Инвариантная теория

Математическое исследование инвариантов относительно симметрий

Теория инвариантов — это раздел абстрактной алгебры, изучающий действия групп на алгебраических многообразиях , таких как векторные пространства, с точки зрения их влияния на функции . Классически теория занималась вопросом явного описания полиномиальных функций , которые не изменяются или являются инвариантными при преобразованиях из заданной линейной группы . Например, если мы рассмотрим действие специальной линейной группы SL _n на пространстве n на n матриц путем умножения слева, то определитель является инвариантом этого действия, поскольку определитель AX равен определителю X , когда A есть в СЛ _н .

Введение

Пусть группа и конечномерное векторное пространство над полем (которое в классической теории инвариантов обычно считалось комплексным числом ). Представление in является групповым гомоморфизмом , который индуцирует групповое действие на . Если - пространство полиномиальных функций на , то групповое действие на производит действие на по следующей формуле: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k[V]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k[V]}$

${\displaystyle (g\cdot f)(x):=f(g^{-1}(x))\qquad \forall x\in V,g\in G,f\in k[V].}$

При этом действии естественно рассматривать подпространство всех полиномиальных функций, инвариантных относительно этого действия группы, другими словами, множество полиномов таких, что для всех . Это пространство инвариантных полиномов обозначается . ${\displaystyle g\cdot f=f}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle k[V]^{G}}$

Первая проблема теории инвариантов : ^[1] Является ли конечно порожденная алгебра над ? ${\displaystyle k[V]^{G}}$ ${\displaystyle k}$

Например, если и пространство квадратных матриц, и действие на задано умножением слева, то оно изоморфно алгебре полиномов от одной переменной, порожденной определителем. Другими словами, в этом случае каждый инвариантный многочлен представляет собой линейную комбинацию степеней определителя. Таким образом, в этом случае конечно генерируется над . ${\displaystyle G=SL_{n}}$ ${\displaystyle V=M_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k[V]^{G}}$ ${\displaystyle k[V]^{G}}$ ${\displaystyle k}$

Если ответ положительный, то следующий вопрос — найти минимальный базис и задаться вопросом, является ли модуль полиномиальных отношений между элементами базиса (известный как сизигии ) конечно порожденным над . ${\displaystyle k[V]}$

Теория инвариантов конечных групп имеет тесную связь с теорией Галуа . Одним из первых крупных результатов была основная теорема о симметрических функциях , описывающая инварианты симметрической группы , действующей на кольце многочленов, перестановками переменных . В более общем смысле, теорема Шевалле-Шепарда-Тодда характеризует конечные группы, алгебра инвариантов которых является кольцом полиномов. Современные исследования в области теории инвариантов конечных групп подчеркивают «эффективные» результаты, такие как явные оценки степеней образующих. Случай положительной характеристики , идеологически близкий к модульной теории представлений , представляет собой область активного изучения, связанную с алгебраической топологией . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}}$

Теория инвариантов бесконечных групп неразрывно связана с развитием линейной алгебры , особенно теорий квадратичных форм и определителей . Еще одним предметом с сильным взаимным влиянием была проективная геометрия , где теория инвариантов должна была сыграть главную роль в организации материала. Одним из основных моментов этих отношений является символический метод . Теория представлений полупростых групп Ли уходит корнями в теорию инвариантов.

Работа Дэвида Гильберта по вопросу о конечном порождении алгебры инвариантов (1890 г.) привела к созданию новой математической дисциплины — абстрактной алгебры. Более поздняя работа Гильберта (1893) рассматривала те же вопросы более конструктивным и геометрическим образом, но оставалась практически неизвестной до тех пор, пока Дэвид Мамфорд не вернул эти идеи к жизни в 1960-х годах, в значительно более общей и современной форме, в своем геометрическом инварианте. теория . В значительной степени благодаря влиянию Мамфорда предмет теории инвариантов оказывается охватывающим теорию действий линейных алгебраических групп на аффинных и проективных многообразиях. Особое направление теории инвариантов, восходящее к классическим конструктивным и комбинаторным методам девятнадцатого века, было развито Джан-Карло Ротой и его школой. Ярким примером этого круга идей является теория стандартных мономов .

Примеры

Простые примеры теории инвариантов основаны на вычислении инвариантных мономов от действия группы. Например, рассмотрим действие при отправке ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\mapsto -x&&y\mapsto -y\end{aligned}}}$

Тогда, поскольку мономы низшей степени инвариантны, мы имеем, что ${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }\cong \mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

Этот пример формирует основу для выполнения многих вычислений.

Истоки девятнадцатого века

Теория инвариантов возникла примерно в середине девятнадцатого века, что-то вроде Минервы : взрослая девственница, закованная в сияющие доспехи алгебры, она возникла из юпитерианской головы Кэли .

