Арифметическая прогрессия или арифметическая последовательность ( AP ) — это последовательность чисел , в которой разница между любым последующим членом и предыдущим членом остается постоянной на протяжении всей последовательности. Постоянная разность называется общей разностью этой арифметической прогрессии. Например, последовательность 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . представляет собой арифметическую прогрессию с общей разностью 2.
Если начальный член арифметической прогрессии равен , а общая разность последовательных членов равна , то -й член последовательности ( ) определяется выражением:
Конечная часть арифметической прогрессии называется конечной арифметической прогрессией , а иногда просто арифметической прогрессией. Сумма конечной арифметической прогрессии называется арифметическим рядом .
История
Согласно анекдоту сомнительной достоверности, [1] молодой Карл Фридрих Гаусс , который учился в начальной школе, заново изобрел этот метод для вычисления суммы целых чисел от 1 до 100 путем умножениян/2пары чисел в сумме по значениям каждой пары n + 1 . [ нужны разъяснения ] Однако, независимо от правдивости этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают вероятным, что ее происхождение восходит к пифагорейцам в 5 веке до нашей эры. [2] Подобные правила были известны в древности Архимеду , Гипсиклу и Диофанту ; [3] в Китае — Чжан Цюцзянь ; в Индии – Арьябхате , Брахмагупте и Бхаскаре II ; [4] и в средневековой Европе Алкуину , [5] Дикуилу , [6] Фибоначчи , [7] Сакробоско [8]
и анонимным комментаторам Талмуда , известным как тосафисты . [9]
Сумма
Вычисление суммы 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Когда последовательность переворачивается и прибавляется сама к себе почленно, полученная последовательность имеет в себе единственное повторяющееся значение, равное сумме первого и последнего чисел (2 + 14 = 16). Таким образом, 16 × 5 = 80 — это удвоенная сумма.
Сумма членов конечной арифметической прогрессии называется арифметическим рядом . Например, рассмотрим сумму:
Эту сумму можно быстро найти, взяв количество n добавляемых членов (здесь 5), умножив на сумму первого и последнего числа в прогрессии (здесь 2 + 14 = 16) и разделив на 2:
В приведенном выше случае это дает уравнение:
Эта формула работает для любых действительных чисел и . Например: это
Вывод
Анимированное доказательство формулы, дающей сумму первых целых чисел 1+2+...+n.
Чтобы вывести приведенную выше формулу, начните с выражения арифметического ряда двумя разными способами:
Перепишем термины в обратном порядке:
Сложив соответствующие члены обеих частей двух уравнений и разделив обе части пополам:
Эту формулу можно упростить так:
Кроме того, среднее значение ряда можно рассчитать с помощью :
Произведение членов конечной арифметической прогрессии с начальным элементом a 1 , общими разностями d и всего n элементами определяется в замкнутом выражении
где обозначает гамма-функцию . Формула недействительна, если она отрицательная или равна нулю.
Это обобщение того факта, что произведение прогрессии определяется факториалом и что произведение
для положительного целого и положительного комплексного числа.
Таким образом, если ,
,
и наконец,
Примеры
Пример 1
Возьмем пример , произведение членов арифметической прогрессии, заданной до 50-го члена, равно
Пример 2
Произведение первых 10 нечетных чисел определяется выражением
= 654 729 075
Среднеквадратичное отклонение
Стандартное отклонение любой арифметической прогрессии можно рассчитать как
где – количество членов прогрессии, – общая разность между членами. Формула очень похожа на стандартное отклонение дискретного равномерного распределения .
Перекрестки
Пересечение любых двух дважды бесконечных арифметических прогрессий либо пусто, либо другая арифметическая прогрессия, которую можно найти с помощью китайской теоремы об остатках . Если каждая пара прогрессий в семействе двояко бесконечных арифметических прогрессий имеет непустое пересечение, то существует число, общее для всех них; то есть бесконечные арифметические прогрессии образуют семейство Хелли . [10] Однако пересечение бесконечного числа бесконечных арифметических прогрессий может быть одним числом, а не бесконечной прогрессией.
^ Хейс, Брайан (2006). «День расплаты Гаусса». Американский учёный . 94 (3): 200. дои : 10.1511/2006.59.200. Архивировано из оригинала 12 января 2012 года . Проверено 16 октября 2020 г.
^ Хойруп, Дж. «Неизвестное наследие»: след забытого очага математической сложности. Арх. Хист. Точная наука. 62, 613–654 (2008). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
^ Тропфке, Йоханнес (1979). Арифметика и алгебра . Вальтер де Грюйтер. стр. 344–354. ISBN978-3-11-004893-3.
^ «Проблемы для обострения молодежи», Джон Хэдли и Дэвид Сингмастер, The Mathematical Gazette , 76 , № 475 (март 1992 г.), стр. 102–126.
^ Росс, HE и Нотт, BI (2019) Дикуил (9 век) о треугольных и квадратных числах, Британский журнал истории математики , 34:2, 79-94, https://doi.org/10.1080/26375451.2019. 1598687
^ Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002). Liber Abaci Фибоначчи . Спрингер-Верлаг. стр. 259–260. ISBN0-387-95419-8.
^ Кац, Виктор Дж. (ред.) (2016). Справочник по математике средневековой Европы и Северной Африки . Издательство Принстонского университета. стр. 91, 257. ISBN.9780691156859.