Гладкость

Число производных функции (математика)

Функция Bump — это гладкая функция с компактной поддержкой .

В математическом анализе гладкость функции — это свойство, измеряемое количеством непрерывных производных, которые она имеет в некоторой области, называемой классом дифференцируемости . ^[1] Как минимум, функцию можно считать гладкой, если она всюду дифференцируема (следовательно, непрерывна). ^[2] С другой стороны, он также может иметь производные всех порядков в своей области определения , и в этом случае он называется бесконечно дифференцируемым и называется функцией (или функцией) C-бесконечности . ^[3] ${\displaystyle C^{\infty }}$

Классы дифференцируемости

Класс дифференцируемости — это классификация функций по свойствам их производных . Это мера производной высшего порядка, которая существует и непрерывна для функции.

Рассмотрим открытое множество на вещественной прямой и функцию , определенную на вещественных значениях. Пусть k — целое неотрицательное число . Говорят, что функция относится к классу дифференцируемости , если производные существуют и непрерывны на . Если -дифференцируема на , то она находится по крайней мере в классе, так как непрерывна на . Функция называется бесконечно дифференцируемой , гладкой или классовой , если она имеет производные всех порядков по . (Таким образом, все эти производные являются непрерывными функциями над . ) ^[4] Функция называется аналитической , если она гладкая (т. е. находится в классе ) и ее разложение в ряд Тейлора вокруг любой точки в ее области определения сходится к функция в некоторой окрестности точки. Существуют функции гладкие, но не аналитические; таким образом, строго содержится в . Функции Bump являются примерами функций с этим свойством. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k)}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k-1)}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Другими словами, класс состоит из всех непрерывных функций. Класс состоит из всех дифференцируемых функций , производная которых непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми . Таким образом, функция — это в точности функция, производная которой существует и имеет класс . В общем, классы можно определить рекурсивно , объявив их набором всех непрерывных функций и объявив для любого положительного целого числа набор всех дифференцируемых функций, производная которых находится в . В частности, содержится в для каждого , и есть примеры, показывающие, что это включение является строгим ( ). Класс бесконечно дифференцируемых функций представляет собой пересечение классов, изменяющихся по неотрицательным целым числам. ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle C^{k}\subsetneq C^{k-1}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Примеры

Пример: непрерывный ( C ⁰ ), но не дифференцируемый

Функция C ⁰ f ( x ) = x для x ≥ 0 и 0 в противном случае .

Функция g ( x ) = x ² sin(1/ x ) для x > 0 .

Функция с for и дифференцируема. Однако эта функция не является непрерывно дифференцируемой. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

Гладкая функция, не являющаяся аналитической.

Функция

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$$

x = 0C ⁰C ¹

Пример: дифференцируемый в конечное время ( C ^k )

Для каждого четного числа k функция

$${\displaystyle f(x)=|x|^{k+1}}$$

kxx = 0 ^он( k + 1)CkCj ^,j > k ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Пример: дифференцируемо, но не непрерывно дифференцируемо (не C ¹ )

Функция

$${\displaystyle g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$$

Поскольку колеблется при x → 0, он не является непрерывным в нуле. Следовательно, дифференцируемо, но не принадлежит классу C ¹ . ${\displaystyle \cos(1/x)}$ ${\displaystyle g'(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

Пример: дифференцируемо, но не липшицево непрерывное

Функция

$${\displaystyle h(x)={\begin{cases}x^{4/3}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

компактелипшицевой ${\displaystyle h}$

Пример: Аналитический ( C ^ω )

Показательная функция аналитична и, следовательно, попадает в ^класс Cω . Тригонометрические функции также являются аналитическими везде, где они определены, поскольку они представляют собой линейные комбинации комплексных показательных функций и . ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{ix}}$ ${\displaystyle e^{-ix}}$

Пример: Гладкий ( C ^∞ ), но не аналитический ( C ^ω )

Функция удара

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$$

C ^∞x = ±1C ^ωfкомпактным носителем

Классы многомерной дифференцируемости

Функция , определенная на открытом множестве, называется [ ^5] принадлежащей классу на для положительного целого числа , если все частные производные ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$$

производная Фрешенепрерывно дифференцируемыми ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Функция , определенная на открытом множестве , называется принадлежащей классу на для положительного целого числа , если все ее компоненты ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ for }}i=1,2,3,\ldots ,m}$$

проекции, ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle U}$

Пространство C k функций

Пусть – открытое подмножество реальной прямой. Множество всех действительных функций, определенных на , представляет собой векторное пространство Фреше со счетным семейством полунорм. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|}$$

компактов, объединение ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m=0,1,\dots ,k}$

Множество функций над также образует пространство Фреше. Используются те же полунормы, что и выше, за исключением того, что они могут варьироваться по всем неотрицательным целым значениям. ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m}$

Вышеупомянутые пространства естественным образом возникают в приложениях, где необходимы функции, имеющие производные определенных порядков; однако, особенно при изучении уравнений в частных производных , иногда может быть более плодотворно работать с пространствами Соболева .

