Функция четвертой степени

Полиномиальная функция четвертой степени

График многочлена 4-й степени с тремя критическими точками и четырьмя вещественными корнями (пересечениями оси x ) (и, следовательно, без комплексных корней). Если бы один или другой из локальных минимумов находился выше оси x , или если бы локальный максимум был ниже нее, или если бы не было локального максимума и одного минимума ниже оси x , то было бы только два действительных корня (и два комплексных). корнеплоды). Если бы все три локальных экстремума находились выше оси x или если бы не было локального максимума и одного минимума выше оси x , не было бы настоящего корня (и четырех комплексных корней). Те же рассуждения применимы и в обратном порядке к полиному с отрицательным коэффициентом четвертой степени.

В алгебре функция квартики — это функция вида

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,}$

где a не равно нулю, что определяется полиномом четвертой степени , называемым полиномом четвертой степени .

Уравнение четвертой степени , или уравнение четвертой степени, — это уравнение, приравнивающее нулю полином четвертой степени, вида

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,}$

где а ≠ 0 . ^[1] Производная функции четвертой степени является кубической функцией .

Иногда вместо термина «квадратичная» используется термин « биквадратичная » , но обычно под биквадратичной функцией понимают квадратичную функцию от квадрата (или, что то же самое, функцию, определяемую полиномом четвертой степени без членов нечетной степени), имеющую вид

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e.}$

Поскольку функция четвертой степени определяется полиномом четной степени, она имеет один и тот же бесконечный предел, когда аргумент переходит в положительную или отрицательную бесконечность . Если a положительно, то функция возрастает до положительной бесконечности на обоих концах; и, таким образом, функция имеет глобальный минимум . Аналогично, если a отрицательно, оно уменьшается до отрицательной бесконечности и имеет глобальный максимум. В обоих случаях он может иметь или не иметь еще один локальный максимум и еще один локальный минимум.

Четвертая степень ( четвертый случай) — это высшая степень, при которой каждое полиномиальное уравнение может быть решено с помощью радикалов , согласно теореме Абеля-Руффини .

История

Лодовико Феррари приписывают открытие решения квартики в 1540 году, но поскольку это решение, как и все алгебраические решения квартики, требует нахождения решения кубики , оно не могло быть опубликовано немедленно. ^[2] Решение квартики было опубликовано вместе с решением кубической задачи наставником Феррари Джероламо Кардано в книге Ars Magna . ^[3]

Советский историк И.Я. Депман (ru) утверждал, что еще раньше, в 1486 году, испанский математик Вальмес был сожжен на костре за утверждения о решении уравнения четвертой степени. ^[4] Генеральный инквизитор Томас де Торквемада якобы сказал Вальмесу, что по воле Божией такое решение должно быть недоступно человеческому пониманию. ^[5] Однако Петр Бекманн , популяризировавший эту историю о Депмане на Западе, заявил, что она ненадежна, и намекнул, что она, возможно, была выдумана как советская антирелигиозная пропаганда. ^[6] Версия этой истории Бекмана широко копировалась в нескольких книгах и на интернет-сайтах, обычно без его оговорок, а иногда и с причудливыми украшениями. Несколько попыток найти подтверждающие доказательства этой истории или даже существования Вальмеса потерпели неудачу. ^[7]

Доказательство того, что четыре — это высшая степень общего многочлена, для которого могут быть найдены такие решения, было впервые дано в теореме Абеля-Руффини в 1824 году, доказав, что все попытки решения многочленов более высокого порядка будут тщетными. Записи, оставленные Эваристом Галуа перед смертью на дуэли в 1832 году, позже привели к созданию элегантной полной теории корней многочленов, одним из результатов которой стала эта теорема. ^[8]

Приложения

Каждая координата точек пересечения двух конических сечений является решением уравнения четвертой степени. То же самое справедливо и для пересечения прямой и тора . Отсюда следует, что уравнения четвертой степени часто возникают в вычислительной геометрии и всех смежных областях, таких как компьютерная графика , автоматизированное проектирование , автоматизированное производство и оптика . Вот примеры других геометрических задач, решение которых предполагает решение уравнения четвертой степени.

