Группа круга

Группа Ли комплексных чисел единичного модуля; топологически окружность

Умножение на группе окружностей эквивалентно сложению углов.

В математике группа окружности , обозначаемая как или ⁠ ⁠ , является мультипликативной группой всех комплексных чисел с абсолютным значением 1, то есть единичной окружностью в комплексной плоскости или просто единичными комплексными числами ^[1] ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ $${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$$

Группа окружности образует подгруппу ⁠ ⁠ , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ мультипликативной группы всех ненулевых комплексных чисел. Поскольку является абелевой , то отсюда следует, что является также. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Единичное комплексное число в группе окружности представляет собой вращение комплексной плоскости вокруг начала координат и может быть параметризовано угловой мерой ⁠ ⁠ ${\displaystyle \theta }$ : $${\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Это экспоненциальное отображение для группы кругов.

Группа круга играет центральную роль в двойственности Понтрягина и в теории групп Ли .

Обозначение для группы окружности вытекает из того факта, что при стандартной топологии (см. ниже) группа окружности является 1- тором . В более общем случае ( прямое произведение с собой помноженное на) геометрически является -тором. ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Группа окружности изоморфна специальной ортогональной группе ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ .

Элементарное введение

Один из способов думать о группе окружности заключается в том, что она описывает, как складывать углы , где разрешены только углы от 0° до 360° или или . Например, диаграмма иллюстрирует, как сложить 150° с 270°. Ответ: 150° + 270° = 420° , но, думая в терминах группы окружности, мы можем «забыть» тот факт, что мы один раз обошли круг. Поэтому мы корректируем наш ответ на 360°, что дает 420° ≡ 60° ( mod 360° ). ${\displaystyle \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \in (-\pi ,+\pi ]}$

Другое описание дано в терминах обычного (действительного) сложения, где разрешены только числа от 0 до 1 (при этом 1 соответствует полному повороту: 360° или ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\pi }$ ), т. е. действительные числа по модулю целых чисел: ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ . Этого можно добиться, отбрасывая цифры, стоящие перед десятичной точкой. Например, когда мы вычисляем 0,4166... ​​+ 0,75, ответ будет 1,1666..., но мы можем отбросить ведущую 1, поэтому ответ (в группе круга) будет просто     с некоторым предпочтением 0,166..., потому что ⁠ ⁠ . ${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\equiv 1.1{\bar {6}}\equiv -0.8{\bar {3}}\;({\text{mod}}\,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\in [0,1)}$

Топологическая и аналитическая структура

Группа окружности — это больше, чем просто абстрактный алгебраический объект. Она имеет естественную топологию, если рассматривать ее как подпространство комплексной плоскости. Поскольку умножение и инверсия являются непрерывными функциями на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ , группа окружности имеет структуру топологической группы . Более того, поскольку единичная окружность является замкнутым подмножеством комплексной плоскости, группа окружности является замкнутой подгруппой (которая сама рассматривается как топологическая группа). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$

Можно сказать даже больше. Окружность — это 1-мерное вещественное многообразие , а умножение и инверсия — вещественно-аналитические отображения на окружности. Это дает группе окружности структуру однопараметрической группы , примера группы Ли . Фактически, с точностью до изоморфизма, это единственная 1-мерная компактная связная группа Ли. Более того, каждая -мерная компактная связная абелева группа Ли изоморфна ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

Изоморфизмы

Группа окружностей появляется в различных формах в математике. Мы перечислим некоторые из наиболее распространенных форм здесь. В частности, мы показываем, что $${\displaystyle \mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2).}$$

Обратите внимание, что косая черта (/) здесь обозначает фактор-группу .

Множество всех унитарных матриц размера 1×1 , очевидно, совпадает с группой окружности; условие унитарности эквивалентно условию, что ее элемент имеет абсолютное значение 1. Следовательно, группа окружности канонически изоморфна ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ , первой унитарной группе .

Экспоненциальная функция порождает групповой гомоморфизм из аддитивных действительных чисел в группу окружности посредством отображения ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ $${\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Последнее равенство — это формула Эйлера или комплексная экспонента. Действительное число θ соответствует углу (в радианах ) на единичной окружности, измеренному против часовой стрелки от положительной оси x  . То, что это отображение является гомоморфизмом, следует из того факта, что умножение единичных комплексных чисел соответствует сложению углов: $${\displaystyle e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.}$$

Это экспоненциальное отображение, очевидно, является сюръективной функцией от до ⁠ ⁠ . Однако оно не является инъективным . Ядром этого отображения является множество всех целых кратных ⁠ ⁠ . По первой теореме об изоморфизме мы тогда имеем, что ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$$

После масштабирования мы также можем сказать, что изоморфно ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

Если комплексные числа реализованы как действительные матрицы 2×2 (см. комплексное число ), единичные комплексные числа соответствуют ортогональным матрицам 2×2 с единичным определителем . В частности, мы имеем $${\displaystyle e^{i\theta }\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta }\right).}$$

Эта функция показывает, что группа окружности изоморфна специальной ортогональной группе, поскольку где — матричное умножение. ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ $${\displaystyle f\left(e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}\right)={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta _{1}}\right)\times f\left(e^{i\theta _{2}}\right),}$$ ${\displaystyle \times }$

Этот изоморфизм имеет геометрическую интерпретацию, заключающуюся в том, что умножение на единичное комплексное число является собственным поворотом в комплексной (и действительной) плоскости, и каждый такой поворот имеет эту форму.

