кардиоидный

Тип плоской кривой

Кардиоида

Каустик , появляющийся на поверхности этой чашки кофе, представляет собой кардиоиду.

В геометрии кардиоида (от греч. καρδιά (kardiá)  «сердце») — это плоская кривая, описываемая точкой на периметре окружности, катящейся по фиксированной окружности того же радиуса. Она также может быть определена как эпициклоида с одним острием . Это также тип синусоидальной спирали и обратная кривая параболы с фокусом в качестве центра инверсии. ^[1] Кардиоида также может быть определена как множество точек отражения фиксированной точки на окружности через все касательные к окружности. [ ^2]

Кардиоида, образованная катящейся окружностью по окружности того же радиуса

Название было придумано Джованни Сальвемини в 1741 году ^[3], но кардиоида была предметом изучения за десятилетия до этого. ^[4] Хотя она и названа так из-за своей сердцевидной формы, по форме она больше напоминает очертания поперечного сечения круглого яблока без черешка. ^[5]

Кардиоидный микрофон демонстрирует акустическую диаграмму направленности, которая при графическом отображении в двух измерениях напоминает кардиоиду (любую 2-мерную плоскость, содержащую 3-мерную прямую линию корпуса микрофона). В трех измерениях кардиоида имеет форму яблока, центрированного вокруг микрофона, который является «стеблем» яблока.

Уравнения

Генерация кардиоиды и используемая система координат

Пусть будет общим радиусом двух образующих окружностей с серединами , углом качения и началом координат (см. рисунок). Получается ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (-a,0),(a,0)}$ ${\displaystyle \varphi }$

• параметрическое представление : и отсюда представление в $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi \ ,\\y(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi \end{aligned}}}$$
• полярные координаты : $${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi ).}$$
• Вводя подстановки и удаляя квадратный корень, получаем неявное представление в декартовых координатах : ${\displaystyle \cos \varphi =x/r}$ ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4ax\left(x^{2}+y^{2}\right)-4a^{2}y^{2}=0.}$$

Доказательство параметрического представления

Доказательство может быть установлено с использованием комплексных чисел и их общего описания как комплексной плоскости . Движение качения черного круга по синему можно разделить на два вращения. В комплексной плоскости вращение вокруг точки (начала координат) на угол может быть выполнено путем умножения точки (комплексного числа) на . Следовательно ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }}$

вращение вокруг точки равно , ${\displaystyle \Phi _{+}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle :z\mapsto a+(z-a)e^{i\varphi }}$

вращение вокруг точки равно: . ${\displaystyle \Phi _{-}}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle z\mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }}$

Точка кардиоиды получается путем вращения начала координат вокруг точки и последующего вращения вокруг нее на тот же угол : Отсюда получается параметрическое представление выше: ( Были использованы тригонометрические тождества и .) ${\displaystyle p(\varphi )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}\left(a-ae^{i\varphi }\right)=-a+\left(a-ae^{i\varphi }+a\right)e^{i\varphi }=a\;\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right).}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi )&=&a\;(-\sin(2\varphi )+2\sin \varphi )&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi &.&\end{array}}}$$ ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,}$ ${\displaystyle \cos(2\varphi )=(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2},}$ ${\displaystyle \sin(2\varphi )=2\sin \varphi \cos \varphi }$

Метрические свойства

Для кардиоиды, определенной выше, справедливы следующие формулы:

• область , ${\displaystyle A=6\pi a^{2}}$
• длина дуги и ${\displaystyle L=16a}$
• радиус кривизны ${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}$

Доказательства этих утверждений используют в обоих случаях полярное представление кардиоиды. Для подходящих формул см. полярная система координат (длина дуги) и полярная система координат (площадь)

Доказательство формулы площади

$${\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}\pi =6\pi a^{2}.}$$

Доказательство формулы длины дуги

$${\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _{0}^{\pi }\sin \left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)d\varphi =16a.}$$

Доказательство радиуса кривизны

Радиус кривизны кривой в полярных координатах с уравнением равен (s.curvature) ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ $${\displaystyle \rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r}}(\varphi )^{2}\right]^{3/2}}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )}}\ .}$$

Для кардиоиды получается ${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}\left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)}$ $${\displaystyle \rho (\varphi )=\cdots ={\frac {\left[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\right]^{\frac {3}{2}}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac {\varphi }{2}}\ .}$$

Характеристики

Аккорды кардиоиды

Аккорды через точку каспа

С1

Хорды, проходящие через вершину кардиоиды, имеют одинаковую длину. ${\displaystyle 4a}$

С2

Средние точки хорд , проходящих через точку возврата, лежат на периметре неподвижной образующей окружности (см. рисунок).

