полином Бернштейна

Тип полинома, используемый в численном анализе

Полиномы Бернштейна, аппроксимирующие кривую

В математической области численного анализа полином Бернштейна — это полином, выраженный в виде линейной комбинации базисных полиномов Бернштейна. Идея названа в честь математика Сергея Натановича Бернштейна .

Полиномы в форме Бернштейна были впервые использованы Бернштейном в конструктивном доказательстве теоремы аппроксимации Вейерштрасса . С появлением компьютерной графики полиномы Бернштейна, ограниченные интервалом [0, 1], стали важными в форме кривых Безье .

Численно устойчивым способом оценки полиномов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжау .

Базисные полиномы Бернштейна для смешивания кривых 4-й степени

Определение

Базисные полиномы Бернштейна

n  +1 базисных полиномов Бернштейна степени n определяются как

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\mathrel {:} \mathrel {=} {\binom {n}{\nu }}x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n,}$

где - биномиальный коэффициент . ${\displaystyle {\tbinom {n}{\nu }}}$

Так, например, ${\displaystyle b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.}$

Первые несколько базисных полиномов Бернштейна для смешивания 1, 2, 3 или 4 значений:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}}$

Базисные полиномы Бернштейна степени n образуют базис векторного пространства полиномов степени не выше  n с действительными коэффициентами. ${\displaystyle \Pi _{n}}$

Полиномы Бернштейна

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

${\displaystyle B_{n}(x)\mathrel {:} \mathrel {=} \sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}$

называется полиномом Бернштейна или полиномом в форме Бернштейна степени  n . ^[1] Коэффициенты называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье . ${\displaystyle \beta _{\nu }}$

Первые несколько базисных полиномов Бернштейна, приведенных выше в мономиальной форме, следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-1x,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2},&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-1x^{3},&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3},&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}\end{aligned}}}$

Характеристики

Базисные полиномы Бернштейна обладают следующими свойствами:

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$, если или ${\displaystyle \nu <0}$ ${\displaystyle \nu >n.}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0}$для ${\displaystyle x\in [0,\ 1].}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}$и где находится дельта-функция Кронекера : ${\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$имеет корень с кратностью в точке (примечание: если , то корня в 0 нет). ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \nu =0}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$имеет корень с кратностью в точке (примечание: если , то корня в 1 нет). ${\displaystyle \left(n-\nu \right)}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \nu =n}$
• Производную можно записать в виде комбинации двух полиномов меньшей степени: $${\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).}$$
• k - я производная в точке 0: $${\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(0)={\frac {n!}{(n-k)!}}{\binom {k}{\nu }}(-1)^{\nu +k}.}$$
• k - я производная в точке 1: $${\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(1)=(-1)^{k}b_{n-\nu ,n}^{(k)}(0).}$$
• Преобразование многочлена Бернштейна в одночлены имеет вид , а с помощью обратного биномиального преобразования обратное преобразование имеет вид ^[2] $${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{n-\nu -k}x^{\nu +k}=\sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },}$$ $${\displaystyle x^{k}=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n-k}{i}}{\frac {1}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)={\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).}$$
• Неопределенный интеграл определяется как $${\displaystyle \int b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x).}$$
• Определенный интеграл постоянен для данного n : $${\displaystyle \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\quad \ \,{\text{for all }}\nu =0,1,\dots ,n.}$$
• Если , то имеет единственный локальный максимум на интервале при . Этот максимум принимает значение ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ ${\displaystyle [0,\,1]}$ ${\displaystyle x={\frac {\nu }{n}}}$ $${\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.}$$
• Базисные полиномы Бернштейна степени образуют разбиение единицы : ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.}$$
• Взяв первую производную от , считая ее константой, а затем подставив значение , можно показать, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=1-x}$ $${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx.}$$
• Аналогично вторая производная от , снова затем подставленная , показывает, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=1-x}$ $${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}.}$$
• Многочлен Бернштейна всегда можно записать в виде линейной комбинации многочленов более высокой степени: $${\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).}$$
• Разложение полиномов Чебышева первого рода по базису Бернштейна имеет вид ^[3] $${\displaystyle T_{n}(u)=(2n-1)!!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}}b_{k,n}(u).}$$

Аппроксимация непрерывных функций

Пусть ƒ — непрерывная функция на интервале [0, 1]. Рассмотрим полином Бернштейна

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

Можно показать, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f}$

равномерно на интервале [0, 1]. ^{[4] [1] [5] [6]}

Таким образом, полиномы Бернштейна предоставляют один из способов доказательства теоремы Вейерштрасса о том, что каждая непрерывная функция с действительными значениями на действительном интервале [ a ,  b ] может быть равномерно аппроксимирована полиномиальными функциями над  . ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Более общее утверждение для функции с непрерывной k ^-й производной имеет вид

${\displaystyle {\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,}$

где дополнительно

${\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)}$

является собственным значением B _n ; соответствующая собственная функция является полиномом степени  k .