Характеристики

Каждая компактная группа Ли размерности > 0 имеет подгруппу , изоморфную группе окружности. Это означает, что, думая в терминах симметрии , можно ожидать, что компактная группа симметрии, действующая непрерывно, будет иметь однопараметрические подгруппы окружности, действующие; последствия в физических системах видны, например, при инвариантности вращения и спонтанном нарушении симметрии . ${\displaystyle \mathrm {G} }$

Группа окружности имеет много подгрупп , но ее единственные собственные замкнутые подгруппы состоят из корней из единицы : для каждого целого числа корни -й ${\displaystyle n>0}$ степени из единицы образуют циклическую группу порядка  , которая единственна с точностью до изоморфизма. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Точно так же, как действительные числа являются пополнением b -адических рациональных чисел для любого натурального числа ⁠ ⁠ , группа окружности является пополнением группы Прюфера для ⁠ ⁠ , заданной прямым пределом ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varinjlim \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z} }$

Представления

Представления группы окружности легко описать. Из леммы Шура следует , что неприводимые комплексные представления абелевой группы все одномерны. Поскольку группа окружности компактна, любое представление должно принимать значения в ⁠ ⁠ . Следовательно, неприводимые представления группы окружности — это просто гомоморфизмы из группы окружности в себя. $${\displaystyle \rho :\mathbb {T} \to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }}$$ ${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T} }$

Для каждого целого числа мы можем определить представление группы окружности как ⁠ ⁠ . Все эти представления неэквивалентны . Представление сопряжено с ⁠ ⁠ : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi _{n}}$ ${\displaystyle \phi _{n}(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle \phi _{-n}}$ ${\displaystyle \phi _{n}}$ $${\displaystyle \phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.}$$

Эти представления — просто характеры группы окружности. Группа характеров — это, очевидно, бесконечная циклическая группа, порожденная ⁠ ⁠ : ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .}$$

Неприводимые действительные представления группы окружности — это тривиальное представление (которое является 1-мерным) и представления, принимающие значения в ⁠ ⁠ . Здесь у нас есть только положительные целые числа ⁠ ⁠ , поскольку представление эквивалентно ⁠ ⁠ . $${\displaystyle \rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},}$$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho _{-n}}$ ${\displaystyle \rho _{n}}$

Структура группы

Группа окружности является делимой группой . Ее подгруппа кручения задается множеством всех корней степени - из единицы для всех и изоморфна ⁠ ⁠ . Теорема о структуре для делимых групп и аксиома выбора вместе говорят нам, что изоморфна прямой сумме с числом копий ⁠ ⁠ . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Число копий должно быть ( мощность континуума ), чтобы мощность прямой суммы была правильной. Но прямая сумма копий изоморфна ⁠ ⁠ , как и векторное пространство размерности над ⁠ ⁠ . Таким образом ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$$

Изоморфизм можно доказать тем же способом, поскольку также является делимой абелевой группой, подгруппа кручения которой совпадает с подгруппой кручения группы ⁠ ⁠ . $${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Смотрите также

• Математический портал

• Группа рациональных точек на единичной окружности
• Однопараметрическая подгруппа
• n -сфера
• Ортогональная группа
• Фазовый фактор (применение в квантовой механике)
• Номер вращения
• Соленоид

Примечания

1. Джеймс, Роберт С .; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (Пятое изд.). Chapman & Hall. стр. 436. ISBN 9780412990410Единичное комплексное число — это комплексное число с единичной абсолютной величиной. .
2. Фукс, Ласло (2015). "Пример 3.5". Абелевы группы . Springer Monographs in Mathematics. Springer, Cham. стр. 141. doi :10.1007/978-3-319-19422-6. ISBN 978-3-319-19421-9. МР  3467030.

Ссылки

• Джеймс, Роберт С.; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (Пятое издание). Chapman & Hall. ISBN 9780412990410.

Дальнейшее чтение

• Хуа Луогенг (1981) Начиная с единичного круга , Springer Verlag , ISBN 0-387-90589-8 . 

Внешние ссылки

• Гомеоморфизм и структура группы на окружности