Слабая сходимость (гильбертово пространство)

Тип сходимости в гильбертовых пространствах

В математике слабая сходимость в гильбертовом пространстве — это сходимость последовательности точек в слабой топологии .

Определение

Говорят, что последовательность точек в гильбертовом пространстве H слабо сходится к точке x в H, если ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle x_{n},y\rangle =\langle x,y\rangle }$

для всех y в H. Здесь подразумевается скалярное произведение в гильбертовом пространстве. Обозначение ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x}$

иногда используется для обозначения такого рода конвергенции. ^[1]

Характеристики

• Если последовательность сходится сильно (то есть сходится по норме), то она сходится и слабо.
• Поскольку каждое замкнутое и ограниченное множество слабо относительно компактно (его замыкание в слабой топологии компактно), каждая ограниченная последовательность в гильбертовом пространстве H содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Обратите внимание, что замкнутые и ограниченные множества в общем случае не являются слабо компактными в гильбертовых пространствах (рассмотрим множество, состоящее из ортонормированного базиса в бесконечномерном гильбертовом пространстве, которое замкнуто и ограничено, но не слабо компактно, поскольку не содержит 0). Однако ограниченные и слабо замкнутые множества слабо компактны, поэтому, как следствие, каждое выпуклое ограниченное замкнутое множество слабо компактно. ${\displaystyle x_{n}}$
• Вследствие принципа равномерной ограниченности каждая слабо сходящаяся последовательность ограничена.
• Норма (последовательно) слабо снизу-полунепрерывна : если слабо сходится к x , то ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \Vert x\Vert \leq \liminf _{n\to \infty }\Vert x_{n}\Vert ,}$

и это неравенство строгое всякий раз, когда сходимость не сильная. Например, бесконечные ортонормированные последовательности слабо сходятся к нулю, как показано ниже.

• Если слабо и , то сильно: ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ${\displaystyle \lVert x_{n}\rVert \to \lVert x\rVert }$ ${\displaystyle x_{n}\to x}$

${\displaystyle \langle x-x_{n},x-x_{n}\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x_{n},x_{n}\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle \rightarrow 0.}$

• Если гильбертово пространство конечномерно, т.е. является евклидовым пространством , то слабая и сильная сходимость эквивалентны.

Пример

Первые три функции в последовательности на . Поскольку слабо сходится к . ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f=0}$

Пространство Гильберта — это пространство квадратично-интегрируемых функций на интервале , снабженное скалярным произведением, определяемым соотношением ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{2\pi }f(x)\cdot g(x)\,dx,}$

(см. L ^p пространство ). Последовательность функций , определяемая ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}$

слабо сходится к нулевой функции в , как интеграл ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(nx)\cdot g(x)\,dx.}$

стремится к нулю для любой квадратично интегрируемой функции на , когда стремится к бесконечности, что следует из леммы Римана–Лебега , т.е. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \langle f_{n},g\rangle \to \langle 0,g\rangle =0.}$

Хотя имеет увеличивающееся число нулей в по мере того, как стремится к бесконечности, она, конечно, не равна нулевой функции для любого . Обратите внимание, что не сходится к 0 в или нормах. Это различие является одной из причин, по которой этот тип сходимости считается «слабым». ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle L_{2}}$

Слабая сходимость ортонормированных последовательностей

Рассмотрим последовательность , которая была построена как ортонормальная, то есть ${\displaystyle e_{n}}$

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\delta _{mn}}$

где равно единице, если m = n, и нулю в противном случае. Мы утверждаем, что если последовательность бесконечна, то она слабо сходится к нулю. Простое доказательство таково. Для x ∈ H имеем ${\displaystyle \delta _{mn}}$

${\displaystyle \sum _{n}|\langle e_{n},x\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}}$( Неравенство Бесселя )

где равенство имеет место, когда { e _n } — базис гильбертова пространства. Поэтому

${\displaystyle |\langle e_{n},x\rangle |^{2}\rightarrow 0}$(поскольку приведенный выше ряд сходится, соответствующая ему последовательность должна стремиться к нулю)

то есть

${\displaystyle \langle e_{n},x\rangle \rightarrow 0.}$

Теорема Банаха–Сакса

Теорема Банаха–Сакса утверждает, что каждая ограниченная последовательность содержит подпоследовательность и точку x, такие что ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n_{k}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}}$

сильно сходится к x, когда N стремится к бесконечности.

Обобщения

Определение слабой сходимости можно распространить на банаховы пространства . Говорят, что последовательность точек в банаховом пространстве B слабо сходится к точке x в B , если для любого ограниченного линейного функционала, определенного на , то есть для любого в сопряженном пространстве . Если — пространство Lp на и , то любое такое имеет вид для некоторого , где — мера на , а — сопряженные индексы . ${\displaystyle (x_{n})}$ $${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle p<+\infty }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=\int _{\Omega }x\,y\,d\mu }$$ ${\displaystyle y\in \,L^{q}(\Omega )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

В случае, когда — гильбертово пространство, то по теореме Рисса о представлении для некоторого из , так что получается определение слабой сходимости в гильбертовом пространстве. ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle f(\cdot )=\langle \cdot ,y\rangle }$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$

Смотрите также

• Двойная топология
• Операторные топологии – топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве

Ссылки

1. "перенаправление". dept.math.lsa.umich.edu . Получено 2024-09-17 .