Алгебраическая топология — это раздел математики , который использует инструменты абстрактной алгебры для изучения топологических пространств . Основная цель состоит в том, чтобы найти алгебраические инварианты , которые классифицируют топологические пространства с точностью до гомеоморфизма , хотя обычно большинство из них классифицируют с точностью до гомотопической эквивалентности .
Хотя алгебраическая топология в основном использует алгебру для изучения топологических проблем, иногда возможно также использование топологии для решения алгебраических задач. Например, алгебраическая топология позволяет удобно доказать, что любая подгруппа свободной группы снова является свободной группой.
Ниже приведены некоторые основные области, изучаемые в алгебраической топологии:
В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств . Первой и простейшей гомотопической группой является фундаментальная группа , записывающая информацию о петлях в пространстве. Интуитивно понятно, что гомотопические группы записывают информацию об основной форме или дырах топологического пространства.
В алгебраической топологии и абстрактной алгебре гомология (частично от греческого ὁμός homos «идентичный») — это определенная общая процедура, позволяющая связать последовательность абелевых групп или модулей с данным математическим объектом, таким как топологическое пространство или группа . [1]
В теории гомологии и алгебраической топологии когомологии — это общий термин для обозначения последовательности абелевых групп, определенных из коцепного комплекса . То есть когомологии определяются как абстрактное исследование коцепей , коциклов и кограниц . Когомологии можно рассматривать как метод назначения алгебраических инвариантов топологическому пространству, которое имеет более тонкую алгебраическую структуру , чем гомологии . Когомологии возникают в результате алгебраической дуализации конструкции гомологии. Говоря менее абстрактным языком, коцепи в фундаментальном смысле должны приписывать «количества» цепям теории гомологии.
Многообразие — это топологическое пространство , которое вблизи каждой точки напоминает евклидово пространство . Примеры включают плоскость , сферу и тор , которые могут быть реализованы в трех измерениях, а также бутылку Клейна и настоящую проективную плоскость , которые не могут быть вложены в три измерения, но могут быть вложены в четыре измерения. Обычно результаты в алгебраической топологии фокусируются на глобальных, недифференцируемых аспектах многообразий; например, двойственность Пуанкаре .
Теория узлов — это изучение математических узлов . Хотя математический узел вдохновлен узлами, которые встречаются в повседневной жизни на шнурках и веревках, он отличается тем, что концы соединены так, что его невозможно развязать. Говоря точным математическим языком , узел — это вложение окружности в трехмерное евклидово пространство . Два математических узла эквивалентны, если один можно преобразовать в другой посредством деформации самого себя (известной как окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной веревкой, которые не предполагают разрезания веревки или пропускания ее сквозь себя.
Симплициальный комплекс — это топологическое пространство определенного вида, построенное путем «склейки» точек , отрезков прямых , треугольников и их n -мерных аналогов (см. иллюстрацию). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества , появляющимся в современной симплициальной теории гомотопий. Чисто комбинаторным аналогом симплициального комплекса является абстрактный симплициальный комплекс .
Комплекс CW — это тип топологического пространства, введенный Дж. Х. Уайтхедом для удовлетворения потребностей теории гомотопий . Этот класс пространств шире и имеет некоторые лучшие категориальные свойства, чем симплициальные комплексы , но все же сохраняет комбинаторную природу, позволяющую производить вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом).
Старое название предмета — комбинаторная топология , подразумевающее акцент на том, как пространство X конструируется из более простых [2] (современный стандартный инструмент для такого построения — комплекс CW ). В 1920-е и 1930-е годы возрастал акцент на исследовании топологических пространств путем нахождения в них соответствий алгебраическим группам , что привело к изменению названия на алгебраическую топологию. [3] Название комбинаторной топологии до сих пор иногда используется, чтобы подчеркнуть алгоритмический подход, основанный на декомпозиции пространств. [4]
В алгебраическом подходе находится соответствие между пространствами и группами , которое соблюдает отношение гомеоморфизма (или более общей гомотопии ) пространств. Это позволяет преобразовать утверждения о топологических пространствах в утверждения о группах, которые имеют большую управляемую структуру, что часто упрощает доказательство этих утверждений. Два основных способа, которыми это можно сделать, — это фундаментальные группы или, в более общем плане, теория гомотопий , а также группы гомологий и когомологий . Фундаментальные группы дают нам основную информацию о структуре топологического пространства, но они часто неабелевы , и с ними может быть сложно работать. Фундаментальная группа (конечного) симплициального комплекса действительно имеет конечное представление .
С другой стороны, группы гомологий и когомологий абелевы и во многих важных случаях конечно порождены. Конечно порожденные абелевы группы полностью классифицированы, и с ними особенно легко работать.
Вообще все конструкции алгебраической топологии функториальны ; здесь зародились понятия категории , функтора и естественного преобразования . Фундаментальные группы, а также группы гомологий и когомологий являются не только инвариантами основного топологического пространства в том смысле, что два гомеоморфных топологических пространства имеют одни и те же ассоциированные группы, но также соответствуют им ассоциированные морфизмы - непрерывное отображение пространств индуцирует групповой гомоморфизм на ассоциированные группы, и эти гомоморфизмы можно использовать, чтобы показать несуществование (или, что гораздо глубже, существование) отображений.
Одним из первых математиков, работавших с различными типами когомологий, был Жорж де Рам . Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий через когомологии де Рама , когомологии Чеха или пучка, чтобы исследовать разрешимость дифференциальных уравнений , определенных на рассматриваемом многообразии. Де Рам показал, что все эти подходы взаимосвязаны и что для замкнутого ориентированного многообразия числа Бетти, полученные с помощью симплициальных гомологий, были теми же числами Бетти, что и числа, полученные с помощью когомологий де Рама. Это было расширено в 1950-х годах, когда Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод обобщили этот подход. Они определили гомологии и когомологии как функторы , снабженные естественными преобразованиями, подчиняющимися определенным аксиомам (например, слабая эквивалентность пространств переходит к изоморфизму групп гомологий), проверили, что все существующие теории (ко) гомологий удовлетворяют этим аксиомам, а затем доказали, что такие аксиоматизация однозначно характеризовала теорию.
Классические приложения алгебраической топологии включают:
