это точно . Пусть – треугольник с геодезическими отрезками в качестве сторон. Говорят, что он удовлетворяет неравенству, если в пространстве модели существует треугольник сравнения со сторонами той же длины, что и стороны , такой, что расстояния между точками на меньше или равны расстояниям между соответствующими точками на .
Геодезическое метрическое пространство называется пространством, если каждый геодезический треугольник с периметром меньше , чем удовлетворяет неравенству . Метрическое пространство (не обязательно геодезическое) называется пространством кривизны, если каждая точка имеет геодезически выпуклую окрестность . Можно сказать, что пространство с кривизной имеет неположительную кривизну .
Примеры
Любое пространство – это также пространство для всех . На самом деле верно обратное: если есть пространство для всех , то это пространство.
-мерное евклидово пространство со своей обычной метрикой является пространством . В более общем смысле любое реальное пространство внутреннего продукта (не обязательно полное) является пространством; и наоборот, если действительное нормированное векторное пространство является пространством для некоторого действительного , то это пространство внутреннего продукта.
-мерное гиперболическое пространство со своей обычной метрикой является пространством , а значит, и пространством.
-мерная единичная сфера представляет собой пространство.
В более общем смысле стандартное пространство — это пространство. Так, например, независимо от размерности сфера радиуса (и постоянной кривизны ) является пространством. Обратите внимание, что диаметр сферы (измеренный на поверхности сферы) не (измеренный через центр сферы).
Проколотая плоскость не является пространством, поскольку она не геодезически выпукла (например, точки и не могут быть соединены геодезической с длиной дуги 2), но каждая точка имеет геодезически выпуклую окрестность, поэтому является пространством кривизны. .
Замкнутое подпространство данного , снабженное индуцированной метрикой длины, не является пространством ни для какого .
Любое произведение пространств есть . (Это не относится к отрицательным аргументам.)
Пространства Адамара
В частном случае полное пространство CAT(0) также известно как пространство Адамара ; это по аналогии с ситуацией для многообразий Адамара . Пространство Адамара стягиваемо (оно имеет гомотопический тип одной точки), и между любыми двумя точками пространства Адамара существует единственный соединяющий их геодезический отрезок (фактически оба свойства справедливы и для общего, возможно, неполного, CAT (0) пробелы). Самое главное, что функции расстояния в пространствах Адамара выпуклы : если две геодезические в X определены на одном и том же интервале времени I , то функция, заданная формулой
выпукло по t .
Свойства пространств CAT( k )
Пусть будет пространство. Тогда выполняются следующие свойства:
Учитывая любые две точки (с if ), существует уникальный геодезический сегмент, который соединяется с ; более того, этот отрезок непрерывно меняется в зависимости от его конечных точек.
Любая локальная геодезическая длиной не более является геодезической.
- шары радиусом меньше, чем ( геодезически) выпуклые.
-Шарики радиуса меньше, чем сжимаемые.
Приближенные середины близки к серединам в следующем смысле: для всякого и всякого существует такое, что если — середина геодезического отрезка от до с и
затем .
Из этих свойств следует, что универсальная оболочка всякого пространства стягиваема; в частности, высшие гомотопические группы такого пространства тривиальны . Как показывает пример -сферы , вообще говоря, нет никакой надежды на сжимаемость пространства, если .
Поверхности неположительной кривизны
В области, где кривизна поверхности удовлетворяет K ≤ 0 , геодезические треугольники удовлетворяют CAT(0) неравенствам геометрии сравнения , изученным Картаном , Александровым и Топоноговым , и рассмотренным позже с другой точки зрения Брюа и Титсом . Благодаря видению Громова , эта характеристика неположительной кривизны в терминах основного метрического пространства оказала глубокое влияние на современную геометрию и, в частности, на геометрическую теорию групп . Многие результаты, известные для гладких поверхностей и их геодезических, такие как метод Биркгофа построения геодезических с помощью его процесса укорочения кривых или теорема Ван Мангольдта и Адамара о том, что односвязная поверхность неположительной кривизны гомеоморфна плоскости, одинаково справедливы в этой более общая установка.
Неравенство сравнения Александрова
Простейшая форма неравенства сравнения, впервые доказанная для поверхностей Александровым около 1940 года, гласит, что
Расстояние между вершиной геодезического треугольника и серединой противоположной стороны всегда меньше соответствующего расстояния в треугольнике сравнения в плоскости с одинаковыми длинами сторон.
Неравенство следует из того, что если c ( t ) описывает геодезическую, параметризованную длиной дуги, и a — фиксированная точка, то
Взяв геодезические полярные координаты с началом в точке a так, что ‖ c ( t )‖ = r ( t ) , выпуклость эквивалентна
При переходе к нормальным координатам u , v в точке c ( t ) это неравенство принимает вид
ты 2 + ЧАС -1 ЧАС р v 2 ≥ 1 ,
где ( u , v ) соответствует единичному вектору ċ ( t ) . Это следует из неравенства H r ≥ H , являющегося следствием неотрицательности производной вронскиана H и r из теории Штурма – Лиувилля . [1]
^ Бергер 2004; Йост, Юрген (1997), Неположительная кривизна: геометрические и аналитические аспекты , Лекции по математике, ETH Zurich, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-5736-9
Александр, Стефани; Капович, Виталий; Петрунин Антон. «Александровская геометрия, глава 7» (PDF) . Проверено 7 апреля 2011 г.
Александр, Стефани; Капович, Виталий; Петрунин Антон. «Приглашение к геометрии Александрова: пространства CAT[0]». arXiv : 1701.03483 [math.DG].
Баллманн, Вернер (1995). Лекции о пространствах неположительной кривизны . Семинар DMV 25. Базель: Birkhäuser Verlag. стр. VIII+112. ISBN 3-7643-5242-6. МР 1377265.
Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук] 319. Берлин: Springer-Verlag. стр. XXII+643. ISBN 3-540-64324-9. МР 1744486.
Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». Очерки по теории групп . Математика. наук. Рез. Инст. Опубл. 8. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 75–263. МР 0919829.