В математике неравенство средних арифметических и геометрических , или, короче, неравенство AM – GM , утверждает, что среднее арифметическое списка неотрицательных действительных чисел больше или равно среднему геометрическому того же списка; и, кроме того, два средних значения равны тогда и только тогда, когда все числа в списке одинаковы (в этом случае они оба являются этим числом).
Простейшим нетривиальным случаем (т. е. с более чем одной переменной) для двух неотрицательных чисел x и y является утверждение, что
с равенством тогда и только тогда, когда x = y . Этот случай можно увидеть из того, что квадрат действительного числа всегда неотрицательен (больше или равен нулю), а также из элементарного случая ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 ab + b 2 биномиальная формула :
Следовательно ( x + y ) 2 ≥ 4 xy , с равенством именно тогда, когда ( x - y ) 2 = 0 , т.е. x = y . Неравенство AM – GM тогда следует из извлечения положительного квадратного корня из обеих частей и последующего деления обеих частей на 2 .
Для геометрической интерпретации рассмотрим прямоугольник со сторонами длиной x и y , следовательно, он имеет периметр 2 x + 2 y и площадь xy . Аналогично, квадрат со всеми сторонами длиной √ xy имеет периметр 4 √ xy и ту же площадь, что и прямоугольник. Самый простой нетривиальный случай неравенства AM – GM подразумевает, что для периметров 2 x + 2 y ≥ 4 √ xy и что только квадрат имеет наименьший периметр среди всех прямоугольников равной площади.
Простейший случай неявно описан в «Началах» Евклида , книга 5, предложение 25. [2]
Доступны расширения неравенства AM–GM для включения весов или обобщенных средних .
Фон
Среднее арифметическое или , точнее , среднее значение списка из n чисел x 1 , x 2 , . . . , x n — сумма чисел, разделенная на n :
Среднее геометрическое аналогично , за исключением того, что оно определяется только для списка неотрицательных действительных чисел и использует умножение и корень вместо сложения и деления:
Если х 1 , х 2 , . . . , x n > 0 , это равно экспоненте среднего арифметического натуральных логарифмов чисел:
Примечание. Это относится не только к функции exp() и натуральным логарифмам. Основанием b возведения в степень может быть любое положительное действительное число, если логарифм имеет основание b.
Неравенство
Переформулировав неравенство с использованием математических обозначений, мы получаем его для любого списка из n неотрицательных действительных чисел x 1 , x 2 , . . . , х н ,
и это равенство выполняется тогда и только тогда, когда x 1 = x 2 = · · · = x n .
Геометрическая интерпретация
В двух измерениях 2 x 1 + 2 x 2 — это периметр прямоугольника со сторонами длиной x 1 и x 2 . Аналогично, 4 √ x 1 x 2 — это периметр квадрата той же площади x 1 x 2 , что и этот прямоугольник. Таким образом, для n = 2 неравенство AM – GM утверждает, что прямоугольник данной площади имеет наименьший периметр, если этот прямоугольник также является квадратом.
Полное неравенство является распространением этой идеи на n измерений. Рассмотрим n -мерный ящик с длинами ребер x 1 , x 2 , . . . , х н . Каждая вершина ящика соединена с n ребрами разных направлений, поэтому средняя длина ребер, инцидентных этой вершине, равна ( x 1 + x 2 + · · · + x n )/ n . С другой стороны, – длина ребра n -мерного куба равного объема, которая, следовательно, также является средней длиной ребер, инцидентных вершине куба.
Таким образом, неравенство AM–GM утверждает, что только n -куб имеет наименьшую среднюю длину ребер, соединенных с каждой вершиной, среди всех n -мерных блоков одинакового объема. [3]
Примеры
Пример 1
Если , то AM-GM говорит нам, что
Пример 2
Можно найти простую верхнюю границу для . AM-GM сообщает нам
и так
с равенством при .
