Двойной номер

Действительные числа, присоединенные к элементу, возводящему в квадрат ноль

В алгебре двойственные числа — это гиперкомплексная система счисления, впервые введенная в 19 веке. Это выражения вида a + bε , где a и b — действительные числа , а ε — символ, выбранный для удовлетворения . ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$

Двойные числа можно складывать покомпонентно и умножать по формуле

${\displaystyle (a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon ,}$

которое следует из свойства ε2 ⁼ 0 и того, что умножение является билинейной операцией .

Двойственные числа образуют коммутативную алгебру размерности два над вещественными числами, а также артиново локальное кольцо . Это один из простейших примеров кольца, имеющего ненулевые нильпотентные элементы .

История

Двойные числа были введены в 1873 году Уильямом Клиффордом и использовались в начале двадцатого века немецким математиком Эдуардом Стюджем , который использовал их для обозначения двойного угла, который измеряет относительное положение двух наклонных линий в пространстве. Исследование определило двойной угол как θ + dε , где θ — угол между направлениями двух линий в трехмерном пространстве, а d — расстояние между ними. n - мерное обобщение, число Грассмана , было введено Германом Грассманом в конце 19 века.

Современное определение

В современной алгебре алгебра двойственных чисел часто определяется как фактор кольца многочленов по действительным числам по главному идеалу , порожденному квадратом неопределенного , то есть ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .}$

Ее также можно определить как внешнюю алгебру одномерного векторного пространства с базисным элементом. ${\displaystyle \varepsilon }$

Разделение

Деление двойственных чисел определяется, когда действительная часть знаменателя не равна нулю. Процесс деления аналогичен комплексному делению в том смысле, что знаменатель умножается на сопряженное ему число, чтобы исключить недействительные части.

Следовательно, чтобы разделить уравнение вида

${\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}}$

умножаем числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}}$

который определяется , когда c не равно нулю .

Если, с другой стороны, c равно нулю, а d нет, то уравнение

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}}$

1. не имеет решения, если a не равно нулю
2. в противном случае решается любым двойным числом видаб/д+ yε .

Это означает, что недействительная часть «частного» является произвольной, и поэтому деление не определено для чисто недействительных двойственных чисел. Действительно, они (тривиально) являются делителями нуля и, очевидно, образуют идеал ассоциативной алгебры (и, следовательно, кольца ) двойственных чисел.

Матричное представление

Двойное число может быть представлено квадратной матрицей . В этом представлении матрица возводит в квадрат нулевую матрицу, соответствующую двойственному числу . ${\displaystyle a+b\epsilon }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Существуют и другие способы представления двойственных чисел в виде квадратных матриц. Они состоят из представления двойственного числа единичной матрицей и любой матрицей, квадрат которой является нулевой матрицей; то есть в случае матриц 2×2 любая ненулевая матрица вида ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$

с ^[1] ${\displaystyle a^{2}+bc=0.}$

Дифференциация

Одним из применений двойных чисел является автоматическое дифференцирование . Любой полином

${\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}}$

с действительными коэффициентами можно расширить до функции двузначного аргумента,

${\displaystyle {\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[2mu]&=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5mu]&=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,\end{aligned}}}$

где производная от ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle P.}$

В более общем смысле, любая (аналитическая) действительная функция может быть расширена до двойственных чисел через ряд Тейлора :

${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,}$

поскольку все члены, включающие ε ² или более высокие степени, тривиально равны 0 по определению ε .

Вычисляя композиции этих функций над двойственными числами и исследуя коэффициент при ε в результате, мы обнаруживаем, что автоматически вычислили производную композиции.

Подобный метод работает для полиномов от n переменных, используя внешнюю алгебру n - мерного векторного пространства.

Геометрия

«Единичный круг» двойственных чисел состоит из чисел с a = ±1 , поскольку они удовлетворяют условию zz * = 1 , где z * = a − bε . Однако обратите внимание, что

${\displaystyle e^{b\varepsilon }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}=1+b\varepsilon ,}$

поэтому экспоненциальное отображение , примененное к оси ε , покрывает только половину «круга».

Пусть z = a + bε . Если а ≠ 0 и m =б/а, то z = a (1 + mε ) — полярное разложение двойственного числа z , а наклон m — его угловая часть. Понятие вращения в двойственной числовой плоскости эквивалентно отображению вертикального сдвига , поскольку (1 + pε )(1 + qε ) = 1 + ( p + q ) ε .

