Дугунджи, Джеймс (2003). Теория неподвижной точки . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9.
• Кирк, Уильям А.; Симс, Брейли (2001). Справочник по метрической теории неподвижных точек . Лондон: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-7073-4.
• Нейлор, Арч В.; Селл, Джордж Р. (1982). Линейная теория операторов в инженерии и науке. Прикладные математические науки. Т. 40 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer. С. 125–134. ISBN 978-0-387-90748-2.

• Булло, Франческо (2022). Теория контракции для динамических систем . Kindle Direct Publishing. ISBN 979-8-8366-4680-6.