Неравенство Чебышева

Граница вероятности того, что случайная величина далека от своего среднего значения

В теории вероятностей неравенство Чебышева (также называемое неравенством Бьенеме–Чебышева ) определяет верхнюю границу вероятности отклонения случайной величины (с конечной дисперсией) от ее среднего значения. Более конкретно, вероятность того, что случайная величина отклонится от своего среднего значения более чем на , где — любая положительная константа, а — стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии). ${\displaystyle k\sigma }$ ${\displaystyle 1/k^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sigma }$

Правило часто называют теоремой Чебышева о диапазоне стандартных отклонений вокруг среднего в статистике. Неравенство имеет большую полезность, поскольку его можно применять к любому распределению вероятностей, в котором определены среднее значение и дисперсия. Например, его можно использовать для доказательства слабого закона больших чисел .

Его практическое использование похоже на правило 68–95–99,7 , которое применяется только к нормальным распределениям . Неравенство Чебышева является более общим, утверждая, что минимум 75% значений должны лежать в пределах двух стандартных отклонений от среднего значения и 88,89% в пределах трех стандартных отклонений для широкого диапазона различных распределений вероятностей . ^{[1] [2]}

Термин неравенство Чебышева может также относиться к неравенству Маркова , особенно в контексте анализа. Они тесно связаны, и некоторые авторы называют неравенство Маркова «Первым неравенством Чебышева», а похожее, упоминаемое на этой странице, — «Вторым неравенством Чебышева».

Неравенство Чебышева является строгим в том смысле, что для каждой выбранной положительной константы существует случайная величина, такая, что неравенство фактически является равенством. ^[3]

История

Теорема названа в честь русского математика Пафнутия Чебышева , хотя впервые ее сформулировал его друг и коллега Ирене-Жюль Бьенеме . ^{[4] : 98} Теорема была впервые доказана Бьенеме в 1853 году ^[5] и в более общем виде доказана Чебышевым в 1867 году. ^{[6] [7]} Его ученик Андрей Марков представил еще одно доказательство в своей докторской диссертации 1884 года. ^[8]

Заявление

Неравенство Чебышёва обычно формулируется для случайных величин , но его можно обобщить до утверждения о пространствах с мерой .

Вероятностное утверждение

Пусть X (интегрируемая) — случайная величина с конечной ненулевой дисперсией σ ² (и, следовательно, конечным ожидаемым значением μ ). ^[9] Тогда для любого действительного числа k > 0 ,

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

Полезен только случай , когда правая часть и неравенство тривиальны, так как все вероятности ≤ 1. ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle k\leq 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}\geq 1}$

Например, использование показывает, что вероятность значений, лежащих вне интервала, не превышает . Эквивалентно, это означает, что вероятность значений, лежащих внутри интервала (т.е. его «покрытие» ), составляет не менее . ${\displaystyle k={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Поскольку его можно применять к совершенно произвольным распределениям при условии, что они имеют известное конечное среднее значение и дисперсию, неравенство, как правило, дает плохую границу по сравнению с тем, что можно было бы вывести, если бы было известно больше аспектов рассматриваемого распределения.

Теоретико-мерное утверждение

Пусть ( X , Σ, μ) — пространство с мерой , а f — расширенная вещественнозначная измеримая функция, определенная на X. Тогда для любого вещественного числа t > 0 и 0 < p < ∞,

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{p}}\int _{X}|f|^{p}\,d\mu .}$

В более общем случае, если g — расширенная измеримая функция с действительными значениями, неотрицательная и неубывающая, то: ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle g(t)\neq 0}$

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}$

Это утверждение следует из неравенства Маркова , , при этом и , поскольку в этом случае . Предыдущее утверждение тогда следует из определения как если бы и в противном случае. ${\displaystyle \mu (\{x\in X:|F(x)|\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{X}|F|d\mu }$ ${\displaystyle F=g\circ f}$ ${\displaystyle \varepsilon =g(t)}$ ${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,g\circ f(x)\geq g(t)\})=\mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle |x|^{p}}$ ${\displaystyle x\geq t}$ ${\displaystyle 0}$

Пример

Предположим, мы случайным образом выбираем журнальную статью из источника со средним объемом 1000 слов на статью со стандартным отклонением 200 слов. Тогда мы можем сделать вывод, что вероятность того, что в ней будет от 600 до 1400 слов (т. е. в пределах стандартных отклонений от среднего), должна быть не менее 75%, поскольку вероятность оказаться за пределами этого диапазона, согласно неравенству Чебышева, не превышает 75%. Но если мы дополнительно знаем, что распределение является нормальным , мы можем сказать, что вероятность того, что количество слов будет между 770 и 1230, составляет 75% (что является еще более жесткой границей). ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle 1/k^{2}=1/4}$

Резкость границ

Как показано в примере выше, теорема обычно дает довольно свободные границы. Однако эти границы в общем случае (остающиеся верными для произвольных распределений) не могут быть улучшены. Границы точны для следующего примера: для любого k  ≥ 1,

${\displaystyle X={\begin{cases}-1,&{\text{with probability }}{\frac {1}{2k^{2}}}\\0,&{\text{with probability }}1-{\frac {1}{k^{2}}}\\1,&{\text{with probability }}{\frac {1}{2k^{2}}}\end{cases}}}$

Для этого распределения среднее значение μ = 0 и стандартное отклонение σ = ⁠1/к ⁠ , так что

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\Pr(|X|\geq 1)={\frac {1}{k^{2}}}.}$

Неравенство Чебышева является равенством именно для тех распределений, которые являются линейным преобразованием этого примера.