Вейль (1939b, с.489)

Кэли впервые разработал теорию инвариантов в своей работе «К теории линейных преобразований» (1845 г.). В начале своей статьи Кейли ссылается на статью Джорджа Буля 1841 года : «Расследование было предложено мне очень элегантной статьей на ту же тему... мистера Буля». (Доклад Буля назывался «Изложение общей теории линейных преобразований», Cambridge Mathematical Journal.) ^[2]

Классически термин «инвариантная теория» относится к изучению инвариантных алгебраических форм (эквивалентно симметричным тензорам ) для действия линейных преобразований . Это была основная область исследований во второй половине девятнадцатого века. Современные теории, относящиеся к симметричной группе и симметричным функциям , коммутативной алгебре , пространствам модулей и представлениям групп Ли, уходят корнями в эту область.

Более подробно, учитывая конечномерное векторное пространство V размерности n , мы можем рассмотреть симметрическую алгебру S ( S ^r ( V )) многочленов степени r над V и действие на ней GL( V ). На самом деле точнее рассматривать относительные инварианты GL( V ) или представления SL( V ), если мы собираемся говорить об инвариантах : это потому, что скалярное кратное тождества будет действовать на тензор ранга r в S( V ) через «вес» скаляра в r -й степени. Тогда задача состоит в том, чтобы определить подалгебру инвариантов I ( S ^r ( V )) для действия. Говоря классическим языком, мы рассматриваем инварианты n -арных r -иков, где n — размерность  V. (Это не то же самое, что найти инварианты GL( V ) на S( V ); это неинтересная проблема, поскольку единственные такие инварианты являются константами.) Наиболее изученным случаем были инварианты бинарных форм, где n  = 2.

Другая работа включала работу Феликса Кляйна по вычислению инвариантных колец действий конечных групп ( бинарные многогранные группы , классифицированные по классификации ADE ); это координатные кольца особенностей Дюваля . ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

Подобно арабскому фениксу, восстающему из пепла, теория инвариантов, объявленная мертвой на рубеже веков, вновь оказалась на переднем крае математики.

Кунг и Рота (1984, стр.27)

Работы Дэвида Гильберта , доказавшие, что I ( V ) во многих случаях были конечно представлены, практически положили конец классической теории инвариантов на несколько десятилетий, хотя классическая эпоха в предмете продолжалась до последних публикаций Альфреда Янга , более 50 лет. годы спустя. Явные вычисления для конкретных целей известны и в наше время (например, Сиода с двоичными октавами).

Теоремы Гильберта

Гильберт (1890) доказал, что если V — конечномерное представление комплексной алгебраической группы G = SL _n ( C ), то кольцо инвариантов группы G , действующее на кольцо многочленов R = S ( V ), конечно порождено. ^В его доказательстве использовался оператор Рейнольдса ρ из R в RG со свойствами

• ρ (1) = 1
• ρ ( а + б ) знак равно ρ ( а ) + ρ ( б )
• ρ ( ab ) = a ρ ( b ) всякий раз, когда a является инвариантом.

Гильберт построил оператор Рейнольдса явно, используя омега-процесс Кэли Ω, хотя сейчас более распространено строить ρ косвенно следующим образом: для компактных групп G оператор Рейнольдса задается путем усреднения по G , а некомпактные редуктивные группы могут быть сведено к случаю компактных групп с помощью унитарного приема Вейля .

Учитывая оператор Рейнольдса, теорема Гильберта доказывается следующим образом. Кольцо R является кольцом полиномов, поэтому оно градуировано по степеням, а идеал I определяется как идеал, порожденный однородными инвариантами положительных степеней. По базовой теореме Гильберта идеал I конечно порождён (как идеал). Следовательно, I конечно порождается конечным числом инвариантов G (поскольку, если нам дано любое – возможно, бесконечное – подмножество S , которое порождает конечно порожденный идеал I , то I уже порождается некоторым конечным подмножеством S ). Пусть i ₁ ,..., i _n — конечное множество инвариантов группы G , порождающей I (как идеал). Основная идея состоит в том, чтобы показать, что они порождают кольцо инвариантов R ^G. Предположим, что x — некоторый однородный инвариант степени d  > 0. Тогда

Икс знак равно а ₁ я ₁ + ... + а _п я _п

для некоторого _aj в кольце R , поскольку x находится в идеале I. Мы можем предположить, что a _j однороден степени d − deg i _j для каждого j (в противном случае мы заменим a _j его однородным компонентом степени d − deg i _j ; если мы сделаем это для каждого j , уравнение x = a ₁ i ₁ + ... + a _n in _n останется в силе). Теперь применение оператора Рейнольдса к x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n дает

Икс знак равно ρ( а ₁ ) я ₁ + ... + ρ ( а _п ) я _п

Теперь мы собираемся показать, что x лежит в R -алгебре, порожденной i ₁ ,..., in _n .

Во-первых, давайте сделаем это в случае, когда все элементы ρ( a _k ) имеют степень меньше d . В этом случае все они находятся в R -алгебре, порожденной i ₁ ,..., i _n (по нашему предположению индукции). Следовательно, x также находится в этой R -алгебре (поскольку x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _n ).

