Симплектические многообразия возникают из классической механики ; в частности, они являются обобщением фазового пространства замкнутой системы. [1] Точно так же, как уравнения Гамильтона позволяют вывести эволюцию системы во времени из набора дифференциальных уравнений , симплектическая форма должна позволить получить векторное поле , описывающее поток системы, из дифференциала гамильтониана функция . [2] Итак, нам требуется линейное отображение касательного многообразия в кокасательное многообразие или, что то же самое, элемент из . Обозначая часть , требование невырожденности гарантирует, что для каждого дифференциала существует уникальное соответствующее векторное поле такое, что . Поскольку желательно, чтобы гамильтониан был постоянным вдоль линий тока, необходимо иметь , что означает, что он является знакопеременным и, следовательно, является 2-формой. Наконец, выдвигается требование, которое не должно меняться под линиями тока, т.е. чтобы производная Ли от вдоль обращалась в нуль. Применяя формулу Картана , это составляет (вот внутреннее произведение ):
так что, повторяя это рассуждение для различных гладких функций, таких что соответствующий охват касательного пространства в каждой точке, к которой применяется аргумент, мы видим, что требование исчезновения производной Ли вдоль потоков, соответствующих произвольной гладкости, эквивалентно требованию что ω должна быть замкнутой .
Определение
Симплектическая форма на гладком многообразии — это замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма . [3] [4] Здесь невырожденность означает, что для каждой точки кососимметричное спаривание в касательном пространстве , определенное как, является невырожденным. То есть, если существует такое, что для всех , то . Поскольку в нечетных измерениях кососимметричные матрицы всегда сингулярны, из требования невырожденности следует, что они имеют четную размерность. [3] [4] Условие замкнутости означает, что внешняя производная обращается в нуль. Симплектическое многообразие — это пара , где — гладкое многообразие, а — симплектическая форма. Присвоение симплектической формы называется приданием симплектической структуры .
Примеры
Симплектические векторные пространства
Пусть – базис для. Определим нашу симплектическую форму ω на этом базисе следующим образом:
Пусть – гладкое многообразие размерности . Тогда все пространство кокасательного расслоения имеет естественную симплектическую форму, называемую двуформой Пуанкаре или канонической симплектической формой.
Здесь — любые локальные координаты на и — послойные координаты относительно кокасательных векторов . Кокасательные расслоения — это естественные фазовые пространства классической механики. Точка различения верхних и нижних индексов обусловлена случаем, когда многообразие имеет метрический тензор , как это имеет место для римановых многообразий . Верхние и нижние индексы преобразуются контра и ковариантно при смене систем координат. Фраза «послойные координаты относительно котангенсов» призвана передать, что импульсы « припаяны » к скоростям . Пайка является выражением идеи о том, что скорость и импульс коллинеарны, поскольку оба движутся в одном направлении и различаются масштабным коэффициентом.
Существует несколько естественных геометрических понятий подмногообразия симплектического многообразия :
Симплектические подмногообразия ( потенциально любой четной размерности) — это такие подмногообразия, которые являются симплектической формой на .
Изотропные подмногообразия — это подмногообразия, в которых симплектическая форма сужается до нуля, т. е. каждое касательное пространство является изотропным подпространством касательного пространства объемлющего многообразия. Аналогично, если каждое касательное подпространство к подмногообразию коизотропно (двойственное изотропному подпространству), подмногообразие называется коизотропным .
Лагранжевы подмногообразия симплектического многообразия — это подмногообразия, в которых ограничение симплектической формы на обращается в нуль, т. е . и . Лагранжевы подмногообразия — это максимальные изотропные подмногообразия.
Одним из основных примеров является то, что график симплектоморфизма в произведении симплектического многообразия ( M × M , ω × − ω ) является лагранжевым. Их пересечения проявляют свойства жесткости, которыми не обладают гладкие многообразия; гипотеза Арнольда дает сумму чисел Бетти подмногообразия как нижнюю границу числа самопересечений гладкого лагранжева подмногообразия, а не эйлерову характеристику в гладком случае.
Примеры
Пусть глобальные координаты обозначены . Тогда мы можем снабдить канонической симплектической формой
Существует стандартное лагранжево подмногообразие, заданное формулой . Форма исчезает, потому что для любой пары касательных векторов мы имеем это. Чтобы прояснить это, рассмотрим случай . Тогда и . Обратите внимание: когда мы расширяем это
оба слагаемых имеют коэффициент, равный 0 по определению.
Пример: расслоение котангенсов.
Кокасательное расслоение многообразия локально моделируется в пространстве, аналогичном первому примеру. Можно показать, что мы можем склеить эти аффинные симплектические формы, следовательно, это расслоение образует симплектическое многообразие. Менее тривиальный пример лагранжева подмногообразия — нулевое сечение кокасательного расслоения многообразия. Например, пусть
Тогда мы можем представить как
где мы рассматриваем символы как координаты . Мы можем рассмотреть подмножество, где координаты и , что дает нам нулевое сечение. Этот пример можно повторить для любого многообразия, определяемого нулевым местом гладких функций и их дифференциалов .
Пример: параметрическое подмногообразие
Рассмотрим каноническое пространство с координатами . Параметрическим подмногообразием является то, которое параметризовано координатами так, что
Это многообразие является лагранжевым подмногообразием, если скобка Лагранжа равна нулю для всех . То есть оно лагранжево, если
для всех . В этом можно убедиться, развернув
в условии лагранжева подмногообразия . Это значит, что симплектическая форма должна исчезать на касательном многообразии ; то есть он должен исчезнуть для всех касательных векторов:
для всех . Упростите результат, используя каноническую симплектическую форму на :
и все остальные исчезают.