Доказательство

Неравенство Маркова утверждает, что для любой действительной случайной величины Y и любого положительного числа a имеем . Один из способов доказать неравенство Чебышева — применить неравенство Маркова к случайной величине с : ${\displaystyle \Pr(|Y|\geq a)\leq \mathbb {E} [|Y|]/a}$ ${\displaystyle Y=(X-\mu )^{2}}$ ${\displaystyle a=(k\sigma )^{2}}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\Pr((X-\mu )^{2}\geq k^{2}\sigma ^{2})\leq {\frac {\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]}{k^{2}\sigma ^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}\sigma ^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

Это также можно доказать напрямую, используя условное ожидание :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]\\[5pt]&=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}\mid k\sigma \leq |X-\mu |]\Pr[k\sigma \leq |X-\mu |]+\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}\mid k\sigma >|X-\mu |]\Pr[k\sigma >|X-\mu |]\\[5pt]&\geq (k\sigma )^{2}\Pr[k\sigma \leq |X-\mu |]+0\cdot \Pr[k\sigma >|X-\mu |]\\[5pt]&=k^{2}\sigma ^{2}\Pr[k\sigma \leq |X-\mu |]\end{aligned}}}$

Неравенство Чебышева получается тогда делением на k ² σ ² . Это доказательство также показывает, почему границы в типичных случаях довольно свободны: условное ожидание для события, где | X  −  μ | <  kσ, отбрасывается, а нижняя граница k ² σ ² для события | X  −  μ | ≥  kσ может быть весьма плохой.

Неравенство Чебышева можно получить и напрямую из простого сравнения площадей, исходя из представления ожидаемого значения как разности двух несобственных интегралов Римана ( последняя формула в определении ожидаемого значения для произвольных действительных случайных величин ). ^[10]

Расширения

Разработано несколько расширений неравенства Чебышева.

Неравенство Сельберга

Сельберг вывел обобщение на произвольные интервалы. ^[11] Предположим, что X — случайная величина со средним значением μ и дисперсией σ ² . Неравенство Сельберга утверждает ^[12], что если , ${\displaystyle \beta \geq \alpha \geq 0}$

${\displaystyle \Pr(X\in [\mu -\alpha ,\mu +\beta ])\geq {\begin{cases}{\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+\sigma ^{2}}}&{\text{if }}\alpha (\beta -\alpha )\geq 2\sigma ^{2}\\{\frac {4\alpha \beta -4\sigma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}&{\text{if }}2\alpha \beta \geq 2\sigma ^{2}\geq \alpha (\beta -\alpha )\\0&\sigma ^{2}\geq \alpha \beta \end{cases}}}$

При , это сводится к неравенству Чебышева. Известно, что это наилучшие возможные границы. ^[13] ${\displaystyle \alpha =\beta }$

Конечномерный вектор

Неравенство Чебышева естественным образом распространяется на многомерную ситуацию, где имеется n случайных величин X _i со средним значением μ _i и дисперсией σ _i ² . Тогда справедливо следующее неравенство.

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})^{2}\geq k^{2}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$

Это известно как неравенство Бирнбаума–Реймонда–Цукермана по имени авторов, которые доказали его для двух измерений. ^[14] Этот результат можно переписать в терминах векторов X = ( X ₁ , X ₂ , ...) со средним значением μ = ( μ ₁ , μ ₂ , ...) , стандартным отклонением σ = ( σ ₁ , σ ₂ , ...), в евклидовой норме || ⋅ || . ^[15]

${\displaystyle \Pr(\|X-\mu \|\geq k\|\sigma \|)\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

Можно также получить похожее бесконечномерное неравенство Чебышева . Второе связанное неравенство также было выведено Ченом. ^[16] Пусть n — размерность стохастического вектора X , а E( X ) — среднее значение X. Пусть S — ковариационная матрица , а k > 0. Тогда

${\displaystyle \Pr \left((X-\operatorname {E} (X))^{T}S^{-1}(X-\operatorname {E} (X))<k\right)\geq 1-{\frac {n}{k}}}$

где Y ^T — транспонированная матрица Y. Неравенство можно записать в терминах расстояния Махаланобиса как

${\displaystyle \Pr \left(d_{S}^{2}(X,\operatorname {E} (X))<k\right)\geq 1-{\frac {n}{k}}}$

где расстояние Махаланобиса на основе S определяется как

${\displaystyle d_{S}(x,y)={\sqrt {(x-y)^{T}S^{-1}(x-y)}}}$

Наварро ^[17] доказал, что эти границы являются точными, то есть они являются наилучшими возможными границами для тех областей, где мы знаем только среднее значение и ковариационную матрицу X.

Стеллато и др. ^[18] показали, что эту многомерную версию неравенства Чебышева можно легко вывести аналитически как частный случай неравенства Ванденберге и др. ^[19] , где граница вычисляется путем решения полуопределенной программы (SDP).

Известная корреляция

Если переменные независимы, это неравенство можно усилить. ^[20]

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}\leq k_{i}\right)\geq \prod _{i=1}^{n}\left(1-{\frac {1}{k_{i}^{2}}}\right)}$

Берге вывел неравенство для двух коррелированных переменных X ₁ , X ₂ . ^[21] Пусть ρ будет коэффициентом корреляции между X ₁ и X ₂ , а σ _i ² будет дисперсией X _i . Тогда

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{2}\left[{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}<k\right]\right)\geq 1-{\frac {1+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}{k^{2}}}.}$

Этот результат можно усилить, получив различные границы для двух случайных величин ^[22] и асимметричные границы, как в неравенстве Сельберга. ^[23]

Олкин и Пратт вывели неравенство для n коррелированных переменных. ^[24]

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}<k_{i}\right)\geq 1-{\frac {1}{n^{2}}}\left({\sqrt {u}}+{\sqrt {n-1}}{\sqrt {n\sum _{i}{\frac {1}{k_{i}^{2}}}-u}}\right)^{2}}$

где сумма берется по n переменным и

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{k_{i}^{2}}}+2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j<i}{\frac {\rho _{ij}}{k_{i}k_{j}}}}$

где ρ _ij — корреляция между X _i и X _j .