В абсолютном пространстве и времени преобразование Галилея

${\displaystyle \left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

то есть

${\displaystyle t'=t,\quad x'=vt+x,}$

связывает систему координат покоя с движущейся системой отсчета со скоростью v . Если двойственные числа t + xε представляют события в одном измерении пространства и времени, то же преобразование выполняется при умножении на 1 + vε .

Циклы

Учитывая два двойственных числа p и q , они определяют набор z так, что разница в наклонах («угол Галилея») между линиями от z до p и q является постоянной. Это множество представляет собой цикл в двойственной числовой плоскости; поскольку уравнение, приравнивающее разность наклонов линий к константе, является квадратным уравнением в действительной части z , цикл представляет собой параболу . «Циклическое вращение» дуальной числовой плоскости происходит как движение ее проективной линии. Согласно Исааку Яглому , ^{[2] : 92–93} , цикл Z = { z  : y = αx ² } инвариантен относительно состава сдвига

${\displaystyle x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y}$

с переводом

${\displaystyle x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.}$

Приложения в механике

Двойные числа находят применение в механике , особенно для кинематического синтеза. Например, двойственные числа позволяют преобразовать входные/выходные уравнения четырехзвенной сферической связи, включающей только ротоидные соединения, в четырехзвенный пространственный механизм (ротоидный, ротоидный, ротоидный, цилиндрический). Дуализированные углы состоят из примитивной части, углов, и двойственной части, имеющей единицы длины. ^[3] Дополнительную информацию см. в теории винтов .

Алгебраическая геометрия

В современной алгебраической геометрии двойственные числа над полем (под которыми мы подразумеваем кольцо ) могут использоваться для определения касательных векторов к точкам а - схемы . ^[4] Поскольку поле можно выбрать внутренне, можно говорить просто о касательных векторах к схеме. Это позволяет импортировать понятия дифференциальной геометрии в алгебраическую геометрию. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Подробно: Кольцо двойственных чисел можно рассматривать как кольцо функций в «окрестности точки первого порядка», а именно -схему . ^[4] Тогда, учитывая -схему , -точки схемы находятся в соответствии 1-1 с картами , а касательные векторы находятся в соответствии 1-1 с картами . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} k\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))\to X}$

Поле выше может быть выбрано как поле вычетов . А именно: Учитывая точку на схеме , рассмотрим стебель . Заметим, что это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом , который обозначается . Тогда просто позвольте . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle k=S_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$

Обобщения

Эту конструкцию можно осуществить в более общем смысле: для коммутативного кольца R можно определить двойственные числа над R как фактор кольца многочленов R [ X ] по идеалу ( X ² ) : тогда образ X имеет квадрат, равный ноль и соответствует элементу ε сверху.

Произвольный модуль элементов нулевого квадрата

Существует более общая конструкция двойственных чисел. Учитывая коммутативное кольцо и модуль , существует кольцо , называемое кольцом двойственных чисел, которое имеет следующие структуры: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R[M]}$

Это -модуль с умножением, определенным for и ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\oplus M}$ ${\displaystyle (r,i)\cdot \left(r',i'\right)=\left(rr',ri'+r'i\right)}$ ${\displaystyle r,r'\in R}$ ${\displaystyle i,i'\in I.}$

Алгебра двойственных чисел — это частный случай, когда и ${\displaystyle M=R}$ ${\displaystyle \varepsilon =(0,1).}$

Суперпространство

Двойные числа находят применение в физике , где они представляют собой один из простейших нетривиальных примеров суперпространства . Эквивалентно, это сверхчисла только с одним генератором; сверхчисла обобщают эту концепцию на n различных генераторов ε , каждый из которых антикоммутирует и, возможно, доводит n до бесконечности. Суперпространство слегка обобщает сверхчисла, допуская несколько коммутирующих измерений.

Мотивация введения двойственных чисел в физику вытекает из принципа Паули для фермионов. Направление вдоль ε называется «фермионным» направлением, а действительная компонента — «бозонным» направлением. Фермионное направление получило это название из-за того, что фермионы подчиняются принципу запрета Паули: при обмене координат квантово-механическая волновая функция меняет знак и, таким образом, исчезает, если две координаты сближаются; эта физическая идея отражается алгебраическим соотношением  ε ² = 0 .