Доказательство C1

Точки находятся на хорде , проходящей через точку возврата (=начало координат). Следовательно ${\displaystyle P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|PQ|&=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )\\&=2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\varphi +\pi ))=\cdots =4a\end{aligned}}.}$$

Доказательство для C2

Для доказательства используется представление в комплексной плоскости (см. выше). Для точек и $${\displaystyle P:\ p(\varphi )=a\,\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right)}$$ $${\displaystyle Q:\ p(\varphi +\pi )=a\,\left(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1\right)=a\,\left(-e^{i2\varphi }-2e^{i\varphi }-1\right),}$$

середина хорды лежит на периметре окружности с серединой и радиусом (см. рисунок). ${\displaystyle PQ}$ $${\displaystyle M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi )+p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }}$$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a}$

Кардиоида как обратная параболе кривая

Кардиоида, полученная путем инверсии параболы по отношению к единичной окружности (пунктирная линия)

Кардиоида — это обратная параболе кривая с фокусом в центре инверсии (см. график)

Для примера, показанного на графике, окружности генератора имеют радиус . Следовательно, кардиоида имеет полярное представление и ее обратную кривую , которая является параболой (т.е. параболой в полярных координатах ) с уравнением в декартовых координатах. ${\textstyle a={\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle r(\varphi )=1-\cos \varphi }$$ $${\displaystyle r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }},}$$ ${\textstyle x={\tfrac {1}{2}}\left(y^{2}-1\right)}$

Замечание: Не каждая обратная кривая параболы является кардиоидой. Например, если парабола перевернута относительно окружности, центр которой лежит в вершине параболы, то результатом будет циссоида Диокла .

Кардиоида как огибающая пучка окружностей

Кардиоида как огибающая пучка окружностей

В предыдущем разделе, если дополнительно инвертировать касательные параболы, то получится пучок окружностей, проходящих через центр инверсии (начало координат). Подробное рассмотрение показывает: Средние точки окружностей лежат на периметре неподвижной образующей окружности. (Образующая окружность является обратной кривой директрисы параболы.)

Это свойство приводит к следующему простому методу построения кардиоиды:

1. Выберите круг и точку на его периметре, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O}$
2. нарисуйте окружности, содержащие с центрами на , и ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle c}$
3. нарисуйте огибающую этих кругов.

Доказательство с состоянием конверта

Огибающая пучка неявно заданных кривых с параметром состоит из таких точек , которые являются решениями нелинейной системы , которая является условием огибающей . Обратите внимание, что означает частную производную для параметра . $${\displaystyle F(x,y,t)=0}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle F(x,y,t)=0,\quad F_{t}(x,y,t)=0,}$$ ${\displaystyle F_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Пусть будет окружностью с серединой и радиусом . Тогда имеет параметрическое представление . Пучок окружностей с центрами в содержащей точке может быть представлен неявно с помощью , что эквивалентно Второе условие огибающей равно Легко проверить, что точки кардиоиды с параметрическим представлением удовлетворяют нелинейной системе выше. Параметр идентичен угловому параметру кардиоиды. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (-1+\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O=(0,0)}$ $${\displaystyle F(x,y,t)=(x+1-\cos t)^{2}+(y-\sin t)^{2}-(2-2\cos t)=0,}$$ $${\displaystyle F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x\;(1-\cos t)-2y\;\sin t=0\;.}$$ $${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x\;\sin t-2y\;\cos t=0.}$$ $${\displaystyle x(t)=2(1-\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1-\cos t)\sin t}$$ ${\displaystyle t}$

Кардиоида как огибающая пучка линий

Кардиоида как огибающая пучка линий

Похожий и простой метод рисования кардиоиды использует карандаш линий . Он принадлежит Л. Кремоне :

1. Начертите круг, разделите его периметр на равноотстоящие части точками (см. рисунок) и последовательно пронумеруйте их. ${\displaystyle 2N}$
2. Нарисуем хорды: . (То есть вторая точка движется с двойной скоростью.) ${\displaystyle (1,2),(2,4),\dots ,(n,2n),\dots ,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),\dots }$
3. Огибающая этих аккордов представляет собой кардиоиду.

Поколение кардиоиды Кремоны

Доказательство

В следующем рассмотрении используются тригонометрические формулы для , , , , и . Для простоты вычислений доказательство приводится для кардиоиды с полярным представлением ( § Кардиоиды в разных положениях ). ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta }$ ${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta }$ ${\displaystyle 1+\cos 2\alpha }$ ${\displaystyle \cos 2\alpha }$ ${\displaystyle \sin 2\alpha }$ ${\displaystyle r=2(1\mathbin {\color {red}+} \cos \varphi )}$

Уравнение касательнойпринадлежащийкардиоидныйс полярным представлениемг = 2(1 + cos 𝜑 )

Из параметрического представления $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,\\y(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

получаем нормальный вектор . Уравнение касательной : ${\displaystyle {\vec {n}}=\left({\dot {y}},-{\dot {x}}\right)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}$ $${\displaystyle (\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x+(\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\,.}$$

