Условия интегрируемости дифференциальных систем.

В математике некоторые системы уравнений в частных производных полезно формулировать с точки зрения лежащей в их основе геометрической и алгебраической структуры в терминах системы дифференциальных форм . Идея состоит в том , чтобы воспользоваться тем, что дифференциальная форма ограничивается подмногообразием , и тем фактом, что это ограничение совместимо с внешней производной . Это один из возможных подходов к некоторым переопределенным системам , например, включая пары Лакса интегрируемых систем . Система Пфаффа определяется только 1-формами , но теория включает и другие типы примеров дифференциальной системы . Более подробно, система Пфаффа — это набор 1-форм на гладком многообразии (которое присваивается равным 0, чтобы найти решения системы).

Учитывая набор дифференциальных 1-форм на -мерном многообразии , интегральное многообразие представляет собой погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие, касательное пространство которого в каждой точке аннулируется (обратным движением) каждого . ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i},i=1,2,\dots ,k}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \textstyle p\in N}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$

Максимальное интегральное многообразие — это погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие.

${\displaystyle i:N\subset M}$

такое, что ядро ​​отображения ограничения на формы

${\displaystyle i^{*}:\Omega _{p}^{1}(M)\rightarrow \Omega _{p}^{1}(N)}$

охватывается в каждой точке . Если при этом линейно независимы, то ( )-мерна. ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n-k}$

Система Пфаффа называется вполне интегрируемой, если она допускает слоение на максимальные целочисленные многообразия. (Обратите внимание, что слоение не обязательно должно быть регулярным , т. е. листья слоения не могут быть вложенными подмногообразиями.) ${\displaystyle M}$

Условие интегрируемости — это условие, гарантирующее наличие целых подмногообразий достаточно высокой размерности. ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Необходимые и достаточные условия

Необходимые и достаточные условия полной интегрируемости пфаффовой системы дает теорема Фробениуса . Одна из версий гласит, что если идеал, алгебраически порожденный набором αi _внутри кольца Ω( M ), дифференциально замкнут, другими словами ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle d{\mathcal {I}}\subset {\mathcal {I}},}$

тогда система допускает слоение на максимальные целочисленные многообразия. (Обратное очевидно из определений.)

Пример неинтегрируемой системы

Не каждая система Пфаффа полностью интегрируема в смысле Фробениуса. Например, рассмотрим следующую одноформу на R ³ − (0,0,0) :

${\displaystyle \theta =z\,dx+x\,dy+y\,dz.}$

Если бы dθ находился в идеале, порожденном θ , мы бы получили из-за асимметрии клинового произведения

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0.}$

Но прямой расчет дает

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz}$

что является ненулевым кратным стандартной формы объема на R ³ . Следовательно, двумерных слоев нет и система не является полностью интегрируемой.

С другой стороны, для кривой, определяемой формулой

${\displaystyle x=t,\quad y=c,\qquad z=e^{-t/c},\quad t>0}$

тогда θ, определенное выше, равно 0, и, следовательно, легко проверить, что кривая является решением (т. е. интегральной кривой ) для указанной выше системы Пфаффа для любой ненулевой константы c .

Примеры приложений

В римановой геометрии мы можем рассмотреть задачу нахождения ортогонального кофрейма θi ^, т.е. набора 1-форм, образующих базис кокасательного пространства, в каждой точке которого замкнуты (dθi ⁼ 0, i  = 1, 2 , ...,  н ). По лемме Пуанкаре θ ⁱ локально будет иметь форму d x ⁱ для некоторых функций x ⁱ на многообразии и, таким образом, обеспечивать изометрию открытого подмножества M с открытым подмножеством R ⁿ . Такое многообразие называется локально плоским. ${\displaystyle \langle \theta ^{i},\theta ^{j}\rangle =\delta ^{ij}}$

Эта проблема сводится к вопросу о расслоении кофреймов M . Предположим, у нас был такой закрытый кофрейм

${\displaystyle \Theta =(\theta ^{1},\dots ,\theta ^{n}).}$

Если бы у нас был другой кофрейм , то эти два кофрейма были бы связаны ортогональным преобразованием. ${\displaystyle \Phi =(\phi ^{1},\dots ,\phi ^{n})}$

${\displaystyle \Phi =M\Theta }$

Если 1-форма связности равна ω , то мы имеем

${\displaystyle d\Phi =\omega \wedge \Phi }$

С другой стороны,

${\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi &=(dM)\wedge \Theta +M\wedge d\Theta \\&=(dM)\wedge \Theta \\&=(dM)M^{-1}\wedge \Phi .\end{aligned}}}$

Но – форма Маурера–Картана для ортогональной группы . Следовательно, оно подчиняется структурному уравнению , и это всего лишь кривизна M: после применения теоремы Фробениуса можно прийти к выводу, что многообразие M локально плоское тогда и только тогда, когда его кривизна равна нулю. ${\displaystyle \omega =(dM)M^{-1}}$ ${\displaystyle d\omega +\omega \wedge \omega =0,}$ ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =0.}$

Обобщения

Существует множество обобщений условий интегрируемости дифференциальных систем, которые не обязательно порождены одной формой. Наиболее известными из них являются теорема Картана–Келера , которая работает только для вещественных аналитических дифференциальных систем, и теорема Картана–Кураниши о продолжении . Подробности см . в разделе «Дальнейшее чтение» . Теорема Ньюландера -Ниренберга дает условия интегрируемости почти сложной структуры.

дальнейшее чтение

• Брайант, Черн, Гарднер, Гольдшмидт, Гриффитс, Внешние дифференциальные системы , публикации НИИ математических наук, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97411-3
• Олвер П., Эквивалентность, инварианты и симметрия , Кембридж, ISBN 0-521-47811-1 . 
• Айви Т., Ландсберг Дж. М. Картан для начинающих: дифференциальная геометрия с помощью движущихся систем отсчета и внешних дифференциальных систем , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3375-8 
• Дунайски М., Солитоны, инстантоны и твисторы , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-857063-9