Плоскость вращения

Геометрический объект, используемый для описания вращения в любом количестве измерений.

В геометрии плоскость вращения — это абстрактный объект, используемый для описания или визуализации вращения в пространстве.

Плоскости вращения в основном используются для описания более сложных вращений в четырехмерном пространстве и более высоких измерениях , где их можно использовать для разбиения вращений на более простые части. Это можно сделать с помощью геометрической алгебры , где плоскости вращения связаны с простыми бивекторами в алгебре. ^[1]

Плоскости вращения не часто используются в двух и трех измерениях , так как в двух измерениях есть только одна плоскость (поэтому идентификация плоскости вращения тривиальна и выполняется редко), тогда как в трех измерениях той же цели служит ось вращения и это более устоявшийся подход.

Математически такие плоскости можно описать разными способами. Их можно описать с помощью плоскостей и углов вращения . Их можно сопоставить с бивекторами из геометрической алгебры . Они связаны с собственными значениями и собственными векторами матрицы вращения . А в конкретных измерениях они связаны с другими алгебраическими и геометрическими свойствами, которые затем можно обобщить на другие измерения.

Определения

Самолет

В этой статье все плоскости являются плоскостями, проходящими через начало координат , то есть они содержат нулевой вектор . Такая плоскость в n -мерном пространстве является двумерным линейным подпространством этого пространства. Он полностью задается любыми двумя ненулевыми и непараллельными векторами, лежащими в плоскости, то есть любыми двумя векторами a и b , такими что

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \neq 0,}$

где ∧ — внешнее произведение внешней алгебры или геометрической алгебры (в трёх измерениях можно использовать векторное произведение ). Точнее, величина a ∧ b является бивектором, связанным с плоскостью, заданной a и b , и имеет величину | а | | б | sin φ , где φ – угол между векторами; отсюда требование, чтобы векторы были ненулевыми и непараллельными. ^[2]

Если бивектор a ∧ b записан как B , то условие того, что точка лежит на плоскости, связанной с B, просто ^[3]

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {B} =0.}$

Это верно во всех измерениях и может быть принято как определение на плоскости. В частности, из свойств внешнего произведения ему удовлетворяют как a, так и b , а значит, и любой вектор вида

${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ,}$

с действительными числами λ и µ . Поскольку λ и µ распространяются на все действительные числа, c распространяется на всю плоскость, поэтому это можно рассматривать как еще одно определение плоскости.

Плоскость вращения

Плоскость вращения для конкретного вращения — это плоскость, которая отображается сама на себя в результате вращения. Плоскость не фиксирована, но все векторы в плоскости сопоставляются с другими векторами в той же плоскости за счет вращения. Это преобразование плоскости в саму себя всегда представляет собой вращение вокруг начала координат на угол, который является углом поворота плоскости.

Каждое вращение, за исключением единичного вращения (с единичной матрицей ), имеет хотя бы одну плоскость вращения и до

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }$

плоскости вращения, где n — размерность. Максимальное количество плоскостей до восьми размеров показано в этой таблице:

Когда вращение имеет несколько плоскостей вращения, они всегда ортогональны друг другу, и общим является только начало координат. Это более сильное условие, чем утверждение, что плоскости расположены под прямым углом ; вместо этого это означает, что плоскости не имеют общих ненулевых векторов и что каждый вектор в одной плоскости ортогонален каждому вектору в другой плоскости. Это может произойти только в четырех или более измерениях. В двух измерениях существует только одна плоскость, тогда как в трех измерениях все плоскости имеют хотя бы один общий ненулевой вектор вдоль линии пересечения . ^[4]

В более чем трёх измерениях плоскости вращения не всегда уникальны. Например, негатив единичной матрицы в четырех измерениях ( центральная инверсия ),

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$

описывает вращение в четырех измерениях, в котором каждая плоскость, проходящая через начало координат, является плоскостью вращения на угол π , поэтому любая пара ортогональных плоскостей генерирует вращение. Но для общего вращения, по крайней мере теоретически, можно выделить уникальный набор ортогональных плоскостей, в каждой из которых точки повернуты на угол, так что набор плоскостей и углов полностью характеризует вращение. ^[5]

Два измерения

В двумерном пространстве существует только одна плоскость вращения — плоскость самого пространства. В декартовой системе координат это декартова плоскость, в комплексных числах — комплексная плоскость . Следовательно, любое вращение происходит всей плоскости, т. е. пространства, сохраняя фиксированным только начало координат . Он полностью определяется углом поворота со знаком, например, в диапазоне от – π до π . Итак, если угол равен θ, вращение в комплексной плоскости определяется формулой Эйлера :

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta },\,}$

в то время как вращение в декартовой плоскости задается матрицей вращения 2 × 2 : ^[6]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

Три измерения

Трехмерное вращение с осью вращения вдоль оси z и плоскостью вращения в плоскости xy .

В трехмерном пространстве существует бесконечное количество плоскостей вращения, только одна из которых участвует в каждом данном вращении. То есть для общего вращения существует ровно одна плоскость, которая с ним связана или в которой происходит вращение. Единственным исключением является тривиальный поворот, соответствующий единичной матрице, в котором вращения не происходит.

В любом вращении в трёх измерениях всегда есть фиксированная ось — ось вращения. Вращение можно описать, задав эту ось и угол, на который вращение поворачивается вокруг нее; это представление угла оси вращения. Плоскость вращения — это плоскость, ортогональная этой оси, поэтому ось является нормалью к плоскости. Затем вращение поворачивает эту плоскость на тот же угол, на который она вращается вокруг оси, то есть все в плоскости вращается на тот же угол относительно начала координат.

Один из примеров показан на схеме, где вращение происходит вокруг оси z . Плоскость вращения — это плоскость xy , поэтому все, что находится в этой плоскости, остается в плоскости благодаря вращению. Это можно описать матрицей, подобной следующей, с вращением на угол θ (вокруг оси или в плоскости):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$

Земля показывает свою ось и плоскость вращения, наклоненные относительно плоскости и перпендикулярные орбите Земли.

Другой пример – вращение Земли . Ось вращения — это линия, соединяющая Северный и Южный полюса , а плоскость вращения — это плоскость, проходящая через экватор между Северным и Южным полушариями. Другие примеры включают механические устройства, такие как гироскоп или маховик , которые накапливают энергию вращения в массе, обычно вдоль плоскости вращения.

При любом трехмерном вращении плоскость вращения определена однозначно. Вместе с углом поворота он полностью описывает вращение. Или в непрерывно вращающемся объекте вращательные свойства, такие как скорость вращения, можно описать в терминах плоскости вращения. Он перпендикулярен оси вращения и, следовательно, определяется и определяет ее, поэтому любое описание вращения в терминах плоскости вращения может быть описано в терминах оси вращения, и наоборот. Но в отличие от оси вращения плоскость обобщается на другие, особенно высшие измерения. ^[7]

Четыре измерения

Общее вращение в четырехмерном пространстве имеет только одну фиксированную точку — начало координат. Поэтому ось вращения не может использоваться в четырех измерениях. Но можно использовать плоскости вращения, и каждое нетривиальное вращение в четырех измерениях имеет одну или две плоскости вращения.

Простые вращения

Вращение только с одной плоскостью вращения является простым вращением . При простом вращении существует фиксированная плоскость, и можно сказать, что вращение происходит вокруг этой плоскости, поэтому точки при вращении не меняют своего расстояния от этой плоскости. Плоскость вращения ортогональна этой плоскости, и можно сказать, что вращение происходит в этой плоскости.

