В математическом анализе и смежных областях математики множество называется ограниченным, если все его точки находятся на определенном расстоянии друг от друга. И наоборот, множество, которое не ограничено, называется неограниченным . Слово «ограниченный» не имеет смысла в общем топологическом пространстве без соответствующей метрики .
Граница — это отдельное понятие: например, окружность в изоляции представляет собой безграничное ограниченное множество, в то время как полуплоскость неограничена , но имеет границу.
Ограниченное множество не обязательно является замкнутым множеством и наоборот. Например, подмножество S 2-мерного действительного пространства R 2 , ограниченное двумя параболическими кривыми x 2 + 1 и x 2 - 1 , определенными в декартовой системе координат , замкнуто кривыми, но не ограничено (то есть неограничено).
Множество S действительных чисел называется ограниченным сверху, если существует некоторое действительное число k (не обязательно из S ), такое что k ≥ s для всех s из S . Число k называется верхней границей множества S . Термины ограниченный снизу и нижняя граница определяются аналогично.
Множество S ограничено , если оно имеет как верхнюю, так и нижнюю границы. Следовательно, множество действительных чисел ограничено, если оно содержится в конечном интервале .
Подмножество S метрического пространства ( M , d ) ограничено , если существует r > 0 такое, что для всех s и t в S имеем d (s , t ) < r . Метрическое пространство ( M , d ) является ограниченным метрическим пространством (или d является ограниченной метрикой), если M ограничено как подмножество самого себя.
В топологических векторных пространствах существует другое определение для ограниченных множеств, которое иногда называют ограниченностью фон Неймана . Если топология топологического векторного пространства индуцируется метрикой, которая является однородной , как в случае метрики, индуцируемой нормой нормированных векторных пространств , то два определения совпадают.
Множество действительных чисел ограничено тогда и только тогда, когда оно имеет верхнюю и нижнюю границу. Это определение распространяется на подмножества любого частично упорядоченного множества . Обратите внимание, что это более общее понятие ограниченности не соответствует понятию «размера».
Подмножество S частично упорядоченного множества P называется ограниченным сверху , если в P существует элемент k такой, что k ≥ s для всех s из S. Элемент k называется верхней границей S. Понятия ограниченности снизу и нижней границы определяются аналогично. (См. также верхняя и нижняя границы .)
Подмножество S частично упорядоченного множества P называется ограниченным , если оно имеет как верхнюю, так и нижнюю границу, или, что эквивалентно, если оно содержится в интервале . Обратите внимание, что это не только свойство множества S , но и одно из свойств множества S как подмножества P .
Ограниченный посет P (то есть сам по себе, а не как подмножество) — это посет, имеющий наименьший элемент и наибольший элемент . Обратите внимание, что эта концепция ограниченности не имеет ничего общего с конечным размером, и что подмножество S ограниченного посета P с порядком ограничения порядка на P не обязательно является ограниченным посетом.
Подмножество S из R n ограничено относительно евклидова расстояния тогда и только тогда, когда оно ограничено как подмножество R n с порядком произведения . Однако S может быть ограничено как подмножество R n с лексикографическим порядком , но не относительно евклидова расстояния.
Класс порядковых чисел называется неограниченным или конфинальным , когда для любого порядкового числа всегда существует некоторый элемент класса, больший его. Таким образом, в этом случае «неограниченный» не означает неограниченный сам по себе, а неограниченный как подкласс класса всех порядковых чисел.