Вероятностное доказательство

Это доказательство следует оригинальному доказательству Бернштейна 1912 года. ^[8] См. также Феллер (1966) или Коралов и Синай (2007). ^{[9] [5]}

Мотивация

Сначала мы дадим интуитивное представление об оригинальном доказательстве Бернштейна. Непрерывная функция на компактном интервале должна быть равномерно непрерывной. Таким образом, значение любой непрерывной функции может быть равномерно приближено ее значением на некоторой конечной сети точек в интервале. Это соображение делает теорему об аппроксимации интуитивно понятной, учитывая, что многочлены должны быть достаточно гибкими, чтобы соответствовать (или почти соответствовать) конечному числу пар . Чтобы сделать это, мы могли бы (1) построить функцию, близкую к на решетке, а затем (2) сгладить функцию вне решетки, чтобы сделать многочлен. ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle f}$

Вероятностное доказательство ниже просто предоставляет конструктивный метод создания полинома, который приблизительно равен на такой точечной решетке, учитывая, что «сглаживание» функции не всегда тривиально. Взятие ожидания случайной величины с простым распределением является распространенным способом сглаживания. Здесь мы пользуемся тем фактом, что полиномы Бернштейна выглядят как биномиальные ожидания. Мы разбиваем интервал на решетку из n дискретных значений. Затем, чтобы оценить любую f(x) , мы оцениваем f в одной из n точек решетки, близких к x , случайно выбранных биномиальным распределением. Ожидание этого метода аппроксимации является полиномиальным, так как оно является ожиданием функции биномиального RV. Доказательство ниже иллюстрирует, что это достигает равномерного приближения f . Суть доказательства заключается в том, чтобы (1) обосновать замену произвольной точки на биномиально выбранную точку решетки с помощью свойств концентрации биномиального распределения и (2) обосновать вывод из с помощью равномерной непрерывности. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\approx X}$ ${\displaystyle f(x)\approx f(X)}$

Доказательство Бернштейна

Предположим, что K — случайная величина , распределенная как число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью x успеха в каждом испытании; другими словами, K имеет биномиальное распределение с параметрами n и  x . Тогда у нас есть ожидаемое значение и ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {E}} \left[{\frac {K}{n}}\right]=x\ }$

${\displaystyle p(K)={n \choose K}x^{K}\left(1-x\right)^{n-K}=b_{K,n}(x)}$

По слабому закону больших чисел теории вероятностей ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0}$

для любого δ  > 0. Более того, это соотношение выполняется равномерно по x , что видно из его доказательства с помощью неравенства Чебышёва , принимая во внимание, что дисперсия 1 ⁄ n  K , равная 1 ⁄ n x (1− x ), ограничена сверху величиной 1 ⁄ (4 n ) независимо от x . 

Поскольку ƒ , будучи непрерывной на замкнутом ограниченном интервале, должна быть равномерно непрерывной на этом интервале, можно сделать вывод о следующем утверждении:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0}$

равномерно по x для каждого . Принимая во внимание, что ƒ ограничена (на заданном интервале), находим, что ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathcal {E}} \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0}$

равномерно по x . Чтобы обосновать это утверждение, мы используем распространенный метод в теории вероятностей для преобразования из близости по вероятности в близость по ожиданию. Один разбивает ожидание на две части, разделенные на основе того, или нет . В интервале, где разность не превышает ε , ожидание явно не может превышать ε . В другом интервале разность все еще не может превышать 2 M , где M — верхняя граница для | ƒ (x)| (поскольку равномерно непрерывные функции ограничены). Однако, согласно нашему утверждению о «близости по вероятности», этот интервал не может иметь вероятность больше ε . Таким образом, эта часть ожидания вносит не более 2 M раз в ε . Тогда общее ожидание не больше , которое можно сделать произвольно малым, выбрав малое ε . ${\displaystyle \left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|}$ ${\displaystyle \left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon +2M\epsilon }$

Наконец, можно заметить, что абсолютное значение разницы между ожиданиями никогда не превышает ожидание абсолютного значения разницы, следствие неравенства Холдера. Таким образом, используя указанное выше ожидание, мы видим, что (равномерно по x )

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\operatorname {\mathcal {E}} f\left({\frac {K}{n}}\right)-\operatorname {\mathcal {E}} f\left(x\right)\right|}\leq \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathcal {E}} \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0}$

Заметив, что наша случайность была по K, в то время как x является константой, ожидание f(x) просто равно f(x) . Но тогда мы показали, что сходится к f(x) . Тогда мы закончим, если является полиномом по x (индекс напоминает нам, что x управляет распределением K ). Действительно, это так: ${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {E}}_{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {E}}_{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {E}}_{x}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)}$