Непрерывность

Термины параметрическая непрерывность ( Ck ) и геометрическая непрерывность ⁽ Gn ) были введены ^{Брайаном} Барски , чтобы показать, что гладкость кривой можно измерить, сняв ограничения на скорость , с которой параметр отслеживает кривую. ^{[6] [7] [8]}

Параметрическая непрерывность

Параметрическая непрерывность ( C ^k ) — это концепция, применяемая к параметрическим кривым , которая описывает плавность значения параметра с расстоянием вдоль кривой. Говорят, что (параметрическая) кривая принадлежит к классу C ^k , если она существует и непрерывна на , где производные в конечных точках и считаются односторонними производными (справа в точке и слева в точке ). ${\displaystyle s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

В качестве практического применения этой концепции кривая, описывающая движение объекта с параметром времени, должна иметь непрерывность C ¹ и ее первая производная дифференцируема - чтобы объект имел конечное ускорение. Для более плавного движения, например движения камеры во время съемки фильма, требуются параметрическая непрерывность более высокого порядка.

Порядок параметрической непрерывности

Два присоединенных сегмента кривой Безье , непрерывные только C ⁰

Два сегмента кривой Безье прикреплены таким образом, что они являются непрерывными C ¹

Различные порядки параметрической непрерывности можно описать следующим образом: ^[9]

• ${\displaystyle C^{0}}$: нулевая производная непрерывна (кривые непрерывны)
• ${\displaystyle C^{1}}$: нулевая и первая производные непрерывны
• ${\displaystyle C^{2}}$: нулевая, первая и вторая производные непрерывны
• ${\displaystyle C^{n}}$: Производные с 0-й по -ю непрерывны ${\displaystyle n}$

Геометрическая непрерывность

Кривые с контактом G ¹ (круги, линия)

${\displaystyle (1-\varepsilon ^{2})x^{2}-2px+y^{2}=0,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0}$
пучок конических сечений с G ² -контактом: p фиксированный, переменный ( : окружность, : эллипс, : парабола, : гипербола) ${\displaystyle \varepsilon }$
${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \varepsilon =0.8}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ${\displaystyle \varepsilon =1.2}$

Понятие геометрической непрерывности или геометрической непрерывности ( Gn ) в первую очередь применялось к коническим сечениям (и связанным с ними формам) такими математиками, ^как Лейбниц , Кеплер и Понселе . Эта концепция была ранней попыткой описать с помощью геометрии, а не алгебры, концепцию непрерывности , выраженную через параметрическую функцию. ^[10]

Основная идея геометрической непрерывности заключалась в том, что пять конических секций на самом деле представляли собой пять разных версий одной и той же формы. Эллипс стремится к окружности , когда эксцентриситет приближается к нулю, или к параболе , когда он приближается к единице; а гипербола стремится к параболе , когда эксцентриситет падает до единицы; он также может иметь тенденцию к пересекающимся линиям . Таким образом, между коническими участками сохранялась непрерывность . Эти идеи привели к появлению других концепций преемственности. Например, если бы круг и прямая линия были двумя выражениями одной и той же формы, возможно, линию можно было бы рассматривать как круг бесконечного радиуса . Чтобы это было так, нужно было бы сделать линию замкнутой, позволив точке быть точкой на круге и быть идентичными. Такие идеи были полезны при разработке современной, алгебраически определенной идеи непрерывности функции и ( подробнее см . Проективно расширенная вещественная линия ). ^[10] ${\displaystyle x=\infty }$ ${\displaystyle x=+\infty }$ ${\displaystyle x=-\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Порядок геометрической непрерывности

Кривую или поверхность можно описать как имеющую непрерывность и являющуюся возрастающей мерой гладкости. Рассмотрим отрезки по обе стороны от точки кривой: ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle G^{0}}$: кривые соприкасаются в точке соединения.
• ${\displaystyle G^{1}}$: кривые также имеют общее направление касательной в точке соединения.
• ${\displaystyle G^{2}}$: кривые также имеют общий центр кривизны в точке соединения.

