Лемниската Бернулли

Плоская алгебраическая кривая

Лемниската Бернулли и ее два фокуса F ₁ и F ₂

Лемниската Бернулли — это педальная кривая прямоугольной гиперболы.

Синусоидальные спирали ( r ⁿ = –1 ⁿ cos( nθ ), θ = π /2 ) в полярных координатах и ​​их эквиваленты в прямоугольных координатах :

  n = −2 : Равносторонняя гипербола

  n = −1 : Линия

  n = −1/2 : Парабола

  n = 1/2 : кардиоида

  n = 1 : Круг

  n = 2 : Лемниската Бернулли

В геометрии лемниската Бернулли — это плоская кривая, определяемая двумя заданными точками F ₁ и F ₂ , известными как фокусы , на расстоянии 2 c друг от друга как геометрическое место точек P так, что PF ₁ · PF ₂ = c ² . Кривая имеет форму, похожую на цифру 8 и на символ ∞ . Ее название происходит от lemniscatus , что на латыни означает «украшенный свисающими лентами». Это частный случай овала Кассини и является рациональной алгебраической кривой степени 4.

Эта лемниската была впервые описана в 1694 году Якобом Бернулли как модификация эллипса , который является геометрическим местом точек, для которых сумма расстояний до каждой из двух фиксированных фокусных точек является константой . Овал Кассини , напротив, является геометрическим местом точек, для которых произведение этих расстояний является константой. В случае, когда кривая проходит через точку, расположенную посередине между фокусами, овал является лемнискатой Бернулли.

Эту кривую можно получить как обратное преобразование гиперболы , с окружностью инверсии , центрированной в центре гиперболы (биссектриса двух ее фокусов). Ее также можно нарисовать с помощью механической связи в форме связи Уатта , с длинами трех стержней связи и расстоянием между ее концами, выбранными так, чтобы образовать скрещенный параллелограмм . ^[1]

Уравнения

Уравнения могут быть выражены в терминах фокусного расстояния c или полуширины a лемнискаты. Эти параметры связаны как a = c √ 2 .

• Его декартово уравнение (с точностью до переноса и вращения):

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}&=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\\&=2c^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\end{aligned}}}$

• Как квадратная функция x:

  ${\displaystyle y^{2}=\left({\sqrt {8x^{2}+a^{2}}}-a\right){\frac {a}{2}}-x^{2}}$

• Как параметрическое уравнение :

  ${\displaystyle x={\frac {a\cos t}{1+\sin ^{2}t}};\qquad y={\frac {a\sin t\cos t}{1+\sin ^{2}t}}}$

• Рациональная параметризация: ^[2]

  ${\displaystyle x=a{\frac {t+t^{3}}{1+t^{4}}};\qquad y=a{\frac {t-t^{3}}{1+t^{4}}}}$

• В полярных координатах :

  ${\displaystyle r^{2}=a^{2}\cos {2\theta }}$

• В комплексной плоскости :

  ${\displaystyle |z-c||z+c|=c^{2}}$

• В двухцентровых биполярных координатах :

  ${\displaystyle rr'=c^{2}}$

Длина дуги и эллиптические функции

Синус и косинус лемнискаты связывают длину дуги лемнискаты с расстоянием одной конечной точки от начала координат.

Определение длины дуги дуг лемнискаты приводит к эллиптическим интегралам , как было обнаружено в восемнадцатом веке. Около 1800 года эллиптические функции, обращающие эти интегралы, изучались К. Ф. Гауссом (в то время в основном не публиковавшимся, но упоминавшимся в примечаниях к его Disquisitiones Arithmeticae ). Решетки периодов имеют весьма специальную форму, будучи пропорциональными гауссовым целым числам . По этой причине случай эллиптических функций с комплексным умножением на √ −1 в некоторых источниках называется лемнискатическим случаем .