Например, следующая матрица фиксирует плоскость xy : точки в этой плоскости и только в этой плоскости не изменяются. Плоскостью вращения является zw -плоскость, точки в этой плоскости повернуты на угол θ . Общая точка вращается только в плоскости zw , то есть вращается вокруг плоскости xy , изменяя только свои координаты z и w .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

В двух и трех измерениях все вращения просты, поскольку имеют только одну плоскость вращения. Только в четырех и более измерениях существуют вращения, которые не являются простыми вращениями. В частности, в четырех измерениях существуют также двойные и изоклинические вращения.

Двойные вращения

При двойном вращении есть две плоскости вращения, нет фиксированных плоскостей, и единственной фиксированной точкой является начало координат. Можно сказать, что вращение происходит в обеих плоскостях вращения, поскольку точки в них вращаются внутри плоскостей. Эти плоскости ортогональны, то есть у них нет общих векторов, поэтому каждый вектор в одной плоскости перпендикулярен каждому вектору в другой плоскости. Две плоскости вращения охватывают четырехмерное пространство, поэтому каждая точка в пространстве может быть задана двумя точками, по одной на каждой из плоскостей.

Двойное вращение имеет два угла поворота, по одному на каждую плоскость вращения. Вращение задается указанием двух плоскостей и двух ненулевых углов α и β (если любой из углов равен нулю, вращение является простым). Точки в первой плоскости вращаются на угол α , а точки во второй плоскости — на угол β . Все остальные точки вращаются на угол между α и β , поэтому в некотором смысле они вместе определяют величину вращения. Для общего двойного вращения плоскости вращения и углы уникальны, и, учитывая общее вращение, их можно вычислить. Например, вращение α в плоскости xy и β ​​в плоскости zw задается матрицей

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}.}$

Изоклинические вращения

Проекция тессеракта с изоклиническим вращением.

Особый случай двойного поворота — это когда углы равны, то есть если α = β ≠ 0 . Это называется изоклиническим вращением и во многом отличается от обычного двойного вращения. Например, при изоклиническом вращении все ненулевые точки вращаются на один и тот же угол α . Самое главное, что плоскости вращения не идентифицированы однозначно. Вместо этого существует бесконечное количество пар ортогональных плоскостей, которые можно рассматривать как плоскости вращения. Например, можно взять любую точку, и плоскость, в которой она вращается, вместе с плоскостью, ортогональной ей, можно использовать как две плоскости вращения. ^[8]

Высшие измерения

Как уже отмечалось, максимальное количество плоскостей вращения в n измерениях равно

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$

поэтому сложность быстро возрастает при наличии более четырех измерений, и классификация вращений, как указано выше, становится слишком сложной, чтобы быть практичной, но некоторые наблюдения можно сделать.

Простые вращения можно идентифицировать во всех измерениях как вращения только с одной плоскостью вращения. Простое вращение в n измерениях происходит вокруг (то есть на фиксированном расстоянии от) ( n − 2) -мерного подпространства, ортогонального плоскости вращения.

Общее вращение непростое и имеет максимальное количество плоскостей вращения, как указано выше. В общем случае углы поворота в этих плоскостях различны и плоскости определены однозначно. Если какие-либо углы одинаковы, то плоскости не уникальны, как в четырех измерениях с изоклиническим вращением.

В четных размерностях ( n = 2, 4, 6... ) существует дон/2плоскости вращения охватывают пространство, поэтому при общем вращении вращаются все точки, кроме начала координат, которое является единственной фиксированной точкой. В нечетных измерениях ( n = 3, 5, 7,... ) существуютп - 1/2плоскости и углы поворота, такие же, как у четной размерности ниже. Они не охватывают пространство, а оставляют линию, которая не вращается – как ось вращения в трех измерениях, за исключением того, что вращения происходят не вокруг этой линии, а в нескольких плоскостях, ортогональных ей. ^[1]

Математические свойства

Приведенные выше примеры были выбраны как ясные и простые примеры вращений, при этом плоскости обычно параллельны осям координат в трех и четырех измерениях. Но это не всегда так: плоскости обычно не параллельны осям, и матрицы просто невозможно записать. Во всех измерениях вращения полностью описываются плоскостями вращения и соответствующими углами, поэтому полезно уметь их определять или, по крайней мере, находить способы описать их математически.