Поскольку локальные карты на симплектическом многообразии принимают каноническую форму, этот пример предполагает, что лагранжевы подмногообразия относительно неограничены. Классификация симплектических многообразий осуществляется с помощью гомологий Флоера — это приложение теории Морса к функционалу действия для отображений между лагранжевыми подмногообразиями. В физике действие описывает эволюцию физической системы во времени; здесь его можно понимать как описание динамики бран.
Пример: теория Морса
Другой полезный класс лагранжевых подмногообразий встречается в теории Морса . Учитывая функцию Морса и достаточно малую, можно построить лагранжево подмногообразие, заданное исчезающим геометрическим числом . Для общей функции Морса у нас есть лагранжево пересечение, заданное формулой .
Специальные лагранжевы подмногообразия
В случае кэлерова многообразия (или многообразия Калаби–Яу ) мы можем сделать выбор в качестве голоморфной n-формы, где – действительная часть и мнимая. Лагранжево подмногообразие называется специальным , если в дополнение к указанному выше условию Лагранжа ограничение на обращается в нуль. Другими словами, действительная часть, ограниченная на, приводит к форме объема на . Следующие примеры известны как специальные лагранжевы подмногообразия:
неподвижные точки вещественной структуры многообразий Калаби–Яу.
Гипотеза SYZ касается изучения специальных лагранжевых подмногообразий зеркальной симметрии ; см. (Хитчин 1999).
Гипотеза Томаса–Яу предсказывает, что существование специальных лагранжевых подмногообразий на многообразиях Калаби–Яу в гамильтоновых изотопических классах лагранжианов эквивалентно устойчивости относительно условия устойчивости категории Фукая многообразия.
Лагранжево расслоение
Лагранжево расслоение симплектического многообразия M — это расслоение , все слои которого являются лагранжевыми подмногообразиями. Поскольку M четномерно, мы можем взять локальные координаты ( p 1 ,..., p n , q 1 ,..., q n ), и по теореме Дарбу симплектическая форма ω может быть, по крайней мере локально, записана как ω = ∑ d p k ∧ d q k , где d обозначает внешнюю производную , а ∧ обозначает внешнее произведение . Эта форма называется двуформой Пуанкаре или канонической двуформой. Используя эту схему, мы можем локально думать о M как о кокасательном расслоении , а о лагранжевом расслоении как о тривиальном слоении. Это каноническая картина.
Лагранжево отображение
Пусть L — лагранжево подмногообразие симплектического многообразия ( K ,ω), заданное погружением i : L ↪ K ( i называется лагранжевым погружением ). Пусть π : K ↠ B задаёт лагранжево расслоение K. Композиция ( π∘i ) : L ↪ K ↠ B является лагранжевым отображением . Набор критических значений π ∘ i называется каустикой .
Два лагранжевых отображения ( π 1 ∘ i 1 ) : L 1 ↪ K 1 ↠ B 1 и ( π 2 ∘ i 2 ) : L 2 ↪ K 2 ↠ B 2 называются лагранжево эквивалентными , если существуют диффеоморфизмы σ , τ и ν такие , что что обе части диаграммы, заданной справа , коммутируют и τ сохраняет симплектическую форму. [4] Символически:
Симплектическое многообразие является точным , если точна симплектическая форма . Например, кокасательное расслоение гладкого многообразия является точным симплектическим многообразием. Каноническая симплектическая форма точна.
Мультисимплектическим многообразием степени k называется многообразие, снабженное замкнутой невырожденной k -формой. [5]
Полисимплектическое многообразие — это расслоение Лежандра, снабженное полисимплектической касательной -формой; он используется в гамильтоновой теории поля . [6]
Почти симплектическое многообразие – дифференцируемое многообразие, снабженное невырожденной (но не обязательно замкнутой) 2-формой.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
Контактное многообразие — раздел геометрии Pages displaying short descriptions of redirect targets— нечетномерный аналог симплектического многообразия.
Ковариантная гамильтонова теория поля - формализм в классической теории поля, основанный на гамильтоновой механикеPages displaying short descriptions of redirect targets
Многообразие Федосова – симплектическое многообразие, снабженное связностью без кручения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
Тавтологическая одна форма - каноническая дифференциальная форма, определенная на кокасательном расслоении гладкого многообразия.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
^ Кантрейн, Ф.; Иборт, Луизиана; де Леон, М. (1999). «О геометрии мультисимплектических многообразий». Дж. Аустрал. Математика. Соц . Сер. А. 66 (3): 303–330. дои : 10.1017/S1446788700036636 .
^ Джачетта, Г.; Манджаротти, Л.; Сарданашвили, Г. (1999). «Ковариантные гамильтоновы уравнения теории поля». Журнал физики . А32 (38): 6629–6642. arXiv : hep-th/9904062 . Бибкод : 1999JPhA...32.6629G. дои : 10.1088/0305-4470/32/38/302. S2CID 204899025.
Общие и цитируемые ссылки
Макдафф, Дуса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Оксфордские математические монографии. ISBN 0-19-850451-9.
Алан Вайнштейн (1971). «Симплектические многообразия и их лагранжевы подмногообразия». Достижения в математике . 6 (3): 329–46. дои : 10.1016/0001-8708(71)90020-X .
Арнольд, VI (1990). «Гл.1, Симплектическая геометрия». Особенности каустик и волновых фронтов. Математика и ее приложения. Том. 62. Дордрехт: Springer Нидерланды. дои : 10.1007/978-94-011-3330-2. ISBN 978-1-4020-0333-2. ОСЛК 22509804.
дальнейшее чтение
Дунин-Барковский, Петр (2022). «Симплектическая двойственность для топологической рекурсии». arXiv : 2206.14792 [math-ph].
«Как найти лагранжевы подмногообразия». Обмен стеками . 17 декабря 2014 г.