Проективная линия

Идею проективной прямой над двойственными числами выдвинули Грюнвальд ^[5] и Коррадо Сегре . ^[6]

Точно так же, как сфера Римана нуждается в точке северного полюса на бесконечности , чтобы замкнуть комплексную проективную линию , так и линия на бесконечности успешно замыкает плоскость двойственных чисел в цилиндр . ^{[2] : 149–153.}

Предположим, что D — кольцо двойственных чисел x + yε , а U — подмножество с x ≠ 0 . Тогда U — группа единиц D.​ Пусть B = {( a , b ) ∈ D × D  : a ∈ U или b ∈ U} . Отношение определяется на B следующим образом: ( a , b ) ~ ( c , d ), когда существует u в U такое, что ua = c и ub = d . Это отношение фактически является отношением эквивалентности . Точки проективной прямой над D являются классами эквивалентности в B по этому отношению: P ( D ) = B /~ . Они представлены проективными координатами [ a , b ] .

Рассмотрим вложение D → P ( D ) посредством z → [ z , 1] . Тогда точки [1, n ] для n ² ​​= 0 находятся в P ( D ) , но не являются образом какой-либо точки при вложении. P ( D ) отображается на цилиндр посредством проекции : возьмем цилиндр, касательный к плоскости двойных чисел на прямой { yε  : y ∈ } ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , ε ² = 0 . Теперь примите противоположную линию на цилиндре за ось карандаша плоскостей . Плоскости, пересекающие двойственную числовую плоскость и цилиндр, обеспечивают соответствие точек между этими поверхностями. Плоскость, параллельная плоскости двойственных чисел, соответствует точкам [1, n ] , n ² = 0 на проективной прямой над двойственными числами.

Смотрите также

• Гладкий бесконечно малый анализ
• Теория возмущений
• бесконечно малый
• Теория винта
• Двойное комплексное число
• Преобразования Лагерра
• Число Грассмана
• Автоматическая дифференциация

Рекомендации

1. Абстрактная алгебра/действительные матрицы 2x2 в Wikibooks
2. Яглом, ИМ (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физические основы . Спрингер. ISBN 0-387-90332-1. МР  0520230.
3. Анхелес, Хорхе (1998), Анхелес, Хорхе; Захарьев, Евтим (ред.), «Применение дуальной алгебры к кинематическому анализу», Вычислительные методы в механических системах: анализ механизмов, синтез и оптимизация , Серия NATO ASI, Springer Berlin Heidelberg, vol. 161, стр. 3–32, номер документа : 10.1007/978-3-662-03729-4_1, ISBN. 9783662037294
4. Шафаревич, Игорь Р. (2013), «Схемы», Основная алгебраическая геометрия 2 , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 35–38, ISBN 978-3-642-38009-9, получено 27 декабря 2023 г.
5. Грюнвальд, Йозеф (1906). «Über Duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie». Монашефте по математике . 17 : 81–136. дои : 10.1007/BF01697639. S2CID  119840611.
6. Сегре, Коррадо (1912). «XL. Le geometrie proiettive nei Campi di numeri Duali». Опер .Также в Atti della Reale Accademia della Scienze di Torino 47 .

дальнейшее чтение

• Бенчивенга, Ульдерико (1946). «Sulla rappresentazioneometrica delle algebre doppie dotate di modulo» [О геометрическом представлении двойных алгебр с модулем]. Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli . 3 (на итальянском языке). 2 (7). МР  0021123.
• Клиффорд, Уильям Кингдон (1873). «Предварительный набросок бикватернионов». Труды Лондонского математического общества . 4 : 381–395.
• Харкин, Энтони А.; Харкин, Джозеф Б. (апрель 2004 г.). «Геометрия обобщенных комплексных чисел» (PDF) . Журнал «Математика» . 77 (2): 118–129. дои : 10.1080/0025570X.2004.11953236. S2CID  7837108. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Миллер, Уильям; Бенинг, Рошель (1968). «Гауссовы, параболические и гиперболические числа». Учитель математики . 61 (4): 377–382. дои : 10.5951/MT.61.4.0377.
• Этюд, Эдуард (1903). Геометрия Динамена. Б. Г. Тойбнер. п. 196.Из Корнеллских исторических математических монографий Корнелльского университета .
• Яглом, И.М. (1968). Комплексные числа в геометрии . Перевод с русского Эрика Дж. Ф. Примроуза. Нью-Йорк и Лондон: Академическая пресса . п. 12–18.
• Бранд, Луи (1947). Векторный и тензорный анализ . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
• Фишер, Ян С. (1999). Методы двойственных чисел в кинематике, статике и динамике . Бока-Ратон: CRC Press.
• Бертрам, В. (2008). Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства над общими базовыми полями и кольцами . Воспоминания АМС. Том. 192. Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц.
• «Высшее» касательное пространство». math.stackexchange.com .