Неравенство Олкина и Пратта впоследствии было обобщено Годвином. ^[25]

Высшие моменты

Митценмахер и Упфал ^[26] отмечают, что, применяя неравенство Маркова к неотрицательной переменной , можно получить семейство хвостовых границ ${\displaystyle |X-\operatorname {E} (X)|^{n}}$

${\displaystyle \Pr \left(|X-\operatorname {E} (X)|\geq k\operatorname {E} (|X-\operatorname {E} (X)|^{n})^{\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {1}{k^{n}}},\qquad k>0,n\geq 2.}$

При n = 2 получаем неравенство Чебышева. При k ≥ 1, n > 4 и предположении, что n ^-й момент существует, эта граница точнее, чем неравенство Чебышева. ^{[ необходима цитата ]} Эта стратегия, называемая методом моментов , часто используется для доказательства хвостовых границ.

Экспоненциальный момент

Родственное неравенство, иногда называемое показательным неравенством Чебышева ^[27], — это неравенство

${\displaystyle \Pr(X\geq \varepsilon )\leq e^{-t\varepsilon }\operatorname {E} \left(e^{tX}\right),\qquad t>0.}$

Пусть K ( t ) будет кумулянтной производящей функцией ,

${\displaystyle K(t)=\log \left(\operatorname {E} \left(e^{tx}\right)\right).}$

Принимая преобразование Лежандра–Фенхеля ^{[ необходимо разъяснение ]} для K ( t ) и используя показательное неравенство Чебышева, имеем

${\displaystyle -\log(\Pr(X\geq \varepsilon ))\geq \sup _{t}(t\varepsilon -K(t)).}$

Это неравенство можно использовать для получения экспоненциальных неравенств для неограниченных переменных. ^[28]

Ограниченные переменные

Если P( x ) имеет конечную поддержку, основанную на интервале [ a , b ] , пусть M = max(| a |, | b |), где | x | — абсолютное значение x . Если среднее значение P( x ) равно нулю, то для всех k > 0 ^[29]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})-k^{r}}{M^{r}}}\leq \Pr(|X|\geq k)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})}{k^{r}}}.}$

Второе из этих неравенств при r = 2 — это граница Чебышева. Первое дает нижнюю границу для значения P( x ).

Конечные образцы

Одномерный случай

Со и др. распространили неравенство Чебышева на случаи, когда среднее значение и дисперсия генеральной совокупности неизвестны и могут не существовать, но среднее значение выборки и стандартное отклонение выборки из N выборок должны использоваться для ограничения ожидаемого значения нового выбора из того же распределения. ^[30] Следующая более простая версия этого неравенства представлена ​​Кабан. ^[31]

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{N+1}}\left\lfloor {\frac {N+1}{N}}\left({\frac {N-1}{k^{2}}}+1\right)\right\rfloor }$

где X — случайная величина, которую мы выбирали N раз, m — выборочное среднее, k — константа, а s — стандартное отклонение выборки.

Это неравенство сохраняется даже тогда, когда моменты популяции не существуют, и когда выборка распределена лишь слабо обменно ; этот критерий выполняется для рандомизированной выборки. Таблица значений для неравенства Соу–Янга–Мо для выборок конечных размеров ( N < 100) была определена Конейном. ^[32] Таблица позволяет вычислять различные доверительные интервалы для среднего значения на основе кратных, C, стандартной ошибки среднего значения, вычисленной по выборке. Например, Конейн показывает, что для N  = 59, 95-процентный доверительный интервал для среднего значения m равен ( m − Cs , m + Cs ) , где C = 4,447 × 1,006 = 4,47 (это в 2,28 раза больше значения, найденного при предположении нормальности, показывающем потерю точности в результате незнания точной природы распределения).

Эквивалентное неравенство можно вывести в терминах выборочного среднего значения, ^[31]

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq km)\leq {\frac {N-1}{N}}{\frac {1}{k^{2}}}{\frac {s^{2}}{m^{2}}}+{\frac {1}{N}}.}$

Таблица значений неравенства Соу–Янга–Мо для выборок конечных размеров ( N < 100) была определена Конейном. ^[32]

Для фиксированного N и больших m неравенство Со–Янга–Мо приблизительно равно ^[33]

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{N+1}}.}$

Бисли и др. предложили модификацию этого неравенства ^[33]

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{k^{2}(N+1)}}.}$

В эмпирическом тестировании эта модификация консервативна, но, по-видимому, имеет низкую статистическую мощность. Ее теоретическая основа в настоящее время остается неизученной.

Зависимость от размера выборки

Границы, которые эти неравенства дают для конечной выборки, менее узкие, чем те, которые неравенство Чебышева дает для распределения. Чтобы проиллюстрировать это, пусть размер выборки N = 100 и пусть k = 3. Неравенство Чебышева утверждает, что не более примерно 11,11% распределения будет лежать не менее чем на три стандартных отклонения от среднего значения. Версия неравенства Кабана для конечной выборки утверждает, что не более примерно 12,05% выборки лежит за этими пределами. Зависимость доверительных интервалов от размера выборки дополнительно проиллюстрирована ниже.

Для N = 10 95% доверительный интервал составляет приблизительно ±13,5789 стандартных отклонений.

Для N = 100 95% доверительный интервал составляет приблизительно ±4,9595 стандартных отклонений; 99% доверительный интервал составляет приблизительно ±140,0 стандартных отклонений.

Для N = 500 95% доверительный интервал составляет приблизительно ±4,5574 стандартных отклонений; 99% доверительный интервал составляет приблизительно ±11,1620 стандартных отклонений.

Для N = 1000 95% и 99% доверительные интервалы составляют приблизительно ±4,5141 и приблизительно ±10,5330 стандартных отклонений соответственно.

