Действительная функция

Математическая функция, принимающая действительные значения

Масса , измеренная в граммах , представляет собой функцию от этого набора веса до положительных действительных чисел. Термин « весовая функция », намек на этот пример, используется в чистой и прикладной математике.

В математике вещественная функция — это функция , значения которой являются действительными числами . Другими словами, это функция, которая присваивает вещественное число каждому члену своей области .

Вещественнозначные функции действительной переменной (обычно называемые вещественными функциями ) и вещественнозначные функции нескольких действительных переменных являются основным объектом изучения исчисления и, в более общем плане, вещественного анализа . В частности, многие функциональные пространства состоят из вещественнозначных функций.

Алгебраическая структура

Позвольте быть набором всех функций от множества X до действительных чисел . Поскольку это поле , его можно превратить в векторное пространство и коммутативную алгебру над действительными числами с помощью следующих операций: ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$

• ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$– векторное сложение
• ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$– аддитивная идентичность
• ${\displaystyle cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R} }$– скалярное умножение
• ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$– поточечное умножение

Эти операции распространяются на частичные функции от X до с тем ограничением, что частичные функции f + g и f g определяются только в том случае, если области определения f и g имеют непустое пересечение; в этом случае их область определения является пересечением областей определения f и g . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Кроме того, поскольку это упорядоченное множество, существует частичный порядок. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),}$

на котором образует частично упорядоченное кольцо . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} }),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$

Измеримый

σ -алгебра борелевских множеств — важная структура действительных чисел. Если X имеет свою σ-алгебру и функция f такова, что прообраз f  ⁻¹ ( B ) любого борелевского множества B принадлежит этой σ-алгебре, то f называется измеримой . Измеримые функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснено выше в § Алгебраическая структура.

Более того, набор (семейство) вещественных функций на X действительно может определять σ-алгебру на X , порожденную всеми прообразами всех борелевских множеств (или только интервалов , это не важно). Именно так возникают σ-алгебры в ( Колмогоровской ) теории вероятностей , где действительные функции на выборочном пространстве Ω являются вещественными случайными величинами .

Непрерывный

Действительные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство . Непрерывные вещественнозначные функции (что означает, что X является топологическим пространством) важны в теориях топологических пространств и метрических пространств . Теорема о крайних значениях утверждает, что для любой действительной непрерывной функции на компакте существуют ее глобальный максимум и минимум .

Само понятие метрического пространства определяется вещественной функцией двух переменных, метрикой , которая является непрерывной. Особое значение имеет пространство непрерывных функций на компакте Хаусдорфа . Сходящиеся последовательности также можно рассматривать как вещественнозначные непрерывные функции в специальном топологическом пространстве.

Непрерывные функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснено выше в § Алгебраическая структура, и являются подклассом измеримых функций, поскольку любое топологическое пространство имеет σ-алгебру, порожденную открытыми (или закрытыми) множествами.

Гладкий

Действительные числа используются в качестве кодомена для определения гладких функций. Областью определения действительной гладкой функции может быть вещественное координатное пространство (которое дает действительную функцию многих переменных ), топологическое векторное пространство , ^[1] их открытое подмножество или гладкое многообразие .

Пространства гладких функций также являются векторными пространствами и алгебрами, как объяснено выше в § Алгебраическая структура, и являются подпространствами пространства непрерывных функций.

Появления в теории меры

Мера на множестве — это неотрицательный вещественнозначный функционал на σ-алгебре подмножеств. ^[2] Пространства L p на множествах с мерой определяются из вышеупомянутых вещественнозначных измеримых функций, хотя на самом деле они являются факторпространствами . Точнее, в то время как функция, удовлетворяющая соответствующему условию суммирования, определяет элемент пространства Lp ^, в противоположном направлении для любых f ∈ Lp ⁽ X ) и x ∈ X , которые не являются атомом , значение f ( x ) не определено. . Тем не менее, вещественные пространства L ^p все еще имеют некоторую структуру, описанную выше в § Алгебраическая структура. Каждое из L ^p пространств является векторным пространством и имеет частичный порядок, и существует поточечное умножение «функций», которое меняет p , а именно

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.}$

Например, поточечное произведение двух функций ^L2 принадлежит ^L1 .

Другие выступления

Другие контексты, в которых используются вещественнозначные функции и их специальные свойства, включают монотонные функции (на упорядоченных множествах ), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах ), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях ), аналитические функции (обычно одного или нескольких действительные переменные), алгебраические функции (на вещественных алгебраических многообразиях ) и полиномы (от одной или нескольких действительных переменных).

Смотрите также

• Реальный анализ
• Уравнения в частных производных , основной пользователь вещественных функций.
• Норма (математика)
• Скаляр (математика)

Сноски

1. В целом существуют разные определения производной , но для конечных размеров они приводят к эквивалентным определениям классов гладких функций.
2. На самом деле, мера может иметь значения в [0, +∞] : см . расширенную строку действительных чисел .

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-00288-1.
• Джеральд Фолланд , Реальный анализ: современные методы и их применение, второе издание, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 . 
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Реальная функция». Математический мир .