С помощью тригонометрических формул и последующего деления на уравнение касательной можно переписать в виде: ${\textstyle \cos {\frac {1}{2}}\varphi }$ $${\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .}$$

Уравнение хордыпринадлежащийкругс средней точкой( 1, 0 )и радиус3

Для уравнения секущей, проходящей через две точки, получаем: ${\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))}$ $${\displaystyle (\sin \theta -\sin 2\theta )x+(\cos 2\theta -\sin \theta )y=-2\cos \theta -\sin(2\theta )\,.}$$

С помощью тригонометрических формул и последующего деления на уравнение секущей можно переписать в виде: ${\textstyle \sin {\frac {1}{2}}\theta }$ $${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{3}\quad 0<\theta <2\pi .}$$

Заключение

Несмотря на то, что два угла имеют разные значения (см. рисунок), один из них получается для одной и той же линии. Следовательно, любая секущая линия окружности, определенная выше, является касательной кардиоиды, также: ${\displaystyle \varphi ,\theta }$ ${\displaystyle \varphi =\theta }$

Кардиоида — это огибающая хорд окружности.

Замечание:
Доказательство можно провести с помощью условий огибающей (см. предыдущий раздел) неявного пучка кривых: $${\displaystyle F(x,y,t)=\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y-4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}t\right)^{3}=0}$$

это пучок секущих окружности (см. выше) и $${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+{\tfrac {3}{2}}\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y+3\cos \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\sin t=0\,.}$$

При фиксированном параметре t оба уравнения представляют собой прямые. Точка их пересечения — $${\displaystyle x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t,}$$

которая является точкой кардиоиды с полярным уравнением ${\displaystyle r=2(1+\cos t).}$

Кардиоида как каустика : источник света , световой луч , отраженный луч ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\vec {s}}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$

Кардиоида как каустика круга с источником света (справа) по периметру

Кардиоида как каустика круга

Рассуждения, высказанные в предыдущем разделе, доказывают, что каустика круга с источником света по периметру круга является кардиоидой.

Если на плоскости в точке периметра круга расположен источник света, отражающий любой луч, то отраженные лучи внутри круга являются касательными кардиоиды. ${\displaystyle Z}$

Доказательство

Как и в предыдущем разделе, окружность может иметь среднюю точку и радиус . Его параметрическое представление: Касательная в точке окружности имеет нормальный вектор . Следовательно, отраженный луч имеет нормальный вектор (см. график) и содержит точку . Отраженный луч является частью линии с уравнением (см. предыдущий раздел), которая является касательной к кардиоиде с полярным уравнением из предыдущего раздела. ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle 3}$ $${\displaystyle c(\varphi )=(1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )\ .}$$ ${\displaystyle C:\ k(\varphi )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{r}=\left(\cos {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi ,\sin {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi \right)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle C:\ (1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )}$ $${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\,,}$$ $${\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )}$$

Замечание: При подобных рассуждениях обычно пренебрегают многократными отражениями на окружности.

Кардиоида как педальная кривая круга

Точка кардиоиды является основанием перпендикуляра, опущенного на касательную к окружности.

Поколение кардиоиды Кремона не следует путать со следующим поколением:

Пусть будет окружность и точка на периметре этой окружности. Верно следующее: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle O}$

Основания перпендикуляров, опущенных из точки на касательные к окружности, являются точками кардиоиды. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle k}$

Таким образом, кардиоида — это особая кривая окружности.

Доказательство

В декартовой системе координат окружность может иметь середину и радиус . Касательная в точке окружности имеет уравнение Основание перпендикуляра из точки на касательной — это точка с пока неизвестным расстоянием до начала координат . Подстановка точки в уравнение касательной дает , которое является полярным уравнением кардиоиды. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (2a,0)}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle (2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}$ $${\displaystyle (x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\,.}$$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle O}$ $${\displaystyle (r\cos \varphi -2a)\cos \varphi +r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi )}$$

Замечание: Если точка не находится на периметре окружности , то получается улитка Паскаля . ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle k}$

Эволюция кардиоиды

  Кардиоида

  Эволюция кардиоиды

  Одна точка P; ее центр кривизны M; и ее соприкасающаяся окружность.

Эволюта кривой — это геометрическое место центров кривизны. Подробно: Для кривой с радиусом кривизны эволюта имеет представление с соответствующим образом ориентированной единичной нормалью. ${\displaystyle {\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ $${\displaystyle {\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}$$ ${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$

Для кардиоиды получаем:

Эволюта кардиоиды — это еще одна кардиоида, в три раза меньше и направленная в противоположную сторону (см. рисунок) .