Неравенство Чебышева для распределения дает 95% и 99% доверительные интервалы приблизительно ±4,472 стандартных отклонений и ±10 стандартных отклонений соответственно.

Неравенство Самуэльсона

Хотя неравенство Чебышева является наилучшей возможной границей для произвольного распределения, это не обязательно верно для конечных выборок. Неравенство Самуэльсона утверждает, что все значения выборки должны лежать в пределах √ N  − 1 выборочных стандартных отклонений среднего.

Для сравнения, неравенство Чебышева утверждает, что все, кроме 1/N доли выборки, будут лежать в пределах √ N стандартных отклонений среднего значения. Поскольку имеется N выборок, это означает, что ни одна выборка не будет лежать за пределами √ N стандартных отклонений среднего значения, что хуже неравенства Самуэльсона. Однако преимущество неравенства Чебышева заключается в том, что его можно применять более широко, чтобы получить доверительные границы для диапазонов стандартных отклонений, которые не зависят от числа выборок.

Полувариантности

Альтернативный метод получения более точных границ заключается в использовании полудисперсий (частичных дисперсий). Верхняя ( σ ₊ ² ) и нижняя ( σ ₋ ² ) полудисперсии определяются как

${\displaystyle \sigma _{+}^{2}={\frac {\sum _{x>m}(x-m)^{2}}{n-1}},}$

${\displaystyle \sigma _{-}^{2}={\frac {\sum _{x<m}(m-x)^{2}}{n-1}},}$

где m — среднее арифметическое выборки, n — количество элементов в выборке.

Дисперсия выборки представляет собой сумму двух полудисперсий:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{+}^{2}+\sigma _{-}^{2}.}$

В терминах нижней полувариантности неравенство Чебышева можно записать ^[34]

${\displaystyle \Pr(x\leq m-a\sigma _{-})\leq {\frac {1}{a^{2}}}.}$

Помещение

${\displaystyle a={\frac {k\sigma }{\sigma _{-}}}.}$

Неравенство Чебышева теперь можно записать

${\displaystyle \Pr(x\leq m-k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\sigma _{-}^{2}}{\sigma ^{2}}}.}$

Аналогичный результат можно получить и для верхней полудисперсии.

Если мы положим

${\displaystyle \sigma _{u}^{2}=\max(\sigma _{-}^{2},\sigma _{+}^{2}),}$

Неравенство Чебышева можно записать

${\displaystyle \Pr(|x\leq m-k\sigma |)\leq {\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\sigma _{u}^{2}}{\sigma ^{2}}}.}$

Поскольку σ _u ² ≤ σ ² , использование полудисперсии уточняет исходное неравенство.

Если известно, что распределение симметрично, то

${\displaystyle \sigma _{+}^{2}=\sigma _{-}^{2}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$

и

${\displaystyle \Pr(x\leq m-k\sigma )\leq {\frac {1}{2k^{2}}}.}$

Этот результат согласуется с результатом, полученным с использованием стандартизированных переменных.

Примечание

Было обнаружено, что неравенство с более низкой полудисперсией может быть полезным при оценке риска убытков в финансах и сельском хозяйстве. ^{[34] [35] [36]}

Многомерный случай

Stellato et al. ^[18] упростили обозначения и распространили эмпирическое неравенство Чебышева из Saw et al. ^[30] на многомерный случай. Пусть будет случайной величиной и пусть . Мы берем выборки iid из обозначенных как . Основываясь на первых выборках, мы определяем эмпирическое среднее как и несмещенную эмпирическую ковариацию как . Если невырожденная, то для всех тогда ${\textstyle \xi \in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$ ${\textstyle N\in \mathbb {Z} _{\geq n_{\xi }}}$ ${\textstyle N+1}$ ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle \xi ^{(1)},\dots ,\xi ^{(N)},\xi ^{(N+1)}\in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle \mu _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\xi ^{(i)}}$ ${\textstyle \Sigma _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\xi ^{(i)}-\mu _{N})(\xi ^{(i)}-\mu _{N})^{\top }}$ ${\displaystyle \Sigma _{N}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&P^{N+1}\left((\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})^{\top }\Sigma _{N}^{-1}(\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})\geq \lambda ^{2}\right)\\[8pt]\leq {}&\min \left\{1,{\frac {1}{N+1}}\left\lfloor {\frac {n_{\xi }(N+1)(N^{2}-1+N\lambda ^{2})}{N^{2}\lambda ^{2}}}\right\rfloor \right\}.\end{aligned}}}$

Замечания

В одномерном случае, т.е. , это неравенство соответствует неравенству из работы Со и др. ^[30]. Более того, правую часть можно упростить, ограничив сверху функцию пола ее аргументом ${\textstyle n_{\xi }=1}$

${\displaystyle P^{N+1}\left((\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})^{\top }\Sigma _{N}^{-1}(\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})\geq \lambda ^{2}\right)\leq \min \left\{1,{\frac {n_{\xi }(N^{2}-1+N\lambda ^{2})}{N^{2}\lambda ^{2}}}\right\}.}$

При правая часть стремится к что соответствует многомерному неравенству Чебышева для эллипсоидов, имеющих форму и центрированных в . ${\textstyle N\to \infty }$ ${\textstyle \min \left\{1,{\frac {n_{\xi }}{\lambda ^{2}}}\right\}}$ ${\textstyle \Sigma }$ ${\textstyle \mu }$

Заостренные границы

Неравенство Чебышева важно из-за его применимости к любому распределению. В результате своей общности оно может не давать (и обычно не даёт) такой же точной границы, как альтернативные методы, которые можно использовать, если распределение случайной величины известно. Для улучшения точности границ, предоставляемых неравенством Чебышева, был разработан ряд методов; для обзора см., например, ^{[12] [37]}

Неравенство Кантелли

Неравенство Кантелли ^[38], принадлежащее Франческо Паоло Кантелли, утверждает ^, что для действительной случайной величины ( X ) со средним значением ( μ ) и дисперсией ( σ2 )

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq a)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+a^{2}}}}$

где а ≥ 0.