Эквивалентно,
Пример 3
Рассмотрим функцию
для всех положительных действительных чисел x , y и z . Предположим, мы хотим найти минимальное значение этой функции. Его можно переписать как:
с
Применяя неравенство АМ–ГМ для n = 6 , получаем
Кроме того, мы знаем, что две стороны равны именно тогда, когда все члены среднего значения равны:
Все точки ( x , y , z ) , удовлетворяющие этим условиям, лежат на полупрямой, начинающейся в начале координат, и определяются выражением
Приложения
Важным практическим применением финансовой математики является вычисление нормы прибыли : годовая доходность , рассчитанная через среднее геометрическое, меньше, чем средняя годовая доходность, рассчитанная как среднее арифметическое (или равна, если все доходы равны). Это важно при анализе инвестиций , поскольку средняя доходность завышает совокупный эффект. Его также можно использовать для доказательства неравенства Коши – Шварца .
Доказательства неравенства AM–GM.
Неравенство AM – GM также известно разнообразием методов, которые можно использовать для его доказательства.
Доказательство с использованием неравенства Йенсена.
Неравенство Йенсена гласит, что значение вогнутой функции среднего арифметического больше или равно среднему арифметическому значений функции. Поскольку функция логарифма вогнутая, имеем
Взяв антилоги крайне левой и крайне правой частей, мы имеем неравенство AM – GM.
Если не все числа равны, то существуют такие, что . Замена x i на и x j на оставит среднее арифметическое чисел неизменным, но увеличит среднее геометрическое, потому что
Если числа по-прежнему не равны, продолжаем заменять числа, как указано выше. После не более чем таких шагов замены все числа будут заменены на, а среднее геометрическое строго увеличивается на каждом шаге. После последнего шага среднее геометрическое будет , что доказывает неравенство.
Можно отметить, что стратегия замены работает так же хорошо и с правой стороны. Если какое-либо из чисел равно 0, то и среднее геометрическое будет равно 0, что тривиально доказывает неравенство. Поэтому мы можем предположить, что все числа положительны. Если они не все равны, то существуют такие, что . Замена постепенно оставляет среднее геометрическое неизменным, но строго уменьшает среднее арифметическое , поскольку
. Далее доказательство проводится по той же схеме, что и в предыдущей замене.
Индукционные доказательства
Доказательство по индукции №1.
Из неотрицательных действительных чисел x 1 , . . . , x n утверждение AM–GM эквивалентно
с равенством тогда и только тогда, когда α = x i для всех i ∈ {1, . . . , н } .
Для следующего доказательства мы применяем математическую индукцию и только известные правила арифметики.
Базис индукции: Для n = 1 утверждение верно с равенством.
Гипотеза индукции: предположим, что утверждение AM – GM справедливо для всех вариантов выбора n неотрицательных действительных чисел.
Шаг индукции: рассмотрим n + 1 неотрицательное вещественное число x 1 , . . . , х n +1 , . Их среднее арифметическое α удовлетворяет
Если все x i равны α , то мы имеем равенство в утверждении AM – GM, и все готово. В случае, когда некоторые из них не равны α , должно существовать одно число, большее среднего арифметического α , и число, меньшее α . Без ограничения общности мы можем переупорядочить наши xi , чтобы поместить эти два конкретных элемента в конец: x n > α и x n +1 < α . Затем
Теперь определите y с помощью
и рассмотрим n чисел x 1 , . . . , x n –1 , y , которые неотрицательны. С
Таким образом, α также является средним арифметическим n чисел x 1 , . . . , x n –1 , y и из предположения индукции следует
Благодаря (*) мы знаем, что
следовательно
в частности α > 0 . Следовательно, если хотя бы одно из чисел x 1 , . . . , x n –1 равно нулю, то мы уже имеем строгое неравенство в (**). В противном случае правая часть (**) положительна, и строгое неравенство получается с помощью оценки (***) для получения нижней границы правой части (**). Таким образом, в обоих случаях мы можем заменить (***) на (**), чтобы получить
что завершает доказательство.