В автоматизированном производстве тор представляет собой форму, которая обычно ассоциируется с концевой фрезой. Чтобы вычислить его положение относительно триангулированной поверхности, необходимо найти положение горизонтального тора на оси z там, где он касается фиксированной линии, а для этого необходимо вычислить решение общего уравнения четвертой степени. ^[9]

Уравнение четвертой степени возникает и в процессе решения задачи о скрещенных лестницах , в которой заданы длины двух скрещенных лестниц, каждая из которых опирается на одну стену и прислонена к другой, а также высота, на которой они пересекаются, и расстояние между стены надо найти. ^[10]

В оптике задача Альхазена звучит так: « Дайте источник света и сферическое зеркало, найдите точку на зеркале, где свет будет отражаться в глаз наблюдателя ». Это приводит к уравнению четвертой степени. ^{[11] [12] [13]}

Чтобы найти расстояние наибольшего сближения двух эллипсов, необходимо решить уравнение четвертой степени.

Собственные значения матрицы 4 ×4 являются корнями многочлена четвертой степени, который является характеристическим многочленом матрицы.

Характеристическое уравнение линейного разностного уравнения четвертого порядка или дифференциального уравнения является уравнением четвертой степени. Примером может служить теория изгиба балки Тимошенко-Релея . ^[14]

Пересечения между сферами, цилиндрами и другими квадриками можно найти с помощью уравнений четвертой степени.

Точки перегиба и золотое сечение

Полагая, что F и G — отдельные точки перегиба графика функции квартики, а H — пересечение секущей линии перегиба FG и квартики, расположенной ближе к G , чем к F , тогда G делит FH на золотое сечение : ^{[ 15]}

${\displaystyle {\frac {FG}{GH}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \;({\text{the golden ratio}}).}$

При этом площадь области между секущей линией и квартикой ниже секущей равна площади области между секущей линией и квартикой над секущей линией. Один из этих регионов разделен на субрегионы равной площади.

Решение

Природа корней

Учитывая общее уравнение четвертой степени

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

с действительными коэффициентами и a ≠ 0 характер его корней определяется главным образом знаком его дискриминанта

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}$

Это можно уточнить, рассмотрев знаки четырех других многочленов:

${\displaystyle P=8ac-3b^{2}}$

такой, чтоп/8 а ²– коэффициент второй степени соответствующей пониженной квартики (см. ниже);

${\displaystyle R=b^{3}+8da^{2}-4abc,}$

такой, чтор/8 а ³– коэффициент первой степени соответствующей пониженной квартики;

${\displaystyle \Delta _{0}=c^{2}-3bd+12ae,}$

что равно 0, если квартика имеет тройной корень; и

${\displaystyle D=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}}$

что равно 0, если квартика имеет два двойных корня.

Возможные случаи природы корней следующие: ^[16]

• Если ∆ < 0 , то уравнение имеет два различных действительных корня и два комплексно-сопряженных невещественных корня.
• Если ∆ > 0 , то либо все четыре корня уравнения вещественные, либо ни один из них не вещественный.
  • Если P < 0 и D < 0, то все четыре корня действительны и различны.
  • Если P > 0 или D > 0, то существуют две пары невещественных комплексно-сопряженных корней. ^[17]
• Если ∆ = 0 , то (и только тогда) многочлен имеет кратный корень. Вот различные случаи, которые могут произойти:
  • Если P < 0 и D < 0 и ∆ ₀ ≠ 0 , существует действительный двойной корень и два вещественных простых корня.
  • Если D > 0 или ( P > 0 и ( D ≠ 0 или R ≠ 0)), существует действительный двойной корень и два комплексно-сопряженных корня.
  • Если ∆ ₀ = 0 и D ≠ 0, существуют тройной корень и простой корень, все вещественные.
  • Если Д = 0, то:
    • Если P < 0, имеется два действительных двойных корня.
    • Если P > 0 и R = 0, имеется два комплексно-сопряженных двойных корня.
    • Если ∆ ₀ = 0 , все четыре корня равны —б/4 а