Это неравенство можно использовать для доказательства одностороннего варианта неравенства Чебышева при k > 0 ^[39]

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.}$

Известно, что граница одностороннего варианта является острой. Чтобы увидеть это, рассмотрим случайную величину X , которая принимает значения

${\displaystyle X=1}$с вероятностью ${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{1+\sigma ^{2}}}}$

${\displaystyle X=-\sigma ^{2}}$с вероятностью ${\displaystyle {\frac {1}{1+\sigma ^{2}}}.}$

Тогда E( X ) = 0 и E( X ² ) = σ ² и P( X < 1) = 1 / (1 + σ ² ).

Приложение: расстояние между средним значением и медианой

Односторонний вариант можно использовать для доказательства предложения о том, что для распределений вероятностей, имеющих ожидаемое значение и медиану , среднее значение и медиана никогда не могут отличаться друг от друга более чем на одно стандартное отклонение . Чтобы выразить это в символах, пусть μ , ν и σ будут соответственно средним значением, медианой и стандартным отклонением. Тогда

${\displaystyle \left|\mu -\nu \right|\leq \sigma .}$

Нет необходимости предполагать, что дисперсия конечна, поскольку это неравенство тривиально верно, если дисперсия бесконечна.

Доказательство следующее. Полагая k  = 1 в утверждении для одностороннего неравенства, получаем:

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq \sigma )\leq {\frac {1}{2}}\implies \Pr(X\geq \mu +\sigma )\leq {\frac {1}{2}}.}$

Меняя знак X и μ , получаем

${\displaystyle \Pr(X\leq \mu -\sigma )\leq {\frac {1}{2}}.}$

Поскольку медианой по определению является любое действительное число  m, удовлетворяющее неравенствам

${\displaystyle \Pr(X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ and }}\Pr(X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}}$

это означает, что медиана лежит в пределах одного стандартного отклонения от среднего. Доказательство с использованием неравенства Йенсена также существует .

Неравенство Бхаттачарьи

Бхаттачарья ^[40] расширил неравенство Кантелли, используя третий и четвертый моменты распределения.

Пусть и — дисперсия. Пусть и . ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma =E[X^{3}]/\sigma ^{3}}$ ${\displaystyle \kappa =E[X^{4}]/\sigma ^{4}}$

Если тогда ${\displaystyle k^{2}-k\gamma -1>0}$

${\displaystyle \Pr(X>k\sigma )\leq {\frac {\kappa -\gamma ^{2}-1}{(\kappa -\gamma ^{2}-1)(1+k^{2})+(k^{2}-k\gamma -1)}}.}$

Необходимость может потребовать быть разумно большой. ${\displaystyle k^{2}-k\gamma -1>0}$ ${\displaystyle k}$

В случае, если это упрощается ${\displaystyle E[X^{3}]=0}$

${\displaystyle \Pr(X>k\sigma )\leq {\frac {\kappa -1}{\kappa \left(k^{2}+1\right)-2}}\quad {\text{for }}k>1.}$

Поскольку для близкого к 1 значения эта граница немного улучшается по сравнению с границей Кантелли, так как . ${\displaystyle {\frac {\kappa -1}{\kappa \left(k^{2}+1\right)-2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\kappa (k-1)}{2(\kappa -1)}}+O\left((k-1)^{2}\right)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {k-1}{2}}+O\left((k-1)^{2}\right)}$ ${\displaystyle \kappa >1}$

выигрывает в 2 раза по сравнению с неравенством Чебышева.

Неравенство Гаусса

В 1823 году Гаусс показал, что для распределения с единственной модой в нуле ^[41]

${\displaystyle \Pr(|X|\geq k)\leq {\frac {4\operatorname {E} (X^{2})}{9k^{2}}}\quad {\text{if}}\quad k^{2}\geq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}),}$

${\displaystyle \Pr(|X|\geq k)\leq 1-{\frac {k}{{\sqrt {3}}\operatorname {E} (X^{2})}}\quad {\text{if}}\quad k^{2}\leq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}).}$

Неравенство Высочанского–Петунина.

Неравенство Высочанского–Петунина обобщает неравенство Гаусса, которое справедливо только для отклонения от моды унимодального распределения, на отклонение от среднего значения или, в более общем случае, любого центра. ^[42] Если X — унимодальное распределение со средним значением μ и дисперсией σ ² , то неравенство утверждает, что

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {4}{9k^{2}}}\quad {\text{if}}\quad k\geq {\sqrt {8/3}}=1.633.}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {4}{3k^{2}}}-{\frac {1}{3}}\quad {\text{if}}\quad k\leq {\sqrt {8/3}}.}$

Для симметричных унимодальных распределений медиана и мода равны, поэтому неравенство Высочанского–Петунина и неравенство Гаусса применяются к одному и тому же центру. Кроме того, для симметричных распределений односторонние границы могут быть получены, если заметить, что

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )=\Pr(X-\mu \leq -k\sigma )={\frac {1}{2}}\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma ).}$

Дополнительная доля присутствует в этих хвостовых границах, что приводит к лучшим доверительным интервалам, чем неравенство Чебышева. Например, для любого симметричного унимодального распределения неравенство Высочанского–Петунина утверждает, что 4/(9 x 3^2) = 4/81 ≈ 4,9% распределения лежит за пределами 3 стандартных отклонений моды. ${\displaystyle 4/9}$

Границы для конкретных распределений

ДасГупта показал, что если известно, что распределение является нормальным ^[43]

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{3k^{2}}}.}$

Из неравенства ДасГупты следует, что для нормального распределения по крайней мере 95% лежит в пределах приблизительно 2,582 стандартных отклонений от среднего значения. Это менее резко, чем истинная цифра (приблизительно 1,96 стандартных отклонений от среднего значения).

