Ротор (математика)

Объект в геометрической алгебре

Ротор — это объект в геометрической алгебре (также называемой алгеброй Клиффорда ) векторного пространства , который представляет вращение вокруг начала координат . ^[1] Этот термин возник благодаря Уильяму Кингдону Клиффорду , ^[2] когда он показал, что алгебра кватернионов является лишь частным случаем «теории расширения» Германа Грассмана (Ausdehnungslehre). ^[3] Гестенс ^[4] определил ротор как любой элемент геометрической алгебры, который может быть записан как произведение четного числа единичных векторов и удовлетворяет условию , где – «обратное» , то есть произведение те же векторы, но в обратном порядке. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R{\tilde {R}}=1}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}}$ ${\displaystyle R}$

Определение

В математике ротор в геометрической алгебре векторного пространства V — это то же самое, что элемент спиновой группы Spin( V ). Мы определим эту группу ниже.

Пусть V — векторное пространство, снабженное положительно определенной квадратичной формой q , и пусть Cl( V ) — геометрическая алгебра, ассоциированная с V. Алгебра Cl( V ) является фактором тензорной алгебры V по соотношениям для всех . (Тензорное произведение в Cl( V ) — это то, что называется геометрическим произведением в геометрической алгебре и в этой статье обозначается через .) Z -градуировка на тензорной алгебре V сводится к Z /2 Z -градуировке на Cl( V ), который мы обозначим через ${\displaystyle v\cdot v=q(v)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \cdot }$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{\text{even}}(V)\oplus \operatorname {Cl} ^{\text{odd}}(V).}$$

⁽)лезвиями^{нечетный}V

Существует единственный антиавтоморфизм Cl( V ), который ограничивается тождеством на V : это называется транспонированием, а транспонирование любого мультивектора a обозначается . На лопасти (т. е. простом тензоре) порядок множителей просто меняется на обратный. Спиновая группа Spin( V ) определяется как подгруппа Cl ^{четного} ( V ), состоящая из мультивекторов R таких , что То есть она состоит из мультивекторов, которые можно записать как произведение четного числа единичных векторов. ${\displaystyle {\tilde {a}}}$ ${\displaystyle R{\tilde {R}}=1.}$

Действие как вращение в векторном пространстве

Поворот вектора a на угол θ как двойное отражение вдоль двух единичных векторов n и m , разделенных углом θ /2 (а не только θ ). Каждый штрих на букве a указывает на отражение. Плоскость диаграммы – это плоскость вращения.

Отражения вдоль вектора в геометрической алгебре могут быть представлены как (минус) размещение мультивектора M между ненулевым вектором v , перпендикулярным гиперплоскости отражения , и обратным вектору v ⁻¹ :

${\displaystyle -vMv^{-1}}$

и имеют одинаковую степень. При вращении, генерируемом ротором R , общий мультивектор M будет двусторонне трансформироваться как

${\displaystyle RMR^{-1}.}$

Это действие дает сюръективный гомоморфизм , представляющий Spin( V ) как двойное накрытие SO( V ). ( Подробнее см. в группе «Вращение» .) ${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)\to \operatorname {SO} (V)}$

Ограниченная альтернативная формулировка

Для евклидова пространства может быть удобно рассмотреть альтернативную формулировку, и некоторые авторы определяют операцию отражения как (минус) сэндвичинг единичного ( т. е. нормализованного) мультивектора:

${\displaystyle -vMv,\quad v^{2}=1,}$

формирование роторов, которые автоматически нормализуются:

${\displaystyle R{\tilde {R}}={\tilde {R}}R=1.}$

Полученное действие ротора затем выражается в виде сэндвич-продукта с обратным:

${\displaystyle RM{\tilde {R}}}$

Для отражения, для которого соответствующий вектор возводит в квадрат отрицательный скаляр, как это может быть в случае с псевдоевклидовым пространством , такой вектор может быть нормализован только до знака его квадрата, и дополнительный учет знака приложения ротор становится необходимым. Формулировка сэндвич-продукта с обратным, как указано выше, лишена такого недостатка.

Вращения мультивекторов и спиноров

Однако, хотя мультивекторы также трансформируются двусторонне, роторы могут объединяться и образовывать группу , и поэтому несколько роторов составляют односторонне. Альтернативная формулировка, приведенная выше, не является самонормализующейся и мотивирует определение спинора в геометрической алгебре как объекта, который трансформируется односторонне, т. е. спиноры можно рассматривать как ненормализованные роторы, в которых в процессе используется обратное, а не обратное. сэндвич-продукт.

Однородные алгебры представлений

В однородных алгебрах представлений, таких как конформная геометрическая алгебра , ротор в пространстве представления соответствует вращению вокруг произвольной точки , сдвигу или, возможно, другому преобразованию в базовом пространстве.

Смотрите также

• Двойное вращение
• Группа лжи
• Формула Эйлера
• Генератор (математика)
• Версор

Рекомендации

1. Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 592. ИСБН 9780521715959.
2. Клиффорд, Уильям Кингдон (1878). «Приложения обширной алгебры Грассмана». Американский журнал математики . 1 (4): 353. дои : 10.2307/2369379. JSTOR  2369379.
3. Грассманн, Герман (1862). Die Ausdehnugslehre (второе изд.). Берлин: TCF Enslin. п. 400.
4. Хестенес, Дэвид (1987). От алгебры Клиффорда до геометрического исчисления (изд. в мягкой обложке). Дордрехт, Голландия: Д. Рейдель. п. 105. Гестенес использует обозначения наоборот. ${\displaystyle R^{\dagger }}$