Раздел единства

Набор функций из топологического пространства до [0,1], сумма которых равна 1 для любого входного сигнала.

В математике разбиение единицы топологического пространства — это набор непрерывных функций от до единичного интервала [0,1] такой, что для каждой точки : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

• существует окрестность , где все функции, кроме конечного числа , равны 0, и ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$
• сумма всех значений функции at равна 1, т.е. ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1.}$

Разбиение единства круга с четырьмя функциями. Круг разворачивается до сегмента линии (нижняя сплошная линия) для целей построения графиков. Пунктирная линия сверху — сумма функций в разбиении.

Перегородки единства полезны тем, что часто позволяют распространить локальные конструкции на все пространство. Они также важны для интерполяции данных, обработки сигналов и теории сплайн-функций .

Существование

Существование разделов единства принимает две различные формы:

1. Для любого открытого покрытия пространства существует раздел, индексированный по тому же множеству, такой, что supp. Такой раздел называется подчиненным открытому покрытию. ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\rho _{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{i}\subseteq U_{i}.}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i}.}$
2. Если пространство локально компактно, то при любом открытом покрытии пространства существует раздел, индексированный по возможно отличному набору индексов, такой, что каждый имеет компактный носитель и для каждого supp для некоторого . ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\rho _{j}\}_{j\in J}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle j\in J}$ ${\displaystyle \rho _{j}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

Таким образом, можно выбрать либо индексацию опор открытой крышкой, либо компактные опоры. Если пространство компактно , то существуют разбиения, удовлетворяющие обоим требованиям.

Конечное открытое покрытие всегда имеет подчиненное ему непрерывное разбиение единицы, если пространство локально компактно и хаусдорфово. ^[1] Паракомпактность пространства является необходимым условием, гарантирующим существование разбиения единицы, подчиненного любому открытому покрытию . В зависимости от категории , к которой принадлежит помещение, оно может быть и достаточным условием. ^[2] В конструкции используются мягчители (выпуклые функции), которые существуют в непрерывных и гладких многообразиях , но не в аналитических многообразиях . Таким образом, для открытого покрытия аналитического многообразия аналитическое разбиение единицы, подчиненное этому открытому покрытию, вообще не существует. См. аналитическое продолжение .

Если и являются разбиениями единицы для пространств и соответственно, то множество всех пар является разбиением единицы для декартова пространства произведения . Тензорное произведение функций действует как ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{\rho \otimes \tau :\ \rho \in R,\ \tau \in T\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle (\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y).}$

Пример

Мы можем построить раздел единства, взглянув на диаграмму дополнения точки, отправляемой в центр . Теперь пусть это функция рельефа , определяемая формулой ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle p\in S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}-\{p\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q\in S^{1}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right)&x\in (-1,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle 1-\Phi }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Phi (p)=0}$ ${\displaystyle \{(S^{1}-\{p\},\Phi ),(S^{1}-\{q\},1-\Phi )\}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Варианты определений

Иногда используется менее строгое определение: сумма всех значений функции в определенной точке должна быть положительной, а не 1 для каждой точки пространства. Однако, учитывая такой набор функций, можно получить разбиение единицы в строгом смысле путем деления на сумму; разбиение становится где , что хорошо определено, поскольку в каждой точке только конечное число членов ненулевые. Более того, некоторые авторы отказываются от требования локальной конечности носителей, требуя только этого для всех . ^[3] ${\displaystyle \{\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \{\sigma ^{-1}\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \sigma (x):=\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ ${\displaystyle x}$

В области операторных алгебр разбиение единицы состоит из проекторов ^[4] . В случае -алгебр можно показать, что элементы попарно ортогональны : ^[5] ${\displaystyle p_{i}=p_{i}^{*}=p_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$

$${\displaystyle p_{i}p_{j}=\delta _{i,j}p_{i}\qquad (p_{i},\,p_{j}\in R).}$$

*-алгебре. ^[6]

Если является нормальным элементом -алгебры с единицей и имеет конечный спектр , то проекции в спектральном разложении : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (a)=\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}\}}$

$${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,P_{i},}$$

^[7]

В области компактных квантовых групп строки и столбцы фундаментального представления квантовой группы перестановок образуют разделы единицы. ^[8] ${\displaystyle u\in M_{N}(C)}$ ${\displaystyle (C,u)}$

Приложения

Разделение единицы может использоваться для определения интеграла (относительно формы объема ) функции, определенной на многообразии: сначала определяется интеграл функции, носитель которой содержится в одном координатном участке многообразия; затем используется разбиение единицы для определения интеграла произвольной функции; наконец, показано, что определение не зависит от выбранного разбиения единицы.

Разбиение единицы можно использовать, чтобы показать существование римановой метрики на произвольном многообразии.

Метод наискорейшего спуска использует разбиение единицы для построения асимптотики интегралов.

Фильтр Линквица – Райли является примером практической реализации разделения единицы для разделения входного сигнала на два выходных сигнала, содержащих только высокочастотные или низкочастотные составляющие.

Полиномы Бернштейна фиксированной степени m представляют собой семейство из m +1 линейно независимых многочленов, которые являются разбиением единицы для единичного интервала . ${\displaystyle [0,1]}$

Разбиения единицы используются для установления глобальных гладких аппроксимаций функций Соболева в ограниченных областях. ^[9]

Смотрите также

• Гладкость § Гладкие разбиения единицы
• Аксиома склеивания
• Тонкий сноп

Рекомендации

1. Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 40. ИСБН 978-0-07-054234-1.
2. Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким К. (2007). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для автостопа (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. п. 716. ИСБН 978-3-540-32696-0.
3. Стрихарц, Роберт С. (2003). Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье. Сингапур: Всемирный научный паб. ISBN компании 981-238-421-9. OCLC  54446554.
4. Конвей, Джон Б. Курс функционального анализа (2-е изд.). Спрингер. п. 54. ИСБН 0-387-97245-5.
5. Фреслон, Амори (2023). Компактные матричные квантовые группы и их комбинаторика . Издательство Кембриджского университета.
6. Фриц, Тобиас. «Парная ортогональность разбиений единицы в *-алгебре». Mathoverflow . Проверено 7 февраля 2024 г.
7. Мерфи, Джерард Дж. (1990). C*-алгебры и теория операторов . Академическая пресса. п. 66. ИСБН 0-12-511360-9.
8. Баника, Тео (2023). Введение в квантовые группы . Спрингер. ISBN 978-3-031-23816-1.
9. Эванс, Лоуренс (02 марта 2010 г.), «Пространства Соболева», Уравнения в частных производных , Аспирантура по математике, том. 19, Американское математическое общество, стр. 253–309, номер документа : 10.1090/gsm/019/05, ISBN. 9780821849743

• Ту, Лоринг В. (2011), Введение в многообразия , Universitext (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN 978-1-4419-7399-3, см. главу 13

Внешние ссылки

• Общая информация о разделении единства в [Mathworld]