Есть некоторые случаи, которые вроде бы не охвачены, но на самом деле они не могут произойти. Например, ∆ ₀ > 0 , P = 0 и D ≤ 0 не является одним из случаев. Фактически, если ∆ ₀ > 0 и P = 0, то D > 0, поскольку такая комбинация невозможна. ${\displaystyle 16a^{2}\Delta _{0}=3D+P^{2};}$

Общая формула корней

Решение выписано полностью. Эта формула слишком громоздка для общего использования; поэтому обычно используются другие методы или более простые формулы для особых случаев. ${\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

Четыре корня x ₁ , x ₂ , x ₃ и x ₄ для общего уравнения четвертой степени

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

с a ≠ 0 приведены в следующей формуле, которая выводится из формулы, приведенной в разделе, посвященном методу Феррари, путем обратной замены переменных (см. § Преобразование в пониженную квартику) и использования формул для квадратных и кубических уравнений .

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}\ &=-{\frac {b}{4a}}-S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p+{\frac {q}{S}}}}\\x_{3,4}\ &=-{\frac {b}{4a}}+S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p-{\frac {q}{S}}}}\end{aligned}}}$

где p и q — коэффициенты второй и первой степени соответственно в соответствующей пониженной квартике

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}\end{aligned}}}$

и где

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {1}{3a}}\left(Q+{\frac {\Delta _{0}}{Q}}\right)}}\\Q&={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}+{\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}$

(если S = ​​0 или Q = 0 , см. § Особые случаи формулы ниже)

с

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\\Delta _{1}&=2c^{3}-9bcd+27b^{2}e+27ad^{2}-72ace\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle \Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}=-27\Delta \ ,}$где вышеупомянутый дискриминант . Для выражения кубического корня для Q можно использовать любой из трех кубических корней на комплексной плоскости, хотя, если один из них действительный, это самый естественный и простой вариант. Математические выражения этих последних четырех членов очень похожи на выражения их кубических аналогов . ${\displaystyle \Delta }$

Частные случаи формулы

• Если значение является недействительным комплексным числом. В этом случае либо все корни невещественны, либо все они вещественны. В последнем случае значение также действительно, несмотря на то, что оно выражено в терминах этого casus нередуцируемой кубической функции, расширенной до настоящего контекста квартики. Можно предпочесть выразить это чисто реальным способом, используя тригонометрические функции , следующим образом: ${\displaystyle \Delta >0,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q;}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}}}}$

где

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).}$

• Если и должен быть выбран знак, то это следует определить как сохранение знака ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$ ${\displaystyle Q\neq 0,}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$ ${\displaystyle \Delta _{1},}$ ${\displaystyle \Delta _{1}.}$
• Если тогда необходимо изменить выбор кубического корня для того, чтобы иметь Это всегда возможно, за исключением случаев, когда квартика может быть учтена в Тогда результат правильный, но вводит в заблуждение, поскольку скрывает тот факт, что в этом случае кубический корень не требуется . Фактически этот случай может произойти только в том случае, если числитель равен нулю, и в этом случае соответствующая пониженная квартика является биквадратичной; таким образом, ее можно решить методом, описанным ниже. ${\displaystyle S=0,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle S\neq 0.}$ ${\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.}$ ${\displaystyle q}$
• Если и и, следовательно, также по крайней мере три корня равны друг другу, и корни являются рациональными функциями коэффициентов. Тройной корень является общим корнем квартики и ее второй производной, таким образом, он также является уникальным корнем остатка евклидова деления квартики на ее вторую производную, которая является линейным полиномом. Простой корень можно получить из ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$ ${\displaystyle \Delta _{1}=0,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle 2(6ax^{2}+3bx+c);}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}+3x_{0}=-b/a.}$
• Если приведенное выше выражение для корней верно, но вводит в заблуждение, оно скрывает тот факт, что полином приводим и для представления корней не требуется кубический корень. ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}\neq 0,}$

Более простые случаи

Приводимая квартика

Рассмотрим общую квартику

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

Его можно сократить, если Q ( x ) = R ( x ) × S ( x ) , где R ( x ) и S ( x ) непостоянные многочлены с рациональными коэффициентами (или, в более общем смысле, с коэффициентами из того же поля , что и коэффициенты Q ( x ) ) . Такая факторизация примет одну из двух форм:

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})}$

или

${\displaystyle Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).}$

В любом случае корни Q ( x ) являются корнями факторов, которые можно вычислить с помощью формул для корней квадратичной функции или кубической функции .