В общем, непрерывность существует, если кривые можно перепараметризовать, чтобы они имели (параметрическую) непрерывность. ^{[11] [12]} Репараметризация кривой геометрически идентична оригиналу; затрагивается только параметр. ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle C^{n}}$

Эквивалентно, две векторные функции и имеют непрерывность, если и для скаляра (т. е. если направление, но не обязательно величина, двух векторов одинаково). ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle f^{(n)}(t)\neq 0}$ ${\displaystyle f^{(n)}(t)\equiv kg^{(n)}(t)}$ ${\displaystyle k>0}$

Хотя может быть очевидно, что для того, чтобы кривая выглядела гладкой, потребуется непрерывность, для хорошей эстетики , например, той, к которой стремятся в архитектуре и дизайне спортивных автомобилей , требуются более высокие уровни геометрической непрерывности. Например, отражения в кузове автомобиля не будут гладкими, если тело не будет сплошным. ${\displaystyle G^{1}}$ ${\displaystyle G^{2}}$

Скругленный прямоугольник ( с дугами окружностей по девяносто градусов в четырех углах) имеет непрерывность, но не имеет непрерывности. То же самое верно и для закругленного куба с октантами сферы по углам и четвертьцилиндрами по краям. Если требуется редактируемая кривая с непрерывностью, обычно выбираются кубические сплайны ; эти кривые часто используются в промышленном дизайне . ${\displaystyle G^{1}}$ ${\displaystyle G^{2}}$ ${\displaystyle G^{2}}$

Другие концепции

Отношение к аналитичности

Хотя все аналитические функции являются «гладкими» (т.е. имеют все производные непрерывными) на множестве, на котором они аналитичны, такие примеры, как функции рельефа (упомянутые выше), показывают, что обратное неверно для функций на действительных числах: существуют гладкие действительные функции. функции, которые не являются аналитическими. Простые примеры функций, которые являются гладкими, но не аналитическими ни в какой точке, можно составить с помощью рядов Фурье ; другой пример — функция Фабиуса . Хотя может показаться, что такие функции являются скорее исключением, чем правилом, оказывается, что аналитические функции очень тонко разбросаны среди гладких; более строго, аналитические функции образуют скудное подмножество гладких функций. Более того, для каждого открытого подмножества A вещественной прямой существуют гладкие функции, аналитические на A и ^{нигде более .}

Полезно сравнить ситуацию с повсеместностью трансцендентных чисел на действительной линии. Как на реальной линии, так и на множестве гладких функций примеры, которые приходят на первый взгляд (алгебраические/рациональные числа и аналитические функции), ведут себя гораздо лучше, чем большинство случаев: трансцендентные числа и нигде не аналитические функции имеют полную меру. (их дополнения скудны).

Описанная таким образом ситуация резко контрастирует со сложными дифференцируемыми функциями. Если комплексная функция дифференцируема только один раз на открытом множестве, она одновременно бесконечно дифференцируема и аналитична на ^{этом множестве .}

Гладкие перегородки единства

Гладкие функции с заданным замкнутым носителем используются при построении гладких разбиений единицы (см. Глоссарий разбиений единицы и топологии ); они необходимы при изучении гладких многообразий , например, чтобы показать, что римановы метрики могут быть определены глобально, начиная с их локального существования. Простым случаем является функция рельефа на действительной линии, то есть гладкая функция f , которая принимает значение 0 вне интервала [ a , b ] и такая, что

$${\displaystyle f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,}$$

Учитывая количество перекрывающихся интервалов на прямой, можно построить функции рельефа на каждом из них, а также на полубесконечных интервалах и покрыть всю линию так, чтобы сумма функций всегда была равна 1. ${\displaystyle (-\infty ,c]}$ ${\displaystyle [d,+\infty )}$

Судя по только что сказанному, разбиения единицы неприменимы к голоморфным функциям ; их различное поведение относительно существования и аналитического продолжения является одним из корней теории пучков . Напротив, пучки гладких функций, как правило, не несут большого количества топологической информации.

Гладкие функции на многообразиях и между ними

Учитывая гладкое многообразие размерности и атлас , тогда отображение является гладким , если для всех существует карта такая, что и является гладкой функцией из окрестности in в (все частные производные до данного порядка непрерывны). Гладкость можно проверить по отношению к любой содержащейся в атласе карте , поскольку требования к плавности функций перехода между картами гарантируют, что если она гладкая вблизи на одной карте, то она будет гладкой вблизи и на любой другой карте. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle (U,\phi )\in {\mathfrak {U}},}$ ${\displaystyle p\in U,}$ ${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi (p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Если есть отображение из в -мерное многообразие , то оно является гладким, если для каждого существует карта, содержащая и карта , содержащая такие, что и является гладкой функцией из ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p\in M,}$ ${\displaystyle (U,\phi )}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle F(U)\subset V,}$ ${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Гладкие отображения между многообразиями вызывают линейные отображения между касательными пространствами : для в каждой точке прямое (или дифференциал) отображает касательные векторы at в касательные векторы в : и на уровне касательного расслоения прямое расслоение является гомоморфизмом векторного расслоения : Двойственное отображение к выдвижению вперед является откат , который «подтягивает» ковекторы обратно к ковекторам на и -формам к -формам: Таким образом, гладкие функции между многообразиями могут переносить локальные данные , такие как векторные поля и дифференциальные формы , из одного многообразия в другое, или вплоть до евклидова пространства, где такие вычисления, как интегрирование , хорошо понятны. ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,}$ ${\displaystyle F_{*}:TM\to TN.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).}$