Доказательство по индукции №2.
Прежде всего докажем, что для вещественных чисел x 1 < 1 и x 2 > 1 справедливо
Действительно, умножение обеих частей неравенства x 2 > 1 на 1 – x 1 дает
откуда немедленно получается требуемое неравенство.
Теперь мы собираемся доказать, что для положительных действительных чисел x 1 , . . . , x n удовлетворяющий x 1 . . . x n = 1 , имеет место
Равенство имеет место только в том случае, если x 1 = ... = x n = 1 .
Базис индукции: Для n = 2 утверждение верно в силу указанного выше свойства.
Гипотеза индукции: предположим, что утверждение верно для всех натуральных чисел до n – 1 .
Шаг индукции: Рассмотрим натуральное число n , т.е. для положительных действительных чисел x 1 , . . . , x n , имеет место x 1 . . . Икс п знак равно 1 . Существует хотя бы один x k < 1 , поэтому должен быть хотя бы один x j > 1 . Без ограничения общности положим k = n – 1 и j = n .
Далее, равенство x 1 . . . x n = 1 мы запишем в виде ( x 1 . . . x n –2 ) ( x n –1 x n ) = 1 . Тогда из предположения индукции следует
Однако с учетом базиса индукции имеем
что завершает доказательство.
Для положительных действительных чисел a 1 , . . . , a n , обозначим
Числа x 1 , . . . , x n удовлетворяют условию x 1 . . . Икс п знак равно 1 . Итак, у нас есть
откуда мы получаем
причем равенство справедливо только для a 1 = ... = a n .
Доказательство Коши с использованием прямой-обратной индукции.
Следующее доказательство по прецедентам напрямую опирается на хорошо известные правила арифметики, но использует редко используемый метод прямой-обратной индукции. По сути, это произведение Огюстена Луи Коши, и его можно найти в его «Курсе анализа» . [4]
Случай, когда все члены равны
Если все условия равны:
тогда их сумма равна nx 1 , поэтому их среднее арифметическое равно x 1 ; и их произведение равно x 1 n , поэтому их среднее геометрическое равно x 1 ; следовательно, среднее арифметическое и среднее геометрическое равны, как и желательно.
Случай, когда не все члены равны
Осталось показать, что если не все члены равны, то среднее арифметическое больше среднего геометрического. Понятно, что это возможно только при n > 1 .
Этот случай существенно сложнее, и мы разобьем его на подслучаи.
Подслучай, когда n = 2
Если n = 2 , то у нас есть два слагаемых, x 1 и x 2 , и поскольку (по нашему предположению) не все слагаемые равны, мы имеем:
следовательно
по желанию.
Подслучай, когда n = 2 k
Рассмотрим случай, когда n = 2 k , где k — целое положительное число. Мы действуем методом математической индукции.
В базовом случае k = 1 , поэтому n = 2 . Мы уже показали, что неравенство справедливо при n = 2 , так что мы закончили.
Теперь предположим, что для данного k > 1 мы уже показали, что неравенство выполняется для n = 2 k −1 , и мы хотим показать, что оно справедливо для n = 2 k . Для этого применим неравенство дважды для 2 k -1 чисел и один раз для 2 чисел, чтобы получить:
где в первом неравенстве две стороны равны только в том случае, если
и
(в этом случае первое среднее арифметическое и первое среднее геометрическое равны x 1 , и аналогично второму среднему арифметическому и второму среднему геометрическому); а во втором неравенстве две стороны равны только в том случае, если равны два средних геометрических. Поскольку не все 2 k чисел равны, оба неравенства не могут быть равенствами, поэтому мы знаем, что:
по желанию.