• ДасГупта определил набор наилучших возможных границ для нормального распределения для этого неравенства. ^[43]
• Стелига и Синал расширили эти границы до распределения Парето . ^[44]
• Гречук и др. разработали общий метод для вывода наилучших возможных границ в неравенстве Чебышева для любого семейства распределений и любой меры риска отклонения вместо стандартного отклонения. В частности, они вывели неравенство Чебышева для распределений с логарифмически вогнутыми плотностями. ^[45]

Связанные неравенства

Известно также несколько других родственных неравенств.

Неравенство Пэли–Зигмунда

Неравенство Пэли–Зигмунда дает нижнюю границу для вероятностей хвоста, в отличие от неравенства Чебышева, которое дает верхнюю границу. ^[46] Применяя его к квадрату случайной величины, получаем

${\displaystyle \Pr(|Z|>\theta {\sqrt {E[Z^{2}]}})\geq {\frac {(1-\theta ^{2})^{2}E[Z^{2}]^{2}}{E[Z^{4}]}}.}$

Преобразование Холдейна

Одним из применений неравенства Чебышева в приложениях является создание доверительных интервалов для переменных с неизвестным распределением. Холдейн отметил ^[47] , используя уравнение, выведенное Кендаллом [ ^48] , что если переменная ( x ) имеет нулевое среднее, единичную дисперсию и как конечную асимметрию ( γ ), так и эксцесс ( κ ), то переменную можно преобразовать в нормально распределенную стандартную оценку ( z ):

${\displaystyle z=x-{\frac {\gamma }{6}}(x^{2}-1)+{\frac {x}{72}}[2\gamma ^{2}(4x^{2}-7)-3\kappa (x^{2}-3)]+\cdots }$

Это преобразование может быть полезным как альтернатива неравенству Чебышева или как дополнение к нему для вывода доверительных интервалов для переменных с неизвестными распределениями.

Хотя это преобразование может быть полезным для умеренно асимметричных и/или эксцессивных распределений, оно плохо работает, когда распределение заметно асимметрично и/или эксцессивно.

Хэ, Чжан и неравенство Чжана

Для любого набора из n неотрицательных независимых случайных величин X _i с ожиданием 1 ^[49]

${\displaystyle \Pr \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{n}}-1\geq {\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {7}{8}}.}$

Интегральное неравенство Чебышева

Существует второе (менее известное) неравенство, также названное в честь Чебышева ^[50]

Если f , g  : [ a , b ] → R — две монотонные функции одинаковой монотонности, то

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)g(x)\,dx\geq \left[{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\right]\left[{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!g(x)\,dx\right].}$

Если f и g имеют противоположную монотонность, то приведенное выше неравенство работает в обратном направлении.

Это неравенство связано с неравенством Йенсена ^[51] , неравенством Канторовича ^[52] , неравенством Эрмита –Адамара ^[52] и гипотезой Вальтера ^{[53] .}

Другие неравенства

С Чебышёвым связан и ряд других неравенств:

• Неравенство суммы Чебышева
• Неравенства Чебышева–Маркова–Стилтьеса

Примечания

Агентство по охране окружающей среды предложило наилучшую практику использования неравенства Чебышева для оценки доверительных интервалов. ^[54]

Смотрите также

• Многомерное неравенство Чебышева
• Неравенство концентрации – сводка хвостовых границ случайных величин.
• Расширение Корниш-Фишера
• Неравенство Итона
• Неравенство Колмогорова
• Доказательство слабого закона больших чисел с использованием неравенства Чебышева
• Теорема Ле Кама
• Неравенство Пэли–Зигмунда
• Неравенство Высочанского–Петунина — более сильный результат, применимый к унимодальным распределениям вероятностей
• Неравенство Ленгларта

