Цепочка (алгебраическая топология)

Формальная линейная комбинация

В алгебраической топологии k-цепь представляет собой формальную линейную комбинацию k - клеток клеточного комплекса . В симплициальных комплексах (соответственно кубических комплексах ) k -цепи представляют собой комбинации k -симплексов (соответственно k -кубов), ^{[1] [2] [3]} но не обязательно связанных. Цепи используются в гомологии ; элементы группы гомологии являются классами эквивалентности цепей.

Определение

Для симплициального комплекса группа -цепей определяется выражением : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle C_{n}(X)=\left\{\sum \limits _{i}m_{i}\sigma _{i}|m_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$

где сингулярные симплексы . _ _ что любой элемент не обязательно должен быть связным симплициальным комплексом. ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$

Интеграция по цепочкам

Интегрирование определяется в цепочках путем взятия линейной комбинации интегралов по симплексам в цепочке с коэффициентами (которые обычно являются целыми числами). Совокупность всех k -цепей образует группу, и последовательность этих групп называется цепным комплексом .

Граничный оператор на цепях

Граница ломаной кривой представляет собой линейную комбинацию ее узлов; в данном случае это некоторая линейная комбинация от _A1 до _A6 . Предполагая, что все сегменты ориентированы слева направо (в порядке возрастания от A _k до A _{k +1} ), граница равна A ₆ − A ₁ .

Замкнутая ломаная кривая, предполагающая постоянную ориентацию, имеет нулевую границу.

Границей цепочки называется линейная комбинация границ симплексов цепочки. Границей k -цепи является ( k −1)-цепь. Обратите внимание, что граница симплекса - это не симплекс, а цепочка с коэффициентами 1 или -1 - таким образом, цепи представляют собой замыкание симплексов под действием граничного оператора.

Пример 1. Границей пути является формальная разность его конечных точек: это телескопическая сумма . Для иллюстрации: если 1-цепь представляет собой путь от точки к точке , где , и являются ее составляющими 1-симплексами, то ${\displaystyle c=t_{1}+t_{2}+t_{3}\,}$ ${\displaystyle v_{1}\,}$ ${\displaystyle v_{4}\,}$ ${\displaystyle t_{1}=[v_{1},v_{2}]\,}$ ${\displaystyle t_{2}=[v_{2},v_{3}]\,}$ ${\displaystyle t_{3}=[v_{3},v_{4}]\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{1}c&=\partial _{1}(t_{1}+t_{2}+t_{3})\\&=\partial _{1}(t_{1})+\partial _{1}(t_{2})+\partial _{1}(t_{3})\\&=\partial _{1}([v_{1},v_{2}])+\partial _{1}([v_{2},v_{3}])+\partial _{1}([v_{3},v_{4}])\\&=([v_{2}]-[v_{1}])+([v_{3}]-[v_{2}])+([v_{4}]-[v_{3}])\\&=[v_{4}]-[v_{1}].\end{aligned}}}$

Пример 2: Граница треугольника представляет собой формальную сумму его ребер со знаками, расположенными так, чтобы обеспечить обход границы против часовой стрелки.

Цепь называется циклом, если ее граница равна нулю. Цепь, являющаяся границей другой цепи, называется границей . Границы являются циклами, поэтому цепи образуют цепной комплекс , группы гомологий которого (циклы по модулю границ) называются симплициальными группами гомологий .

Пример 3: Плоскость, проколотая в начале координат, имеет нетривиальную группу 1-гомологии, поскольку единичная окружность является циклом, а не границей.

В дифференциальной геометрии двойственность между граничным оператором на цепях и внешней производной выражается общей теоремой Стокса .

Рекомендации

1. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0.
2. Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1441979391. ОСЛК  697506452.
3. Качиньский, Томаш; Мишайков, Константин; Мрозек, Мариан (2004). Вычислительная гомология . Прикладные математические науки. Том. 157. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/b97315. ISBN 0-387-40853-3. МР  2028588.