Обнаружить существование таких факторизаций можно с помощью резольвентной кубики Q ( x ) . Оказывается, что:

• если мы работаем над R (то есть, если коэффициенты ограничены действительными числами) (или, в более общем смысле, над некоторым реальным замкнутым полем ), то такая факторизация всегда существует;
• если мы работаем над Q (то есть, если коэффициенты ограничены рациональными числами), то существует алгоритм, позволяющий определить, является ли Q ( x ) приводимым, и, если да, то как выразить его в виде произведения многочленов меньшей степени.

Действительно, на нахождении таких факторизаций основано несколько методов решения уравнений четвертой степени (метод Феррари, метод Декарта и, в меньшей степени, метод Эйлера).

Биквадратное уравнение

Если a ₃ = a ₁ = 0 , то функция

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}}$

называется биквадратичной функцией ; приравнивание его нулю определяет биквадратное уравнение , которое легко решить следующим образом

Пусть вспомогательная переменная z = x ² . Тогда Q ( x ) становится квадратичным q по z : q ( z ) = a ₄ z ² + a ₂ z + a ₀ . Пусть z ₊ и z ₋ корни q ( z ) . Тогда корни квартики Q ( x ) равны

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}}$

Квазипалиндромное уравнение

Полином

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}}$

является почти палиндромом , так как P ( mx ) =х ⁴/м ²П (м/Икс) (он является палиндромным, если m = 1 ). Замена переменных z = x +м/ИксвП ( х )/х ²= 0 дает квадратное уравнение a ₀ z ² + a ₁ z + a ₂ - 2 ma ₀ = 0 . Поскольку x ² − xz + m = 0 , уравнение четвертой степени P ( x ) = 0 можно решить, дважды применив квадратную формулу .

Методы решения

Преобразование в депрессивную квартику

Для целей решения обычно лучше преобразовать квартику в депрессивную квартику с помощью следующей простой замены переменной. Все формулы проще и некоторые методы работают только в этом случае. Корни исходной квартики легко восстанавливаются из корней пониженной квартики путем обратной замены переменной.

Позволять

${\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

— общее уравнение четвертой степени, которое мы хотим решить.

Деление на a ₄ дает эквивалентное уравнение x ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e = 0 , где b =3 _{_}/4 _{_}, с =2 _{_}/4 _{_}, д =1 _{_}/4 _{_}, и е =0 _{_}/4 _{_}. Замена y —б/4для x после перегруппировки членов дает уравнение y ⁴ + py ² + qy + r = 0 , где

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}}$

Если y ₀ является корнем этой пониженной квартики, то y ₀ −б/4(то есть y ₀ −3 _{_}/4 а ₄) является корнем исходной квартики, и каждый корень исходной квартики может быть получен с помощью этого процесса.

Решение Феррари

Как объяснялось в предыдущем разделе, мы можем начать с уравнения депрессивной четвертой степени

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0.}$

Эту депрессивную квартику можно решить с помощью метода, открытого Лодовико Феррари . Уравнение с депрессией можно переписать (в этом легко убедиться, расширив квадрат и перегруппировав все члены в левой части) как

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.}$

Затем мы вводим переменную m в множитель в левой части, добавляя к обеим частям 2 y ² m + pm + m ² . После перегруппировки коэффициентов степени y в правой части это дает уравнение

что эквивалентно исходному уравнению, какое бы значение ни было присвоено m .