Размышления

Два разных отражения в двух измерениях, генерирующие вращение.

Каждое простое вращение может быть вызвано двумя отражениями . Отражения можно задать в n измерениях, задав ( n − 1) -мерное подпространство для отражения, поэтому двумерное отражение находится в линии, трехмерное отражение находится в плоскости и так далее. Но это становится все труднее применять в более высоких измерениях, поэтому вместо этого лучше использовать векторы, как показано ниже.

Отражение в n измерениях задается вектором, перпендикулярным ( n − 1) -мерному подпространству. Для создания простых вращений необходимы только отражения, фиксирующие начало координат, поэтому у вектора нет положения, а есть только направление. Также не имеет значения, в какую сторону оно обращено: его можно заменить своим негативом, не меняя результата. Аналогичным образом для упрощения вычислений можно использовать единичные векторы .

Таким образом, отражение в ( n - 1) -мерном пространстве задается перпендикулярным к нему единичным вектором m , таким образом:

${\displaystyle \mathbf {x} '=-\mathbf {mxm} \,}$

где произведение — геометрическое произведение геометрической алгебры .

Если x ' отражается в другом, отличном ( n - 1) -мерном пространстве, описываемом единичным вектором n, перпендикулярным ему, результат будет

${\displaystyle \mathbf {x} ''=-\mathbf {nx} '\mathbf {n} =-\mathbf {n} (-\mathbf {mxm} )\mathbf {n} =\mathbf {nmxmn} }$

Это простое вращение в n измерениях на удвоенный угол между подпространствами, который также является углом между векторами m и n . С помощью геометрической алгебры можно проверить, что это вращение и что оно вращает все векторы так, как ожидалось.

Величина mn является ротором , а nm является его обратной величиной:

${\displaystyle (\mathbf {mn} )(\mathbf {nm} )=\mathbf {mnnm} =\mathbf {mm} =1}$

Таким образом, вращение можно записать

${\displaystyle \mathbf {x} ''=R\mathbf {x} R^{-1}}$

где R = mn — ротор.

Плоскость вращения — это плоскость, содержащая m и n , которые должны быть разными, иначе отражения будут одинаковыми и вращения не произойдет. Поскольку любой вектор можно заменить его отрицательным, угол между ними всегда может быть острым или, самое большее,π/2. Поворот осуществляется на двойной угол между векторами, до π или пол-оборота. Смысл вращения заключается во вращении от m к n : геометрическое произведение не является коммутативным, поэтому произведение nm представляет собой обратное вращение с смыслом от n до m .

И наоборот, все простые вращения могут быть созданы таким образом, с двумя отражениями, с помощью двух единичных векторов в плоскости вращения, разделенных половиной желаемого угла поворота. Их можно составить для создания более общих вращений, используя до n отражений, если размерность n четная, n - 2, если n нечетная, путем выбора пар отражений, заданных двумя векторами в каждой плоскости вращения. ^{[9] [10]}

Бивекторы

Бивекторы — это величины из геометрической алгебры , алгебры Клиффорда и внешней алгебры , которые обобщают идею векторов на два измерения. Как векторы относятся к прямым, так и бивекторы относятся к плоскостям. Таким образом, каждая плоскость (в любом измерении) может быть сопоставлена ​​с бивектором, а каждый простой бивектор связан с плоскостью. Это делает их хорошо подходящими для описания плоскостей вращения.

С каждой плоскостью вращения при вращении связан простой бивектор. Он параллелен плоскости и имеет величину, равную углу поворота в плоскости. Эти бивекторы суммируются для получения одного, как правило, непростого бивектора для всего вращения. Это может сгенерировать ротор через экспоненциальную карту , которую можно использовать для вращения объекта.

