Область определения функции

Математическая концепция

Функция f от X до Y. _ Набор точек в красном овале X является областью определения f .

График действительной функции квадратного корня f ( x ) = √ x , область определения которой состоит из всех неотрицательных действительных чисел

В математике областью определения функции является набор входных данных, принимаемых функцией . Иногда его обозначают или , где f — функция. С точки зрения непрофессионала, область определения функции обычно можно рассматривать как «каким может быть x». ^[1] ${\displaystyle \operatorname {dom} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} f}$

Точнее, для данной функции областью определения f является X. На современном математическом языке область определения является частью определения функции, а не ее свойством. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

В особом случае, когда X и Y являются наборами действительных чисел , функцию f можно изобразить в виде графика в декартовой системе координат . В этом случае область определения представляется на оси x графика как проекция графика функции на ось x .

Для функции набор Y называется кодоменом , а набор значений, достигаемых функцией (который является подмножеством Y ), называется ее диапазоном или изображением . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Любая функция может быть ограничена подмножеством своей области определения. Ограничение на , где , записывается как . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \left.f\right|_{A}\colon A\to Y}$

Естественный домен

Если действительная функция f задана формулой, она может быть не определена для некоторых значений переменной. В этом случае это частичная функция , а набор действительных чисел, на которых формула может быть вычислена до действительного числа, называется натуральной областью или областью определения f . Во многих контекстах частичная функция называется просто функцией , а ее естественная область определения называется просто ее областью определения .

Примеры

• Функция, определенная как, не может быть оценена как 0. Следовательно, естественная область определения — это набор действительных чисел, исключая 0, которые можно обозначить или . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\neq 0\}}$
• Кусочная функция , определенная, имеет в качестве естественной области определения множество действительных чисел. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Функция квадратного корня имеет в качестве естественной области определения набор неотрицательных действительных чисел, которые можно обозначить , интервалом или . ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}}$
• Обозначенная функция тангенса имеет в качестве естественной области определения набор всех действительных чисел, которые не имеют формы некоторого целого числа , которое можно записать как . ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi :k\in \mathbb {Z} \}}$

Другое использование

Термин « домен» также часто используется в другом смысле в математическом анализе : « домен» — это непустое связное открытое множество в топологическом пространстве . В частности, в реальном и комплексном анализе область представляет собой непустое связное открытое подмножество реального координатного пространства или комплексного координатного пространства . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Иногда такая область определения используется как область определения функции, хотя функции могут быть определены на более общих множествах. Эти две концепции иногда объединяются, как, например, при изучении уравнений в частных производных : в этом случае область представляет собой открытое связное подмножество того, где ставится проблема, что делает ее одновременно областью анализа и областью анализа. искомая неизвестная функция(и). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Установите теоретические понятия

Например, в теории множеств иногда удобно разрешить областью определения функции быть собственный класс X , и в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка ( X , Y , G ) . При таком определении функции не имеют области определения, хотя некоторые авторы до сих пор неформально используют ее после введения функции в виде f : X → Y. ^[2]

Смотрите также

• Аргумент функции
• Домен атрибута
• Биекция, инъекция и сюръекция
• Кодомен
• Декомпозиция домена
• Эффективный домен
• Изображение (математика)
• Липшицев домен
• Наивная теория множеств
• Диапазон функции
• Поддержка (математика)

Примечания

1. «Домен, диапазон, обратные функции» . Легкое образование Sevens . Проверено 13 апреля 2023 г.
2. Экклс 1997, с. 91 (цитата 1, цитата 2); Мак Лейн 1998, с. 8; Мак Лейн, Scott & Jech 1971, стр. 232; Шарма 2010, с. 91; Стюарт и Талл 1977, с. 89

Рекомендации

• Бурбаки, Николя (1970). Теория ансамблей . Элементы математики. Спрингер. ISBN 9783540340348.
• Экклс, Питер Дж. (11 декабря 1997 г.). Введение в математические рассуждения: числа, множества и функции. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59718-0.
• Мак Лейн, Сондерс (25 сентября 1998 г.). Категории для работающего математика. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98403-2.
• Скотт, Дана С.; Джех, Томас Дж. (31 декабря 1971 г.). Аксиоматическая теория множеств, часть 1. Американская математическая соц. ISBN 978-0-8218-0245-8.
• Шарма, АК (2010). Введение в теорию множеств. Издательство Дискавери. ISBN 978-81-7141-877-0.
• Стюарт, Ян; Высокий, Дэвид (1977). Основы математики. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853165-4.