Поскольку значение m может быть выбрано произвольно, мы выберем его так, чтобы заполнить квадрат в правой части. Это означает, что дискриминант по y этого квадратного уравнения равен нулю, то есть m является корнем уравнения

${\displaystyle (-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,}$

который можно переписать как

Это резольвентная кубика уравнения четвертой степени. Таким образом, значение m можно получить по формуле Кардано . Когда m является корнем этого уравнения, правая часть уравнения ( 1 ) представляет собой квадрат

${\displaystyle \left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Однако это вызывает деление на ноль, если m = 0 . Это означает, что q = 0 и, следовательно, подавленное уравнение является биквадратичным и может быть решено более простым методом (см. Выше). Это не было проблемой во времена Феррари, когда решались только явно заданные уравнения с числовыми коэффициентами. Таким образом, для получения общей формулы, которая всегда верна, необходимо выбрать корень кубического уравнения так, чтобы m ≠ 0 . Это возможно всегда, за исключением депрессивного уравнения y ⁴ = 0 .

Теперь, если m является корнем кубического уравнения, таким что m ≠ 0 , уравнение ( 1 ) принимает вид

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Это уравнение имеет вид M ² = N ² , который можно переписать как M ² − N ² = 0 или ( M + N )( M − N ) = 0 . Следовательно, уравнение ( 1 ) можно переписать как

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.}$

Это уравнение легко решить, применив к каждому множителю квадратичную формулу . Решая их, мы можем записать четыре корня как

${\displaystyle y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},}$

где ± ₁ и ± ₂ обозначают либо + , либо – . Поскольку два появления ± ₁ должны обозначать один и тот же знак, остается четыре возможности, по одной для каждого корня.

Следовательно, решения исходного уравнения четвертой степени имеют вид

${\displaystyle x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}.}$

Сравнение с приведенной выше общей формулой показывает, что √ 2 m = 2 S .

Решение Декарта

Декарт ^[18] ввел в 1637 г. метод нахождения корней многочлена четвертой степени путем разложения его на два квадратичных. Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}}$

Приравнивая коэффициенты , это приводит к следующей системе уравнений:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.}$

Это можно упростить, начав снова с пониженной квартики y ⁴ + py ² + qy + r , которую можно получить, заменив y − b /4 на x . Поскольку коэффициент при y ³ равен  0 , мы получаем s = − u и:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.}$

Теперь можно исключить и t , и v , выполнив следующие действия:

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}}$

Если мы положим U = u ² , то решение этого уравнения сводится к нахождению корней резольвентной кубики

что делается в другом месте . Эта резольвентная кубическая единица эквивалентна приведенной выше резольвентной кубике (уравнение (1a)), как можно увидеть, подставив U = 2m.

Если u является квадратным корнем из ненулевого корня этой резольвенты (такой ненулевой корень существует, за исключением квартики x ⁴ , которая факторизуется тривиально),

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.}$

Симметрии в этом решении следующие. Есть три корня кубического числа, соответствующие трем способам, которыми квартика может быть разложена на две квадратичные дроби, и выбор положительных или отрицательных значений u для квадратного корня из U просто меняет местами две квадратичные дроби друг с другом.

Приведенное выше решение показывает, что полином четвертой степени с рациональными коэффициентами и нулевым коэффициентом при кубическом члене разлагается в квадратичные дроби с рациональными коэффициентами тогда и только тогда, когда либо резольвентная кубика ( 2 ) имеет ненулевой корень, который является квадратом рационального числа. , или p ² − 4 r — квадрат рационального числа и q = 0 ; это можно легко проверить с помощью теста рационального корня . ^[19]

Решение Эйлера

Вариант предыдущего метода принадлежит Эйлеру . ^{[20] [21]} В отличие от предыдущих методов, оба из которых используют некоторый корень резольвентной кубики, метод Эйлера использует все из них. Рассмотрим депрессивную квартику x ⁴ + px ² + qx + r . Заметьте, что если

• Икс ⁴ + пикс ² + qx + р знак равно ( Икс ² + sx + т )( Икс ² - sx + v ) ,
• r ₁ и r ₂ — корни x ² + sx + t ,
• r ₃ и r ₄ — корни x ² − sx + v ,

затем

• корни x ⁴ + px ² + qx + r равны r ₁ , r ₂ , r ₃ и r ₄ ,
• р ₁ + р ₂ знак равно - s ,
• р ₃ + р ₄ знак равно s .

Следовательно, ( р ₁ + р ₂ )( р ₃ + р ₄ ) знак равно - s ² . Другими словами, −( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) является одним из корней резольвентной кубики ( 2 ), и это предполагает, что корни этой кубики равны −( r ₁ + r ₂ )( р ₃ + р ₄ ) , -( р ₁ + р ₃ )( р ₂ + р ₄ ) и - ( р ₁ + р ₄ )( р ₂ + р ₃ ) . Это действительно так и следует из формул Виеты . Из формул Виета, а также из того, что мы работаем с депрессивной квартикой, следует также, что r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = 0 . (Разумеется, это следует и из того, что r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = − s + s .) Следовательно, если α , β и γ — корни резольвентной кубики, то числа r ₁ , r ₂ , r ₃ и r ₄ таковы, что

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.}$

Следствием первых двух уравнений является то, что r ₁ + r ₂ является квадратным корнем из α и что r ₃ + r ₄ является другим квадратным корнем из α . По той же причине,

• r ₁ + r ₃ — квадратный корень из β ,
• r ₂ + r ₄ — другой квадратный корень из β ,
• r ₁ + r ₄ — квадратный корень из γ ,
• r ₂ + r ₃ — другой квадратный корень из γ .

Следовательно, числа r ₁ , r ₂ , r ₃ и r ₄ таковы, что

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.}$

О знаке квадратных корней речь пойдет ниже. Единственное решение этой системы:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.}$

Поскольку, как правило, для каждого квадратного корня существует два варианта выбора, может показаться, что это дает 8 (= 2 ³ ) вариантов выбора для набора { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ }, но на самом деле он предоставляет не более 2  таких вариантов, поскольку следствием замены одного из квадратных корней на симметричный является то, что набор { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ } становится набором {− r ₁ , − r ₂ , - р ₃ , - р ₄ }.

Чтобы определить правильный знак квадратных корней, нужно просто выбрать некоторый квадратный корень для каждого из чисел α , β и γ и использовать его для вычисления чисел r ₁ , r ₂ , r ₃ и r ₄ из предыдущие равенства. Затем вычисляется число √ α √ β √ γ . Поскольку α , β и γ являются корнями ( 2 ), следствием формул Виеты является то, что их произведение равно q ² и, следовательно, √ α √ β √ γ = ± q . Но простой расчет показывает, что

√ α √ β √ γ знак равно р ₁ р ₂ р ₃ + р ₁ р ₂ р ₄ + р ₁ р ₃ р ₄ + р ₂ р ₃ р ₄ .

Если это число равно − q , то выбор квадратных корней был удачным (опять же по формулам Виеты); в противном случае корнями многочлена будут - r ₁ , - r ₂ , - r ₃ и - r ₄ , которые являются числами, полученными, если один из квадратных корней заменить симметричным (или, что составляет то же самое, если каждый из трех квадратных корней заменить симметричным).

Этот аргумент предлагает другой способ выбора квадратных корней:

• выберите любой квадратный корень √ α из α и любой квадратный корень √ β из β ;
• определить √ γ как . ${\displaystyle -{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}}$

Конечно, это не будет иметь смысла, если α или β равны 0 , но 0 является корнем ( 2 ) только тогда, когда q = 0 , то есть только когда мы имеем дело с биквадратным уравнением, и в этом случае существует гораздо более простой подход.

Решение резольвентой Лагранжа

Симметричная группа S ₄ на четырех элементах имеет в качестве нормальной подгруппы четырехгруппу Клейна . Это предполагает использованиерезольвентная куба , корни которой могут быть описаны по-разному как дискретное преобразование Фурье илипреобразование корнейАдамараобщий методсм. в разделеРезольвенты ЛагранжаОбозначим через _xi , для i от 0до 3, четыре корня x ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e . Если мы установим

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}}$

тогда, поскольку преобразование является инволюцией , мы можем выразить корни через четыре s _i точно таким же образом. Поскольку мы знаем значение s ₀ = −б/2нам нужны только значения для s ₁ , s ₂ и s ₃ . Это корни многочлена

${\displaystyle (s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).}$

Заменяя s _i их значениями в терминах xi , этот _{многочлен} можно разложить в многочлен по s , _{коэффициенты} которого являются симметричными полиномами по xi . По фундаментальной теореме о симметричных многочленах эти коэффициенты могут быть выражены как многочлены от коэффициентов монической квартики. Если для упрощения предположим, что квартика подавлена, то есть b = 0 , это приведет к полиному

Этот многочлен имеет шестую степень, но только третью степень по s ² , поэтому соответствующее уравнение разрешимо методом, описанным в статье о кубической функции . Подставив корни в выражение xi через s i _{, мы} получим выражение для корней. В действительности мы получаем, по-видимому, несколько выражений, зависящих от нумерации корней кубического многочлена и знаков, присвоенных их квадратным корням. Все эти различные выражения можно вывести из одного из них _, просто изменив нумерацию xi .

Эти выражения излишне сложны и включают кубические корни из единицы , которых можно избежать следующим образом. Если s — любой ненулевой корень из ( 3 ) и если мы установим

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}}$

затем

${\displaystyle F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.}$

Таким образом, мы можем решить квартику, найдя s , а затем найдя корни двух факторов, используя квадратичную формулу .

Это дает точно такую ​​же формулу для корней, как и формула метода Декарта.

Решение с помощью алгебраической геометрии

Существует альтернативное решение, использующее алгебраическую геометрию ^[22] . Короче говоря, корни интерпретируются как пересечение двух квадратичных кривых, затем находятся три приводимые квадратичные кривые (пары прямых), которые проходят через эти точки (это соответствует резольвентной кубике , пары прямых являются резольвентами Лагранжа), а затем использовать эти линейные уравнения для решения квадратного уравнения.

Четыре корня пониженной квартики x ⁴ + px ² + qx + r = 0 также могут быть выражены как координаты x пересечений двух квадратных уравнений y ² + py + qx + r = 0 и y − x ² = 0 , т. е. использование замены y = x ² , согласно которой две квадратичные дроби пересекаются в четырех точках, является примером теоремы Безу . Явно, четыре точки — это Pi _≔ ( x _i , x _i ² ) для четырех корней x _i квартики.

Эти четыре точки не лежат на одной прямой, поскольку они лежат на неприводимом квадратичном y = x ² и, таким образом, через эти точки проходит однопараметрическое семейство квадратичных уравнений ( пучок кривых ). Запись проективизации двух квадратичных уравнений в виде квадратичных форм от трех переменных:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}}$

пучок задается формами λF ₁ + µF ₂ для любой точки [ λ , µ ] на проективной прямой - другими словами, где λ и µ одновременно не равны нулю, и умножение квадратичной формы на константу не меняет ее квадратичная кривая нулей.

Этот карандаш содержит три приводимых квадрата, каждая из которых соответствует паре прямых, каждая из которых проходит через две из четырех точек, что можно сделать  =  6 различными способами. Обозначим их Q ₁ = L ₁₂ + L ₃₄ , Q ₂ = L ₁₃ + L ₂₄ и Q ₃ = L ₁₄ + L ₂₃ . Учитывая любые два из них, их пересечение имеет ровно четыре точки. ${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$

Приводимые квадратичные дроби, в свою очередь, можно определить, выразив квадратичную форму λF ₁ + µF ₂ как матрицу 3×3  : приводимые квадратичные дроби соответствуют сингулярности этой матрицы, что эквивалентно тому, что ее определитель равен нулю, а определитель равен нулю. однородный полином третьей степени по λ и µ и соответствует резольвентной кубике.

Смотрите также

• Линейная функция  – Линейная карта или полиномиальная функция первой степени.
• Квадратичная функция  – Полиномиальная функция второй степени.
• Кубическая функция  – Полиномиальная функция степени 3
• Квинтическая функция  – Полиномиальная функция 5-й степени.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Квартовое уравнение». mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
2. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Лодовико Феррари», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
3. Кардано, Джероламо (1993) [1545], Ars magna или Правила алгебры , Дувр, ISBN 0-486-67811-3
4. Депман (1954), Рассказы о математике (на русском языке), Ленинград: Госдетиздат.
5. П. Бекманн (1971). История π. Макмиллан. п. 80. ИСБН 9780312381851.
6. П. Бекманн (1971). История π. Макмиллан. п. 191. ИСБН 9780312381851.
7. П. Золл (1989). "Письмо редактору". Американский математический ежемесячник . 96 (8): 709–710. JSTOR  2324719.
8. Стюарт, Ян, Теория Галуа, третье издание (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)
9. «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Первый курс кривых и поверхностей, стр. 36» (PDF) . math.gatech.edu .
10. Вайсштейн, Эрик В. «Проблема о скрещенных лестницах». mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
11. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
12. Маккей, Р.Дж.; Олдфорд, Р.В. (август 2000 г.), «Научный метод, статистический метод и скорость света», Statistical Science , 15 (3): 254–78, doi : 10.1214/ss/1009212817 , MR  1847825
13. Нейман, Питер М. (1998), «Размышления об отражении в сферическом зеркале», American Mathematical Monthly , 105 (6): 523–528, doi : 10.2307/2589403, JSTOR  2589403
14. Шабана, А.А. (8 декабря 1995 г.). Теория вибрации: Введение. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94524-8.
15. Од, HTR (1949), «Заметки о кривых четвертой степени», American Mathematical Monthly , 56 (3): 165–170, doi : 10.2307/2305030, JSTOR  2305030
16. Рис, EL (1922). «Графическое обсуждение корней уравнения четвертой степени». Американский математический ежемесячник . 29 (2): 51–55. дои : 10.2307/2972804. JSTOR  2972804.
17. Лазард, Д. (1988). «Устранение квантора: оптимальное решение для двух классических примеров». Журнал символических вычислений . 5 (1–2): 261–266. дои : 10.1016/S0747-7171(88)80015-4 .
18. Декарт, Рене (1954) [1637], «Книга III: О построении задач твердого и сверхтвердого тела», Геометрия Рене Декарта с факсимиле первого издания , Дувр , ISBN 0-486-60068-8, ЯФМ  51.0020.07
19. Брукфилд, Г. (2007). «Факторизация многочленов четвертой степени: утерянное искусство» (PDF) . Журнал «Математика» . 80 (1): 67–70. дои : 10.1080/0025570X.2007.11953453. S2CID  53375377.
20. ван дер Варден, Бартель Леендерт (1991), «Теория Галуа: уравнения второй, третьей и четвертой степеней», Алгебра , том. 1 (7-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-97424-5, Збл  0724.12001
21. Эйлер, Леонхард (1984) [1765], «О новом методе решения уравнений четвертой степени», Элементы алгебры , Springer-Verlag , ISBN 978-1-4613-8511-0, Збл  0557.01014
22. Фосетт, Уильям М. (1996), «Геометрическая интерпретация решения общего полинома четвертой степени», American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, doi : 10.2307/2975214, JSTOR  2975214, MR  1369151

дальнейшее чтение

• Карпентер, В. (1966). «О решении действительной квартики». Журнал «Математика» . 39 (1): 28–30. дои : 10.2307/2688990. JSTOR  2688990.
• Якуб, доктор медицины; Фрайденрайх, Г. (июль 2012 г.). «Решение уравнения четвертой степени». Математический вестник . 96 : 271–275. дои : 10.1017/s002555720000454x. S2CID  124512391.

Внешние ссылки

• Формула четвертой степени как четыре отдельных уравнения в PlanetMath .
• Достижение Феррари