Куспид (сингулярность)

В математике касп , иногда называемый спинодом в старых текстах, — это точка на кривой , где движущаяся точка должна изменить направление. Типичный пример приведён на рисунке. Таким образом, касп — это тип особой точки кривой .

Для плоской кривой, заданной аналитическим параметрическим уравнением

{\begin{align}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{align}}

касп — это точка, в которой обе производные f и $g$ равны нулю, а $производная$ по направлению в направлении касательной меняет знак (направление касательной совпадает с направлением наклона ). Каспы — это локальные сингулярности в том смысле, что они включают только одно значение параметра $t$ , в отличие от точек самопересечения, которые включают более одного значения. В некоторых контекстах условие на производную по направлению может быть опущено, хотя в этом случае сингулярность может выглядеть как обычная точка. $\lim(g'(t)/f'(t))$

Для кривой, определяемой неявным уравнением

F(x,y)=0,

которая является гладкой , каспы — это точки, где члены наименьшей степени разложения Тейлора $F$ являются степенью линейного полинома ; однако не все особые точки, обладающие этим свойством, являются каспами. Теория рядов Пюизе подразумевает, что если $F$ — аналитическая функция (например, полином ), линейное изменение координат позволяет параметризовать кривую в окрестности каспа следующим образом:

{\begin{align}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{align}}

где $a$ — действительное число , $m$ — положительное четное целое число , а $S (t)$ — степенной ряд порядка $k$ (степень ненулевого члена наименьшей степени), большего, чем $m$ . Число $m$ иногда называют порядком или кратностью каспа и оно равно степени ненулевой части наименьшей степени $F$ . В некоторых контекстах определение каспа ограничивается случаем каспов второго порядка, то есть случаем, когда $m$ $= 2$ .

Определения плоских кривых и неявно заданных кривых были обобщены Рене Томом и Владимиром Арнольдом на кривые, заданные дифференцируемыми функциями : кривая имеет точку возврата в точке, если существует диффеоморфизм окрестности точки в окружающем пространстве, который отображает кривую на одну из определенных выше точек возврата.

Классификация в дифференциальной геометрии

Рассмотрим гладкую вещественную функцию двух переменных , скажем, $f (x, y)$ , где $x$ и $y$ — вещественные числа . Таким образом, $f$ — это функция из плоскости в прямую. Пространство всех таких гладких функций подвергается действию группы диффеоморфизмов плоскости и диффеоморфизмов прямой, т.е. диффеоморфных изменений координат как в источнике , так и в цели . Это действие разбивает все пространство функций на классы эквивалентности , т.е. орбиты действия группы .

Одно такое семейство классов эквивалентности обозначается как ⁠ ⁠, $A_{k}^{\pm },$ где $k$ — неотрицательное целое число. Говорят, что функция $f$ имеет тип ⁠ ⁠, $A_{k}^{\pm }$ если она лежит в орбите , т.е. существует диффеоморфное изменение координат в источнике и цели, которое переводит $f$ в одну из этих форм. Говорят, что эти простые формы дают нормальные формы для типа ⁠ ⁠ -сингулярностей. Обратите внимание, что ⁠ ⁠ совпадают с ⁠ ⁠, поскольку диффеоморфное изменение координат ⁠ ⁠ в источнике принимает вид . Поэтому мы можем опустить ± из ⁠ ⁠ обозначения. $x^{2}\pm y^{k+1},$ $x^{2}\pm y^{k+1}$ $A_{k}^{\pm }$ $A_{2n}^{+}$ $A_{2n}^{-}$ $(x,y)\to (x,-y)$ $x^{2}+y^{k+1}$ $x^{2}-y^{2n+1}.$ $A_{2n}^{\pm }$

Тогда точки возврата задаются множествами нулевого уровня представителей классов эквивалентности , $A_{2n}$ где $n \geq 1$ — целое число. ^{[ необходима цитата ]}