Подслучай, когда n < 2 k
Если n не является натуральной степенью 2 , то оно заведомо меньше некоторой натуральной степени 2, поскольку последовательность 2, 4, 8, . . . , 2 к , . . . неограничен сверху. Поэтому, не ограничивая общности, пусть m — некоторая натуральная степень двойки , большая, чем n .
Итак, если у нас есть n терминов, то давайте обозначим их среднее арифметическое через α и расширим наш список терминов следующим образом:
Тогда у нас есть:
так
и
по желанию.
Доказательство по индукции с использованием основного исчисления.
Базис индукции : Для n = 1 утверждение верно с равенством.
Гипотеза индукции : предположим, что утверждение AM – GM справедливо для всех вариантов выбора n неотрицательных действительных чисел.
Шаг индукции : Чтобы доказать утверждение для n + 1 неотрицательных действительных чисел x 1 , . . . , x n , x n +1 , нам нужно доказать, что
с равенством только в том случае, если все n + 1 чисел равны.
Если все числа равны нулю, неравенство выполняется с равенством. Если некоторые, но не все числа равны нулю, мы имеем строгое неравенство. Следовательно, в дальнейшем мы можем предположить, что все n + 1 чисел положительны.
Рассмотрим последнее число x n +1 как переменную и определим функцию
Доказательство шага индукции эквивалентно показу того, что f ( t ) ≥ 0 для всех t > 0 , причем f ( t ) = 0 только в том случае, если x 1 , . . . , x n и t равны. Это можно сделать , проанализировав критические точки f с помощью некоторых базовых вычислений.
Критическая точка t 0 должна удовлетворять f′ ( t 0 ) = 0 , что означает
После небольшой перестановки получим
и наконец
что является средним геометрическим x 1 , . . . , х н . Это единственная критическая точка f . Поскольку f′′ ( t ) > 0 для всех t > 0 , функция f строго выпуклая и имеет строгий глобальный минимум в точке t0 . Затем мы вычисляем значение функции в этом глобальном минимуме:
где окончательное неравенство выполнено в силу предположения индукции. Гипотеза также утверждает, что равенство может быть только тогда, когда x 1 , . . . , x n все равны. В этом случае их среднее геометрическое t 0 имеет то же значение, Следовательно, если только x 1 , . . . , x n , x n +1 равны, имеем f ( x n +1 ) > 0 . Это завершает доказательство.
Этот метод можно использовать таким же образом для доказательства обобщенного неравенства AM–GM и неравенства Коши–Шварца в евклидовом пространстве Rn .
Доказательство Полиа с использованием показательной функции.
Джордж Полиа предоставил доказательство, подобное следующему. Пусть f ( x ) = e x –1 – x для всех действительных x с первой производной f′ ( x ) = e x –1 – 1 и второй производной f′′ ( x ) = e x –1 . Заметьте, что f (1) = 0 , f′ (1) = 0 и f′′ ( x ) > 0 для всех действительных x , следовательно, f строго выпуклая с абсолютным минимумом в x = 1 . Следовательно, x ≤ e x –1 для всех действительных x с равенством только для x = 1 .
Рассмотрим список неотрицательных действительных чисел x 1 , x 2 , . . . , х н . Если все они равны нулю, то неравенство AM – GM выполняется с равенством. Следовательно, мы можем предположить в дальнейшем их среднее арифметическое α > 0 . Применяя n -кратное неравенство выше, мы получаем, что
с равенством тогда и только тогда, когда x i = α для каждого i ∈ {1, . . . , н } . Аргумент показательной функции можно упростить:
Возвращаясь к (*) ,
что дает x 1 x 2 · · · x n ≤ α n , отсюда результат [5]
Доказательство с помощью множителей Лагранжа.
Если что-то из этого есть , то доказывать нечего. Поэтому мы можем предположить, что все они строго положительные.
Поскольку средние арифметические и геометрические однородны степени 1, без ограничения общности предположим, что . Установить и . Неравенство будет доказано (вместе со случаем равенства), если мы сможем показать, что минимум объекта ограничения равен , а минимум достигается только при . Давайте сначала покажем, что задача ограниченной минимизации имеет глобальный минимум.