Ссылки

1. Кванли, Алан Х.; Павур, Роберт Дж.; Килинг, Келли Б. (2006). Краткая управленческая статистика. cEngage Learning . стр. 81–82. ISBN 978-0-324-22388-0.
2. Черник, Майкл Р. (2011). Основы биостатистики для врачей, медсестер и клиницистов. John Wiley & Sons . С. 49–50. ISBN 978-0-470-64185-9.
3. "Ошибочный член неравенства Чебышева?". Mathematics Stack Exchange . Получено 2023-12-11 .
4. Кнут, Дональд (1997). Искусство программирования: фундаментальные алгоритмы, том 1 (3-е изд.). Рединг, Массачусетс: Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-89683-1. Архивировано из оригинала 26 февраля 2009 . Получено 1 октября 2012 .
5. Бьенеме, И.-Ж. (1853). «Соображения по поводу открытия Лапласа». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 37 : 309–324.
6. Чебишев, П. (1867). «Des valeurs moyennes». Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . 2. 12 : 177–184.
7. Рутледж, Ричард. Неравенство Чебышева. Энциклопедия Британника.
8. Марков А. (1884) О некоторых приложениях алгебраических цепных дробей, докторская диссертация, Санкт-Петербург
9. Феллер, В., 1968. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. стр. 227 (Wiley, Нью-Йорк).
10. Уль, Роланд (2023). Charakterisierung des Erwartungswertes am Graphen der Verteilungsfunktion [ Характеристика ожидаемого значения на графике кумулятивной функции распределения ] (PDF) . Высшая техническая школа Бранденбурга. дои : 10.25933/opus4-2986 .стр. 5.
11. Сельберг, Хенрик Л. (1940). «Zwei Ungleichungen zur Ergänzung des Tchebycheffschen Lemmas» [Два неравенства, дополняющие лемму Чебышева]. Skandinavisk Aktuarietidskrift (Скандинавский актуарный журнал) (на немецком языке). 1940 (3–4): 121–125. дои : 10.1080/03461238.1940.10404804. ISSN  0346-1238. ОСЛК  610399869.
12. Godwin, HJ (сентябрь 1955 г.). «Об обобщениях неравенства Чебышева». Журнал Американской статистической ассоциации . 50 (271): 923–945. doi :10.1080/01621459.1955.10501978. ISSN  0162-1459.
13. Конлон, Дж.; Дула, Дж. Х. "Геометрический вывод и интерпретация неравенства Чебышева" (PDF) . Получено 2 октября 2012 г.
14. Бирнбаум, З. В.; Рэймонд, Дж.; Цукерман, Х. С. (1947). «Обобщение неравенства Тшебышева на два измерения». Анналы математической статистики . 18 (1): 70–79. doi : 10.1214/aoms/1177730493 . ISSN  0003-4851. MR  0019849. Zbl  0032.03402 . Получено 7 октября 2012 г.
15. Ферентинос, К. (1982). «О неравенствах типа Чебышева». Trabajos Estadıst Investigacion Oper . 33 : 125–132. дои : 10.1007/BF02888707. S2CID  123762564.
16. Синьцзя Чен (2007). «Новое обобщение неравенства Чебышева для случайных векторов». arXiv : 0707.0805v2 [math.ST].
17. Хорхе Наварро (2014). «Можно ли достичь границ в многомерном неравенстве Чебышева?». Statistics and Probability Letters . 91 : 1–5. doi :10.1016/j.spl.2014.03.028.
18. Stellato, Bartolomeo; Parys, Bart PG Van; Goulart, Paul J. (2016-05-31). «Многомерное неравенство Чебышёва с оценкой среднего значения и дисперсии». The American Statistician . 71 (2): 123–127. arXiv : 1509.08398 . doi : 10.1080/00031305.2016.1186559. ISSN  0003-1305. S2CID  53407286.
19. Ванденберг, Л.; Бойд, С.; Команор, К. (2007-01-01). «Обобщенные границы Чебышева с помощью полуопределенного программирования». Обзор SIAM . 49 (1): 52–64. Bibcode : 2007SIAMR..49...52V. CiteSeerX 10.1.1.126.9105 . doi : 10.1137/S0036144504440543. ISSN  0036-1445. 
20. Kotz, Samuel ; Balakrishnan, N.; Johnson, Norman L. (2000). Непрерывные многомерные распределения, том 1, Модели и приложения (2-е изд.). Boston [ua]: Houghton Mifflin. ISBN 978-0-471-18387-7. Получено 7 октября 2012 г.
21. Берге, PO (1938). «Заметка о форме теоремы Чебышева для двух переменных». Biometrika . 29 (3/4): 405–406. doi :10.2307/2332015. JSTOR  2332015.
22. Лал ДН (1955) Заметка о форме неравенства Чебышева для двух или более переменных. Санкхья 15(3):317–320
23. Исии К. (1959) О методе обобщения неравенства Чебышева. Ann Inst Stat Math 10: 65–88
24. Олкин, Ингрэм ; Пратт, Джон У. (1958). «Многомерное неравенство Чебышева». Анналы математической статистики . 29 (1): 226–234. doi : 10.1214/aoms/1177706720 . MR  0093865. Zbl  0085.35204.
25. Годвин Х. Дж. (1964) Неравенства для функций распределения. Нью-Йорк, Hafner Pub. Co.
26. Митценмахер, Майкл ; Упфал, Эли (январь 2005 г.). Вероятность и вычисления: рандомизированные алгоритмы и вероятностный анализ (переиздание). Кембридж [ua]: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-83540-4. Получено 6 октября 2012 г.
27. Раздел 2.1 Архивировано 30 апреля 2015 г. на Wayback Machine.
28. Baranoski, Gladimir VG; Rokne, Jon G.; Xu, Guangwu (15 мая 2001 г.). «Применение экспоненциального неравенства Чебышева к недетерминированному вычислению форм-факторов». Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 69 (4): 199–200. Bibcode : 2001JQSRT..69..447B. doi : 10.1016/S0022-4073(00)00095-9.(ссылки на эту статью исправлены Baranoski, Gladimir VG; Rokne, Jon G.; Guangwu Xu (15 января 2002 г.). "Исправление к: 'Применение экспоненциального неравенства Чебышева к недетерминированному вычислению форм-факторов'". Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 72 (2): 199–200. Bibcode :2002JQSRT..72..199B. doi : 10.1016/S0022-4073(01)00171-6 .)
29. Дюфур (2003) Свойства моментов случайных величин
30. Saw, John G.; Yang, Mark CK; Mo, Tse Chin (1984). «Неравенство Чебышева с оценкой среднего и дисперсии». The American Statistician . 38 (2): 130–2. doi :10.2307/2683249. ISSN  0003-1305. JSTOR  2683249.