Прообразы и движения вдоль гладких функций, вообще говоря, не являются многообразиями без дополнительных предположений. Прообразы регулярных точек (т. е. если дифференциал на прообразе не обращается в нуль) являются многообразиями; это теорема о прообразе . Аналогично, продвижение вдоль вложений является многообразием. ^[13]

Гладкие функции между подмножествами многообразий

Существует соответствующее понятие гладкого отображения для произвольных подмножеств многообразий. If — функция , область определения и диапазон которой являются подмножествами многообразий и соответственно. называется гладким, если для всех существует открытое множество с и гладкая функция такая, что для всех ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\subseteq M}$ ${\displaystyle Y\subseteq N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U\subseteq M}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle F:U\to N}$ ${\displaystyle F(p)=f(p)}$ ${\displaystyle p\in U\cap X.}$

Смотрите также

• Разрыв  - Математический анализ точек разрыва.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Лемма Адамара
• Неаналитическая гладкая функция  - математические функции, которые являются гладкими, но не аналитическими.
• Квазианалитическая функция
• Сингулярность (математика)  - точка, в которой функция, кривая или другой математический объект ведет себя нерегулярно.
• Извилистость  - соотношение длины дуги и расстояния по прямой между двумя точками волнообразной функции.
• Гладкая схема  – тип схемыPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Гладкое число  - целое число, имеющее только небольшие простые множители (теория чисел).
• Сглаживание  – подгонка аппроксимирующей функции к данным.
• Сплайн  — математическая функция, кусочно определяемая полиномами.
• Соболевское картографирование

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Гладкая функция». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 16 декабря 2019 г. Проверено 13 декабря 2019 г.
2. «Гладкая (математика)» . TheFreeDictionary.com . Архивировано из оригинала 03 сентября 2019 г. Проверено 13 декабря 2019 г.
3. «Гладкая функция - Математическая энциклопедия» . www.энциклопедияofmath.org . Архивировано из оригинала 13 декабря 2019 г. Проверено 13 декабря 2019 г.
4. Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли. Спрингер. п. 5 [Определение 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6. Архивировано из оригинала 1 октября 2015 г. Проверено 28 ноября 2014 г.
5. Анри Картан (1977). Курс дифференцированного расчета . Париж: Германн.
6. Барски, Брайан А. (1981). Бета-сплайн: локальное представление, основанное на параметрах формы и фундаментальных геометрических мерах (доктор философии). Университет Юты, Солт-Лейк-Сити, Юта.
7. Брайан А. Барски (1988). Компьютерная графика и геометрическое моделирование с использованием бета-сплайнов . Шпрингер-Верлаг, Гейдельберг. ISBN 978-3-642-72294-3.
8. Ричард Х. Бартельс; Джон С. Битти; Брайан А. Барски (1987). Введение в сплайны для использования в компьютерной графике и геометрическом моделировании . Морган Кауфманн. Глава 13. Параметрическая и геометрическая непрерывность. ISBN 978-1-55860-400-1.
9. ван де Панн, Мишель (1996). «Параметрические кривые». Интернет-заметки осени 1996 г. Университет Торонто, Канада. Архивировано из оригинала 26 ноября 2020 г. Проверено 1 сентября 2019 г.
10. Тейлор, Чарльз (1911). «Геометрическая непрерывность»  . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 11 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 674–675.
11. Барски, Брайан А.; ДеРоуз, Тони Д. (1989). «Геометрическая непрерывность параметрических кривых: три эквивалентные характеристики». IEEE Компьютерная графика и приложения . 9 (6): 60–68. дои : 10.1109/38.41470. S2CID  17893586.
12. Хартманн, Эрих (2003). «Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования» (PDF) . Технический университет Дармштадта . п. 55. Архивировано (PDF) из оригинала 23 октября 2020 г. Проверено 31 августа 2019 г.
13. Гиймен, Виктор; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология . Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл. ISBN 0-13-212605-2.