Используя эллиптический интеграл

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

формула длины дуги L может быть задана как

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=4{\sqrt {2}}\,c\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}=4{\sqrt {2}}\,c\,\operatorname {arcsl} 1\\[6pt]&={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}\,c={\frac {2\pi }{\operatorname {M} (1,1/{\sqrt {2}})}}c\approx 7{.}416\cdot c\end{aligned}}}$

где — гамма-функция , — среднее арифметическое–геометрическое . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {M} }$

Углы

Даны две различные точки и , пусть будет серединой . Тогда лемниската диаметра может быть также определена как множество точек , , , вместе с геометрическим местом точек, таких что является прямым углом (ср. теорему Фалеса и обратную ей). ^[3] ${\displaystyle {\rm {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {B}}}$ ${\displaystyle {\rm {M}}}$ ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ ${\displaystyle {\rm {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {B}}}$ ${\displaystyle {\rm {M}}}$ ${\displaystyle {\rm {P}}}$ ${\displaystyle |{\widehat {\rm {APM}}}-{\widehat {\rm {BPM}}}|}$

соотношение между углами в лемнискате Бернулли

Следующая теорема об углах, встречающихся в лемнискате, принадлежит немецкому математику Герхарду Кристофу Герману Фехтману , который описал ее в 1843 году в своей диссертации о лемнискатах. ^[4]

F ₁ и F ₂ являются фокусами лемнискаты, O является серединой отрезка F ₁ F ₂ , а P является любой точкой на лемнискате вне прямой, соединяющей F ₁ и F ₂ . Нормаль n лемнискаты в P пересекает прямую, соединяющую F ₁ и F ₂ в R . Теперь внутренний угол треугольника OPR в точке O составляет одну треть внешнего угла треугольника в точке R (см. также трисекция угла ). Кроме того, внутренний угол в точке P в два раза больше внутреннего угла в точке O .

Дополнительные свойства

Инверсия гиперболы дает лемнискату

• Лемниската симметрична прямой, соединяющей ее фокусы F ₁ и F ₂ , а также серединному перпендикуляру отрезка F ₁ F ₂ .
• Лемниската симметрична относительно середины отрезка F ₁ F ₂ .
• Площадь, ограниченная лемнискатой, равна a ² = 2 c ² .
• Лемниската — это окружность, инвертированная гиперболой , и наоборот.
• Две касательные в средней точке O перпендикулярны, и каждая из них образует угол ⁠π/4⁠ с линией, соединяющей F ₁ и F ₂ .
• Плоское сечение стандартного тора, касательное к его внутреннему экватору, является лемнискатой.
• Кривизна при равна . Максимальная кривизна, которая имеет место при , составляет, таким образом , . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle {3 \over a^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (\pm a,0)}$ ${\displaystyle 3/a}$

Приложения

Динамика на этой кривой и ее более обобщенных вариантах изучается в квазиодномерных моделях.

Смотрите также

• Лемниската Бута
• Лемниската Героно
• Константа лемнискаты
• Лемнискатная эллиптическая функция
• Овал Кассини

Примечания

1. Брайант, Джон; Сангвин, Кристофер Дж. (2008), Насколько круглый ваш круг? Где встречаются инженерия и математика , Princeton University Press, стр. 58–59, ISBN 978-0-691-13118-4.
2. Леммермейер, Франц (2011). «Параметризация алгебраических кривых». arXiv : 1108.6219 [math.NT].
3. Эймар, Пьер; Лафон, Жан-Пьер (2004). Число Пи . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3246-8.стр. 200
4. Александр Остерманн, Герхард Ваннер: Геометрия по ее истории. Springer, 2012, стр. 207-208

Ссылки

• J. Dennis Lawrence (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. стр. 4–5, 121–123, 145, 151, 184. ISBN 0-486-60288-5.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Лемниската». MathWorld .
• «Лемниската Бернулли» в архиве истории математики The MacTutor
• «Лемниската Бернулли» на MathCurve.
• Coup d'œil sur la lemniscate de Bernulli (на французском языке)