31. Kabán, Ata (2012). «Непараметрическое обнаружение бессмысленных расстояний в многомерных данных». Статистика и вычисления . 22 (2): 375–85. doi :10.1007/s11222-011-9229-0. S2CID  6018114.
32. Konijn, Hendrik S. (февраль 1987 г.). «Интервалы без распределения и другие интервалы прогнозирования». The American Statistician . 41 (1): 11–15. doi :10.2307/2684311. JSTOR  2684311.
33. Beasley, T. Mark; Page, Grier P.; Brand, Jaap PL; Gadbury, Gary L.; Mountz, John D.; Allison, David B. (январь 2004 г.). «Неравенство Чебышева для непараметрического тестирования с малыми N и α в исследованиях микрочипов». Журнал Королевского статистического общества . C (Прикладная статистика). 53 (1): 95–108. doi : 10.1111/j.1467-9876.2004.00428.x . ISSN  1467-9876. S2CID  122678278.
34. Berck, Peter ; Hihn, Jairus M. (май 1982 г.). «Использование полувариантности для оценки правил безопасности в первую очередь». American Journal of Agricultural Economics . 64 (2): 298–300. doi :10.2307/1241139. ISSN  0002-9092. JSTOR  1241139.
35. Нантелл, Тимоти Дж.; Прайс, Барбара (июнь 1979 г.). «Аналитическое сравнение теорий дисперсионного и полувариантного рынка капитала». Журнал финансового и количественного анализа . 14 (2): 221–42. doi :10.2307/2330500. JSTOR  2330500. S2CID  154652959.
36. Нив, Эдвин Х.; Росс, Майкл Н.; Янг, Джун (2009). «Отличие потенциала роста от риска падения». Новости исследований управления . 32 (1): 26–36. doi :10.1108/01409170910922005. ISSN  0140-9174.
37. Сэвидж, И. Ричард. "Вероятностные неравенства типа Чебышева". Журнал исследований Национального бюро стандартов-Б. Математика и математическая физика Б 65 (1961): 211-222
38. Кантелли Ф. (1910) Intorno ad un teorema Fondamentale della Teoria del Rischio. Bolletino dell Associazione degli Attuari Italiani
39. Гримметт и Стирзакер, задача 7.11.9. Несколько доказательств этого результата можно найти в книге «Неравенства Чебышева», заархивированной 24 февраля 2019 г. на Wayback Machine А. Г. Макдауэллом.
40. Бхаттачарья, ББ (1987). «Одностороннее неравенство Чебышева, когда известны первые четыре момента». Communications in Statistics – Theory and Methods . 16 (9): 2789–91. doi :10.1080/03610928708829540. ISSN  0361-0926.
41. Gauss CF Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae. Pars Prior. Pars Posterior. Supplementum. Теория комбинации наблюдений, наименее подверженных ошибкам. Часть первая. Часть вторая. Дополнение. 1995. Перевод GW Stewart. Классика прикладной математики, Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия
42. Пукельсхайм, Фридрих (май 1994 г.). «Правило трех сигм». The American Statistician . 48 (2): 88–91. doi :10.1080/00031305.1994.10476030. ISSN  0003-1305. S2CID  122587510.
43. DasGupta, A (2000). "Лучшие константы в неравенствах Чебышева с различными приложениями". Метрика . 5 (1): 185–200. doi :10.1007/s184-000-8316-9. S2CID  121436601.
44. Стелига, Катажина; Шинал, Доминик (2010). "О неравенствах типа Маркова" (PDF) . Международный журнал чистой и прикладной математики . 58 (2): 137–152. ISSN  1311-8080 . Получено 10 октября 2012 г.
45. Гречук, Б., Молибога, А., Забаранкин, М. (2010). Неравенства Чебышева с законами инвариантных мер отклонения, Вероятность в инженерных и информационных науках, 24(1), 145-170.
46. Годвин Х.Дж. (1964) Неравенства функций распределения. (Глава 3) Нью-Йорк, Hafner Pub. Co.
47. Холдейн, Дж. Б. (1952). «Простые тесты на бимодальность и битангенциальность». Annals of Eugenics . 16 (4): 359–364. doi :10.1111/j.1469-1809.1951.tb02488.x. PMID  14953132.
48. Кендалл МГ (1943) Продвинутая теория статистики, 1. Лондон
49. Хэ, Симай; Чжан, Цзявэй; Чжан, Шучжун (2010). «Ограничение вероятности малого отклонения: подход четвертого момента». Математика исследования операций . 35 (1): 208–232. doi :10.1287/moor.1090.0438. S2CID  11298475.
50. Fink, AM; Jodeit, Max Jr. (1984). "О другом неравенстве Чебышева". В Tong, YL; Gupta, Shanti S. (ред.). Неравенства в статистике и вероятности . Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. Vol. 5. pp. 115–120. doi :10.1214/lnms/1215465637. ISBN 978-0-940600-04-1. MR  0789242 . Получено 7 октября 2012 г. .
51. Niculescu, Constantin P. (2001). «Расширение неравенства Чебышева и его связь с неравенством Йенсена». Journal of Inequalities and Applications . 6 (4): 451–462. CiteSeerX 10.1.1.612.7056 . doi : 10.1155/S1025583401000273 . ISSN  1025-5834 . Получено 6 октября 2012 г. . 
52. Niculescu, Constantin P.; Pečarić, Josip (2010). "Эквивалентность неравенства Чебышева неравенству Эрмита–Адамара" (PDF) . Mathematical Reports . 12 (62): 145–156. ISSN  1582-3067 . Получено 6 октября 2012 г. .
53. Маламуд, SM (15 февраля 2001 г.). «Некоторые дополнения к неравенствам Йенсена и Чебышева и проблема В. Уолтера». Труды Американского математического общества . 129 (9): 2671–2678. doi : 10.1090/S0002-9939-01-05849-X . ISSN  0002-9939. MR  1838791. Получено 7 октября 2012 г.
54. Расчет верхних доверительных пределов для концентраций точек воздействия на объектах с опасными отходами (отчет). Управление по чрезвычайным ситуациям и восстановительным мерам Агентства по охране окружающей среды США. Декабрь 2002 г. Получено 5 августа 2016 г.

Дальнейшее чтение

• А. Папулис (1991), Вероятность, случайные величины и стохастические процессы , 3-е изд. McGraw–Hill. ISBN 0-07-100870-5 . С. 113–114. 
• G. Grimmett и D. Stirzaker (2001), Вероятность и случайные процессы , 3-е изд. Оксфорд. ISBN 0-19-857222-0 . Раздел 7.3. 

Внешние ссылки

• «Неравенство Чебышева в теории вероятностей», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Формальное доказательство в системе Мицара .