_{В общем случае мы не можем быть уверены ,} что все элементы ρ( ak ) имеют степень меньше d . Но мы можем заменить каждый ρ( a _k ) его однородным компонентом степени d − deg i _j . В результате эти модифицированные ρ( a _k ) по-прежнему остаются G -инвариантами (поскольку каждая однородная компонента G -инварианта является G -инвариантом) и имеют степень меньше d (поскольку deg i _k > 0). Уравнение x = ρ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( an ) i _n по-прежнему справедливо для нашей модифицированной ρ( a _{k ), поэтому мы снова} можем заключить, что x лежит в R -алгебре, порожденной i ₁ ,..., в _н .

Следовательно, индукцией по степени все элементы RG находятся в R -алгебре, порожденной i _{1 ,} ^... , i _n .

Геометрическая теория инвариантов

Современная формулировка геометрической теории инвариантов принадлежит Дэвиду Мамфорду и подчеркивает построение фактора по групповому действию, которое должно захватывать инвариантную информацию через свое координатное кольцо. Это тонкая теория, в которой успех достигается за счет исключения некоторых «плохих» орбит и идентификации других с «хорошими» орбитами. В отдельной разработке был реабилитирован символический метод теории инвариантов , по-видимому, эвристическая комбинаторная запись.

Одной из причин было построение пространств модулей в алгебраической геометрии как факторов схем, параметризующих отмеченные объекты. В 1970-х и 1980-х годах теория развивала взаимодействие с симплектической геометрией и эквивариантной топологией и использовалась для построения пространств модулей объектов дифференциальной геометрии , таких как инстантоны и монополи .

Смотрите также

• Теорема Грама
• Теория представлений конечных групп
• Серия Молиен
• Инвариант (математика)
• Инвариант двоичной формы
• Инвариантная мера
• Первая и вторая основные теоремы теории инвариантов.

Рекомендации

1. Борель, Арманд (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп . Том. История математики, Vol. 21. Американское математическое общество и Лондонское математическое общество. ISBN 978-0821802885.
2. Вольфсон, Пол Р. (2008). «Джордж Буль и истоки теории инвариантов». История Математики . Эльзевир Б.В. 35 (1): 37–46. дои : 10.1016/j.hm.2007.06.004. ISSN  0315-0860.

• Дьедонне, Жан А .; Каррелл, Джеймс Б. (1970), «Теория инвариантов, старая и новая», « Достижения в области математики » , 4 : 1–80, doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 , ISSN  0001-8708, MR  0255525Перепечатано как Дьедонне, Жан А.; Каррелл, Джеймс Б. (1971), «Теория инвариантов, старая и новая», « Достижения в математике » , Бостон, Массачусетс: Academic Press , 4 : 1–80, doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 , ISBN 978-0-12-215540-6, МР  0279102
• Долгачев, Игорь (2003), Лекции по теории инвариантов , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 296, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511615436, ISBN. 978-0-521-52548-0, МР  2004511
• Грейс, Дж. Х.; Янг, Альфред (1903), Алгебра инвариантов , Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Гроссханс, Фрэнк Д. (1997), Алгебраические однородные пространства и теория инвариантов , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-63628-5
• Кунг, Джозеф PS; Рота, Джан-Карло (1984), «Инвариантная теория бинарных форм», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 10 (1): 27–85, doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 , ISSN  0002-9904, МР  0722856
• Гильберт, Дэвид (1890), «Ueber die Theorie der алгебраических форм», Mathematische Annalen , 36 (4): 473–534, doi : 10.1007/BF01208503, ISSN  0025-5831
• Гильберт, Д. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme (О полных инвариантных системах)", Math. Аннален , 42 (3): 313, doi :10.1007/BF01444162
• Нойзель, Мара Д.; Смит, Ларри (2002), Инвариантная теория конечных групп , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2916-5 Недавний ресурс для изучения модульных инвариантов конечных групп.
• Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-55821-2Введение на уровне бакалавриата в классическую теорию инвариантов бинарных форм, включая процесс Омега , начиная со страницы 87.
• Попов, В.Л. (2001) [1994], «Инварианты, теория», Энциклопедия математики , EMS Press
• Спрингер, Т. А. (1977), Теория инвариантов , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-08242-5 Старый, но все еще полезный опрос.
• Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-82445-6 Красивое введение в теорию инвариантов конечных групп и методы их вычисления с использованием базисов Грёбнера.
• Вейль, Герман (1939), Классические группы. Их инварианты и представления, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, МР  0000255
• Вейль, Герман (1939b), «Инварианты», Duke Mathematical Journal , 5 (3): 489–502, doi : 10.1215/S0012-7094-39-00540-5, ISSN  0012-7094, MR  0000030

Внешние ссылки

• Х. Крафт, К. Процессези, Классическая теория инвариантов, учебник для начинающих
• В. Л. Попов, Е. Б. Винберг, "Теория инвариантов", в Алгебраической геометрии . IV. Энциклопедия математических наук, 55 (перевод с русского издания 1989 г.) Springer-Verlag, Берлин, 1994; vi+284 с.; ISBN 3-540- 54682-0