Доказательство

Для кардиоиды с параметрическим представлением единичная нормаль равна , а радиус кривизны . Следовательно, параметрические уравнения эволюты имеют вид Эти уравнения описывают кардиоиду в треть размера, повернутую на 180 градусов и смещенную вдоль оси x на . $${\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \,,}$$ $${\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi }$$ $${\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )}$$ $${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}$$ $${\displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\,,}$$ $${\displaystyle Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \,.}$$ ${\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}$

(Были использованы тригонометрические формулы :) ${\displaystyle \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos {\tfrac {\varphi }{2}},\ \cos \varphi =\cdots \ .}$

Ортогональные траектории

Ортогональные кардиоиды

Ортогональная траектория пучка кривых — это кривая, которая пересекает любую кривую пучка ортогонально. Для кардиоид справедливо следующее:

Ортогональные траектории пучка кардиоид с уравнениями — это кардиоиды с уравнениями $${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\ }$$ $${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .}$$

(Второй карандаш можно рассматривать как отражение первого карандаша относительно оси Y. См. диаграмму.)

Доказательство

Для кривой, заданной в полярных координатах функцией, справедлива следующая связь с декартовыми координатами: ${\displaystyle r(\varphi )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=r(\varphi )\cos \varphi \,,\\y(\varphi )&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

и для производных $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \,,\\{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \,.\end{aligned}}}$$

Разделив второе уравнение на первое, получаем декартов наклон касательной к кривой в точке : ${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

Для кардиоид с уравнениями и соответственно получаем: и ${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\;}$ ${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ }$ $${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos(\varphi )-\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )-\sin(\varphi )}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos(\varphi )+\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )+\sin(\varphi )}}\ .}$$

(Наклон любой кривой зависит только от , а не от параметров или !) ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Следовательно, это означает: любая кривая первого пучка пересекает любую кривую второго пучка ортогонально. $${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b}}{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\cos ^{2}(2\varphi )}{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )}}=-1\,.}$$

4 кардиоиды в полярном представлении и их положение в системе координат

В разных положениях

Выбор других положений кардиоиды в системе координат приводит к другим уравнениям. На рисунке показаны 4 наиболее распространенных положения кардиоиды и их полярные уравнения.

В комплексном анализе

Граница центральной области периода 1 множества Мандельброта представляет собой точную кардиоиду.

В комплексном анализе изображение любого круга через начало координат под картой является кардиоидой. Одно из приложений этого результата заключается в том, что граница центрального компонента периода 1 множества Мандельброта является кардиоидой, заданной уравнением ${\displaystyle z\to z^{2}}$ $${\displaystyle c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.}$$

Множество Мандельброта содержит бесконечное число слегка искаженных копий самого себя, и центральная луковица любой из этих меньших копий представляет собой приблизительно кардиоиду.

Кардиоида, образованная светом на циферблате часов .

Каустики

Некоторые каустики могут принимать форму кардиоид. Катаустика круга относительно точки на окружности является кардиоидой. Также катаустика конуса относительно лучей, параллельных образующей, является поверхностью, поперечное сечение которой является кардиоидой. Это можно увидеть, как на фотографии справа, в конической чашке, частично заполненной жидкостью, когда свет падает с расстояния и под углом, равным углу конуса. ^[6] Форма кривой на дне цилиндрической чашки является половиной нефроида , который выглядит довольно похоже.

Создание кардиоиды как педальной кривой круга

Смотрите также

• Лимасон
• Нефроидный
• Дельтовидная мышца
• Стержень Витгенштейна
• Кардиоидный микрофон
• Лемниската Бернулли
• Рамочная антенна
• Радиопеленгатор
• Радиопеленгация
• антенна Яги
• Джованни Сальвемини
• Космическая кардиоида

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Обратная кривая параболы». Математический мир .
2. S Balachandra Rao. Дифференциальное исчисление, стр. 457.
3. Локвуд
4. Йейтс
5. Гутенмахер, Виктор; Васильев, Н.Б. (2004). Линии и кривые . Бостон: Birkhäuser. стр. 90. doi :10.1007/978-1-4757-3809-4. ISBN 9781475738094.
6. "Surface Caustique" в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Ссылки

• RC Yates (1952). «Кардиоида». Справочник по кривым и их свойствам . Ann Arbor, MI: JW Edwards. стр. 4 и далее.
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии издательства Penguin. Нью-Йорк: Penguin Books. С. 24–25. ISBN 0-14-011813-6.

Внешние ссылки

• «Кардиоида». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Кардиоида». Архив истории математики MacTutor . Университет Сент-Эндрюс .
• Обильный перекус на кардиоидах в cut-the-knot
• Вайсштейн, Эрик В. "Кардиоида". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Эпициклоида--1-остроконечная". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая сердца». MathWorld .
• Xah Lee, Cardioid (1998) (Этот сайт предоставляет ряд альтернативных конструкций) .
• Ян Вассенаар, Кардиоида , (2005)