Равномерные скорости сходимости между функциями

В приведенном выше доказательстве напомним, что сходимость в каждом пределе, включающем f, зависит от равномерной непрерывности f , что подразумевает скорость сходимости, зависящую от модуля непрерывности f . Она также зависит от 'M', абсолютной границы функции, хотя это можно обойти, если ограничить и размер интервала. Таким образом, аппроксимация выполняется равномерно только по x для фиксированного f , но можно легко расширить доказательство для равномерной аппроксимации набора функций с помощью набора полиномов Бернштейна в контексте равностепенной непрерывности . ${\displaystyle \omega .}$ ${\displaystyle \omega }$

Элементарное доказательство

Вероятностное доказательство можно также перефразировать элементарным образом, используя базовые вероятностные идеи, но действуя путем прямой проверки: ^{[10] [6] [11] [12] [13]}

Могут быть проверены следующие личности:

1. ${\displaystyle \sum _{k}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1}$("вероятность")
2. ${\displaystyle \sum _{k}{k \over n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=x}$("иметь в виду")
3. ${\displaystyle \sum _{k}\left(x-{k \over n}\right)^{2}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}={x(1-x) \over n}.}$(«дисперсия»)

На самом деле, по биномиальной теореме

$${\displaystyle (1+t)^{n}=\sum _{k}{n \choose k}t^{k},}$$

и это уравнение можно применить дважды к . Тождества (1), (2) и (3) легко выводятся с помощью подстановки . ${\displaystyle t{\frac {d}{dt}}}$ ${\displaystyle t=x/(1-x)}$

В этих трех тождествах используйте указанную выше базисную полиномиальную нотацию

${\displaystyle b_{k,n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k},}$

и пусть

${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).}$

Таким образом, по тождеству (1)

${\displaystyle f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),}$

так что

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{k}|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

Так как f равномерно непрерывна, то при условии , существует такое , что всякий раз, когда . Более того, по непрерывности, . Но тогда ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(a)-f(b)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle |a-b|<\delta }$ ${\displaystyle M=\sup |f|<\infty }$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{|x-{k \over n}|<\delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x)+\sum _{|x-{k \over n}|\geq \delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

Первая сумма меньше ε. С другой стороны, по тождеству (3) выше, и поскольку , вторая сумма ограничена разами ${\displaystyle |x-k/n|\geq \delta }$ ${\displaystyle 2M}$

${\displaystyle \sum _{|x-k/n|\geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<{1 \over 4}\delta ^{-2}n^{-1}.}$

( Неравенство Чебышева )

Отсюда следует, что многочлены f _n стремятся к f равномерно.

Обобщения на более высокие измерения

Полиномы Бернштейна могут быть обобщены на k измерений – полученные полиномы имеют вид B _{i 1} ( x ₁ ) B _{i 2} ( x ₂ ) ... B _{i k} ( x _k ) . ^[1] В простейшем случае рассматриваются только произведения единичного интервала [0,1] ; но, используя аффинные преобразования прямой, полиномы Бернштейна могут быть определены также для произведений [ a ₁ , b ₁ ] × [ a ₂ , b ₂ ] × ... × [ a _k , b _k ] . Для непрерывной функции f на k -кратном произведении единичного интервала доказательство того, что f ( x ₁ , x ₂ , ... , x _k ) может быть равномерно приближено с помощью

${\displaystyle \sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f\left({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}}\right)x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}}$

является простым расширением доказательства Бернштейна в одном измерении. ^[14]

Смотрите также

• Полиномиальная интерполяция
• форма Ньютона
• Форма Лагранжа
• Биномиальный QMF (также известный как вейвлет Добеши )

Примечания

1. Лоренц 1953
2. Матар, Р. Дж. (2018). «Ортогональная базисная функция над единичной окружностью со свойством минимакса». Приложение B. arXiv : 1802.09518 [math.NA].
3. Рабабах, Абедаллах (2003). «Преобразование полиномиального базиса Чебышева-Бернштейна». Comp. Meth. Appl. Math . 3 (4): 608–622. doi : 10.2478/cmam-2003-0038 . S2CID  120938358.
4. Натансон (1964) стр. 6
5. Feller 1966
6. Beals 2004
7. Натансон (1964) стр. 3
8. Бернштейн 1912
9. Коралов, Л.; Синай, Ю. (2007). "«Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса»". Теория вероятностей и случайных процессов (2-е изд.). Springer. С. 29.
10. Лоренц 1953, стр. 5–6.
11. Голдберг 1964
12. Ахиезер 1956
13. Беркилл 1959
14. Хильдебрандт, TH ; Шёнберг, IJ (1933), «О линейных функциональных операциях и проблеме моментов для конечного интервала в одном или нескольких измерениях», Annals of Mathematics , 34 (2): 327, doi :10.2307/1968205, JSTOR  1968205