Набор . Поскольку пересечение компактно, теорема о крайнем значении гарантирует, что минимум с учетом ограничений и достигается в некоторой точке внутри . С другой стороны, заметьте, что если какой-либо из , то , while и . Это означает, что минимум внутри на самом деле является глобальным минимумом, поскольку значение в любой точке внутри заведомо не меньше минимума, а значение в любой точке не внутри строго больше значения at , которое не меньше чем минимум.
Метод множителей Лагранжа говорит, что глобальный минимум достигается в точке , где градиент в несколько раз превышает градиент , для некоторых . Мы покажем, что единственный момент, в котором это происходит, — это когда и
Вычислить
и
вдоль ограничения. Таким образом, установка градиентов, пропорциональных друг другу, дает для каждого то и так. Поскольку левая часть не зависит от , из этого следует, что , а поскольку , из этого следует то и , по желанию.
Обобщения
Взвешенное неравенство AM – GM
Аналогичное неравенство существует для взвешенного среднего арифметического и взвешенного среднего геометрического . В частности, пусть неотрицательные числа x 1 , x 2 , . . . , x n и неотрицательные веса w 1 , w 2 , . . . , нам не дадут. Установите ш знак равно ш 1 + ш 2 + · · · + ш п . Если w > 0 , то неравенство
выполняется с равенством тогда и только тогда, когда все x k с w k > 0 равны. Здесь используется соглашение 0 0 = 1 .
Если все w k = 1 , это сводится к приведенному выше неравенству средних арифметических и геометрических.
Одна более сильная версия этого, которая также дает усиленную версию невзвешенной версии, принадлежит Альдазу. В частности, аналогичное неравенство существует для взвешенного среднего арифметического и взвешенного среднего геометрического . В частности, пусть неотрицательные числа x 1 , x 2 , . . . , x n и неотрицательные веса w 1 , w 2 , . . . , нам не дадут. Предположим далее, что сумма весов равна 1. Тогда
. [6]
Доказательство с использованием неравенства Йенсена.
Используя конечную форму неравенства Йенсена для натурального логарифма , мы можем доказать неравенство между взвешенным средним арифметическим и взвешенным средним геометрическим, указанное выше.
Поскольку x k с весом w k = 0 не влияет на неравенство, в дальнейшем мы можем предположить, что все веса положительны. Если все x k равны, то равенство имеет место. Поэтому остается доказать строгое неравенство, если они не все равны, что мы и будем предполагать в дальнейшем. Если хотя бы один x k равен нулю (но не все), то взвешенное среднее геометрическое равно нулю, а среднее взвешенное арифметическое положительно, следовательно, выполняется строгое неравенство. Поэтому мы можем также предположить, что все x k положительны.
Большинство матричных обобщений среднего арифметического неравенства геометрической применимы на уровне унитарно-инвариантных норм из-за того, что даже если матрицы и положительно полуопределенны, матрица может не быть положительно полуопределенной и, следовательно, не может иметь канонического квадрата. корень. В [7] Бхатиа и Киттане доказали, что для любой унитарно-инвариантной нормы и положительных полуопределенных матриц имеет место равенство
Позднее в [8] те же авторы доказали более сильное неравенство:
Наконец, для размерности известно, что имеет место следующее наиболее сильное матричное обобщение среднего арифметико-геометрического неравенства, и предполагается, что оно справедливо для всех
Это предполагаемое неравенство было показано Стивеном Друри в 2012 году. Действительно, он доказал [9]
Финансы: связь с геометрической доходностью активов
В сфере финансов многие исследования посвящены точной оценке нормы доходности актива в течение нескольких периодов в будущем. В случае логарифмически нормальной доходности активов существует точная формула для расчета арифметической доходности активов на основе геометрической доходности активов.