Примеры

Острие в полукубической параболе $y^{2}=x^{3}$

Обычный касп задается как , т.е. множество нулевого уровня особенности типа A ₂ . Пусть f ( x , y ) будет гладкой функцией x и y и предположим для простоты, что f (0, 0) = 0 . Тогда особенность типа A ₂ функции f в точке (0, 0) можно охарактеризовать как: $x^{2}-y^{3}=0,$
1. Имея вырожденную квадратичную часть, т.е. квадратичные члены в ряде Тейлора функции $f$ образуют полный квадрат, скажем, $L (x, y) 2$ , где $L (x, y)$ линейна по $x$ и $y$ , и
2. $L (x, y)$ не делит кубические члены ряда Тейлора функции $f (x, y)$ .
Рамфоидный касп (от греческого «клювовидный») первоначально обозначал касп, такой что обе ветви находятся по одну сторону от касательной, например, для кривой уравнения Поскольку такая особенность находится в том же дифференциальном классе, что и касп уравнения, который является особенностью типа $A$ $4$ , этот термин был распространен на все такие особенности. Эти каспы не являются общими, как каустики и волновые фронты . Рамфоидный касп и обычный касп недиффеоморфны. Параметрическая форма — это $x^{2}-x^{4}-y^{5}=0.$ $x^{2}-y^{5}=0,$ $x=t^{2},\,y=ax^{4}+x^{5}.$

Для типа $A 4$ -сингулярности нам нужно, чтобы $f$ имела вырожденную квадратичную часть (это дает тип $A \geq2$ ), чтобы $L$ делила кубические члены (это дает тип $A \geq3$ ), еще одно условие делимости (дающее тип $A \geq4$ ) и конечное условие неделимости (дающее тип точно $A 4$ ).

Чтобы увидеть, откуда берутся эти дополнительные условия делимости, предположим, что $f$ имеет вырожденную квадратичную часть $L 2$ и что $L$ делит кубические члены. Отсюда следует, что ряд Тейлора третьего порядка функции $f$ задается выражением где $Q$ является квадратичным по $x$ и $y$ . Мы можем дополнить квадрат , чтобы показать, что Теперь мы можем сделать диффеоморфную замену переменной (в этом случае мы просто заменяем многочлены с линейно независимыми линейными частями), так что где $P$ $1$ является квартикой (порядком четыре) по $x$ $1$ и $y$ $1$ . Условие делимости для типа $A$ $\geq4$ состоит в том, что $x$ $1$ делит $P$ $1$ . Если $x$ $1$ не делит $P$ $1$ , то мы имеем тип точно $A$ $3$ (множество нулевого уровня здесь является такнодом ) . Если $x$ $1$ делит $P$ $1 ,$ мы дополняем квадрат на и меняем координаты так, чтобы мы имели где $P$ $2$ является квинтикой (порядком пять) по $x$ $2$ и $y$ $2$ . Если $x$ $2$ не делит $P$ $2$ , то мы имеем именно тип $A$ $4$ , т.е. множество нулевого уровня будет рамфоидальным каспом. $L^{2}\pm LQ,$ $L^{2}\pm LQ=(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4.$ $(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4\to x_{1}^{2}+P_{1}$ $x_{1}^{2}+P_{1}$ $x_{2}^{2}+P_{2}$

Приложения

Обычный пик, возникающий как каустика световых лучей на дне чашки.

Острые выступы естественным образом возникают при проецировании на плоскость гладкой кривой в трехмерном евклидовом пространстве . В общем случае такая проекция представляет собой кривую, сингулярностями которой являются точки самопересечения и обычные каспы. Точки самопересечения возникают, когда две различные точки кривых имеют одну и ту же проекцию. Обычные каспы возникают, когда касательная к кривой параллельна направлению проекции (то есть когда касательная проецируется на одну точку). Более сложные сингулярности возникают, когда одновременно происходят несколько явлений. Например, рамфоидальные каспы возникают для точек перегиба (и для точек волнистости ), для которых касательная параллельна направлению проекции.

Во многих случаях, и обычно в компьютерном зрении и компьютерной графике , проецируемая кривая является кривой критических точек ограничения на (гладкий) пространственный объект проекции. Таким образом, точка возврата появляется как особенность контура изображения объекта (зрение) или его тени (компьютерная графика).

Каустики и волновые фронты — это другие примеры кривых, имеющих выступы, которые видны в реальном мире.

Смотрите также

Найдите значение слова «cusp» в Викисловаре, бесплатном словаре.

Ссылки

Брюс, Дж. В.; Гиблин, Питер (1984). Кривые и особенности . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-42999-3.
Портеус, Ян (1994). Геометрическое дифференцирование . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-39063-7.

Внешние ссылки

Физики видят космос в чашке кофе