Бивекторы связаны с роторами через экспоненциальную карту (которая, применяемая к бивекторам, генерирует роторы и вращения по формуле Де Муавра ). В частности, для любого бивектора B связанный с ним ротор равен

${\displaystyle R_{\mathbf {B} }=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}.}$

Это простое вращение, если бивектор простой, в противном случае — более общее вращение. В квадрате,

${\displaystyle {R_{\mathbf {B} }}^{2}=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}=e^{\mathbf {B} },}$

это дает ротор, который вращается на двойной угол. Если B простой, то это тот же поворот, который создается двумя отражениями, поскольку произведение mn дает поворот на удвоенный угол между векторами. Их можно приравнять,

${\displaystyle \mathbf {mn} =e^{\mathbf {B} },}$

откуда следует, что бивектор, связанный с плоскостью вращения, содержащей m и n , который вращает m в n , равен

${\displaystyle \mathbf {B} =\log(\mathbf {mn} ).}$

Это простой бивектор, связанный с описанным простым вращением. Более общие вращения в четырех или более измерениях связаны с суммами простых бивекторов, по одному на каждую плоскость вращения, рассчитанными, как указано выше.

Примеры включают два вращения в четырех измерениях, приведенные выше. Простое вращение в плоскости zw на угол θ имеет бивектор e ₃₄ θ , простой бивектор. Двойное вращение на α и β в плоскостях xy и zw имеет бивектор e ₁₂ α + e ₃₄ β , сумму двух простых бивекторов e ₁₂ α и e ₃₄ β , которые параллельны двум плоскостям вращения и имеют величины, равные углам поворота.

Учитывая ротор, связанный с ним бивектор можно восстановить, взяв логарифм ротора, который затем можно разделить на простые бивекторы, чтобы определить плоскости вращения, хотя на практике для всех случаев, кроме самых простых, это может быть непрактично. Но учитывая простые бивекторы, геометрическая алгебра является полезным инструментом для изучения плоскостей вращения с использованием алгебры, подобной приведенной выше. ^{[1] [11]}

Собственные значения и собственные плоскости

Плоскости вращения для конкретного вращения с использованием собственных значений . Учитывая общую матрицу вращения в n измерениях, ее характеристическое уравнение имеет либо один (в нечетных измерениях), либо ноль (в четных измерениях) действительных корней. Остальные корни находятся в комплексно-сопряженных парах, то есть

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$

такие пары. Они соответствуют плоскостям вращения, собственным плоскостям матрицы, которые можно вычислить с помощью алгебраических методов. Кроме того, аргументами комплексных корней являются величины бивекторов, связанных с плоскостями вращения. Форма характеристического уравнения связана с плоскостями, что позволяет связать его алгебраические свойства, такие как повторяющиеся корни, с бивекторами, где повторяющиеся величины бивекторов имеют особую геометрическую интерпретацию. ^{[1] [12]}

Смотрите также

• Графики SO(3)
• Ротация Гивенса
• Кватернионы
• Группа ротации SO(3)
• Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве

Примечания

1. Lounesto (2001), стр. 222–223.
2. Лунесто (2001) с. 38
3. Хестенес (1999) с. 48
4. Лунесто (2001) с. 222
5. Лунесто (2001) стр.87
6. Лунесто (2001), стр. 27–28.
7. Гестенес (1999), стр. 280–284.
8. Лунесто (2001), стр. 83–89.
9. Лунесто (2001) с. 57–58
10. Хестенес (1999) с. 278–280
11. Дорст, Доран, Ласенби (2002), стр. 79–89.
12. Дорст, Доран, Ласенби (2002), стр. 145–154.

Рекомендации

• Хестенес, Дэвид (1999). Новые основы классической механики (2-е изд.). Клювер . ISBN 0-7923-5302-1.
• Лунесто, Пертти (2001). Алгебры и спиноры Клиффорда. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-00551-7.
• Дорст, Лео; Доран, Крис; Ласенби, Джоан (2002). Приложения геометрической алгебры в информатике и технике. Биркхойзер . ISBN 0-8176-4267-6.