Для простоты предположим, что мы рассматриваем годовую геометрическую доходность r 1 , r 2 , ... , r N на временном горизонте N лет, т.е.
где:
= стоимость актива в момент времени ,
= стоимость актива в момент времени .
Геометрическая и арифметическая доходность соответственно определяются как
Когда годовая геометрическая доходность активов распределена логнормально, то для преобразования средней геометрической доходности в среднюю арифметическую доходность можно использовать следующую формулу: [10]
где – дисперсия наблюдаемой доходности активов. Это неявное уравнение для N можно решить точно следующим образом. Во-первых, обратите внимание, что, установив
получим полиномиальное уравнение степени 2:
Решая это уравнение для z и используя определение z , мы получаем 4 возможных решения для N :
Однако обратите внимание, что
Это означает, что единственными возможными решениями являются (поскольку доходность активов является действительными числами):
Наконец, мы ожидаем, что производная от a N по g N будет неотрицательной, поскольку увеличение геометрической доходности никогда не должно приводить к уменьшению арифметической доходности. Действительно, оба показателя измеряют средний рост стоимости актива и поэтому должны двигаться в одинаковых направлениях. Это оставляет нам одно решение неявного уравнения для N , а именно :
Таким образом, при допущении логарифмически нормального распределения доходности активов арифметическая доходность активов полностью определяется геометрической доходностью активов.
^ Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG. Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM . Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM . Используя подобные треугольники ,ХК/ГК"="ГК/ОК∴ ХК =GC²/ОК= ХМ .
Рекомендации
^ Хоффман, Д.Г. (1981), «Проблемы упаковки и неравенства», в Кларнер, Дэвид А. (ред.), The Mathematical Gardner , Springer, стр. 212–225, doi : 10.1007/978-1-4684-6686- 7_19, ISBN 978-1-4684-6688-1
^ «Элементы Евклида, Книга V, Предложение 25».
^ Стил, Дж. Майкл (2004). Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств . Серия задачников MAA. Издательство Кембриджского университета. ISBN978-0-521-54677-5. ОСЛК 54079548.
^ Коши, Огюстен-Луи (1821). Курс анализа Королевской политехнической школы, первая вечеринка, Анализ алгебры, Париж. Доказательство неравенства средних арифметических и средних геометрических можно найти на стр. 457 и далее.
^ Арнольд, Дениз; Арнольд, Грэм (1993). Четырехсекционная математика . Ходдер Арнольд H&S. п. 242. ИСБН978-0-340-54335-1. ОСЛК 38328013.
^ Алдаз, Дж. М. (2009). «Самоулучшение неравенства между арифметическими и средними геометрическими». Журнал математических неравенств . 3 (2): 213–216. дои : 10.7153/jmi-03-21 . Проверено 11 января 2023 г.
^ Бхатия, Раджендра; Киттане, Фуад (1990). «Об сингулярных значениях произведения операторов». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 11 (2): 272–277. дои : 10.1137/0611018.
^ Бхатия, Раджендра; Киттане, Фуад (2000). «Заметки о матричных средних арифметико-геометрических неравенствах». Линейная алгебра и ее приложения . 308 (1–3): 203–211. дои : 10.1016/S0024-3795(00)00048-3 .
^ SW Друри, К вопросу о Бхатиа и Киттане, Приложение линейной алгебры. 437 (2012) 1955–1960.
^ см. Миндлин, Дмитрий, О взаимосвязи между арифметическими и геометрическими доходностями (14 августа 2011 г.). Доступно на SSRN: https://ssrn.com/abstract=2083915 или http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2083915.
^ см. Иорданеску, Р.; Ничита, ФФ; Пасареску, О. Теории объединения: средние и обобщенные формулы Эйлера. Аксиомы 2020, 9, 144.
Внешние ссылки
Артур Лоуотер (1982). «Введение в неравенства». Электронная онлайн-книга в формате PDF.