Ссылки

• Бернштейн, С. (1912), «Démonstration du theorème de Weierstrass Fondée Sur le Calcul des Probilités (Доказательство теоремы Вейерштрасса, основанное на исчислении вероятностей)» (PDF) , Comm. Харьковская математика. Соц. , 13 : 1–2, английский перевод
• Лоренц, ГГ (1953), Многочлены Бернштейна , Издательство Торонтского университета
• Ахиезер, Н.И. (1956), Теория приближения (на русском языке), перевод Чарльза Дж. Хаймана, Фредерика Унгара, стр. 30–31, русское издание впервые опубликовано в 1940 году
• Беркилл, Дж. К. (1959), Лекции по аппроксимации многочленами (PDF) , Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата , стр. 7–8
• Голдберг, Ричард Р. (1964), Методы реального анализа, John Wiley & Sons, стр. 263–265
• Caglar, Hakan; Akansu, Ali N. (июль 1993 г.). «Обобщенный параметрический метод проектирования PR-QMF на основе полиномиальной аппроксимации Бернштейна». IEEE Transactions on Signal Processing . 41 (7): 2314–2321. Bibcode : 1993ITSP...41.2314C. doi : 10.1109/78.224242. Zbl  0825.93863.
• Коровкин, ПП (2001) [1994], "Многочлены Бернштейна", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Натансон, И. П. (1964). Теория конструктивных функций. Том I: Равномерное приближение . Перевод Алексиса Н. Оболенского. Нью-Йорк: Frederick Ungar. MR  0196340. Zbl  0133.31101.
• Феллер, Уильям (1966), Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том II , John Wiley & Sons, стр. 149–150, 218–222
• Билс, Ричард (2004), Анализ. Введение , Cambridge University Press , стр. 95–98, ISBN 0521600472

Внешние ссылки

• Кац, Марк (1938). «Замечание о полиномах М. С. Бернштейна». Студия Математика . 7 : 49–51. дои : 10.4064/см-7-1-49-51 .
• Келиски, Ричард Пол; Ривлин, Теодор Джозеф (1967). «Итерации полиномов Бернштейна». Pacific Journal of Mathematics . 21 (3): 511. doi : 10.2140/pjm.1967.21.511 .
• Старк, Э.Л. (1981). «Полином Бернштейна, 1912-1955». В Батцере, Польша (ред.). ИСНМ60 . стр. 443–461. дои : 10.1007/978-3-0348-9369-5_40. ISBN 978-3-0348-9369-5.
• Петроне, Соня (1999). «Случайные полиномы Бернштейна». Scand. J. Stat . 26 (3): 373–393. doi :10.1111/1467-9469.00155. S2CID  122387975.
• Oruc, Halil; Phillips, George M. (1999). «Обобщение полиномов Бернштейна». Труды Эдинбургского математического общества . 42 (2): 403–413. doi : 10.1017/S0013091500020332 .
• Джой, Кеннет И. (2000). "Многочлены Бернштейна" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-02-20 . Получено 2009-02-28 .из Калифорнийского университета в Дэвисе . Обратите внимание на ошибку в пределах суммирования в первой формуле на странице 9.
• Идрис Бхатти, М.; Бракен, П. (2007). «Решения дифференциальных уравнений в полиномиальном базисе Бернштейна». J. Comput. Appl. Math . 205 (1): 272–280. Bibcode : 2007JCoAM.205..272I. doi : 10.1016/j.cam.2006.05.002 .
• Кассельман, Билл (2008). «От Безье до Бернстайна».Тематическая колонка Американского математического общества
• Acikgoz, Mehmet; Araci, Serkan (2010). "О производящей функции для полиномов Бернштейна". AIP Conf. Proc . Труды конференции AIP. 1281 (1): 1141. Bibcode : 2010AIPC.1281.1141A. doi : 10.1063/1.3497855.
• Doha, EH; Bhrawy, AH; Saker, MA (2011). «Интегралы полиномов Бернштейна: применение для решения дифференциальных уравнений высокого четного порядка». Appl. Math. Lett . 24 (4): 559–565. doi : 10.1016/j.aml.2010.11.013 .
• Фаруки, Рида Т. (2012). «Базис полиномов Бернштейна: ретроспектива столетия». Comp. Aid. Geom. Des . 29 (6): 379–419. doi :10.1016/j.cagd.2012.03.001.
• Чэнь, Сяоянь; Тан, Цзецин; Лю, Чжи; Се, Цзинь (2017). «Приближения функций новым семейством обобщенных операторов Бернштейна». J. Math. Ann. Applic . 450 : 244–261. doi : 10.1016/j.jmaa.2016.12.075 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Бернштейна». Математический мир .
• В данной статье использованы материалы из раздела «Свойства полинома Бернштейна» на сайте PlanetMath , лицензированном по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .