Группа кругов

Группа Ли комплексных чисел единичного модуля; топологически круг

Умножение группы кругов эквивалентно сложению углов.

В математике группа кругов , обозначаемая или , представляет собой мультипликативную группу всех комплексных чисел с абсолютным значением 1, то есть единичный круг на комплексной плоскости или просто единичные комплексные числа ^[1] ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$

$${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$$

Группа круга образует подгруппу мультипликативной группы всех ненулевых комплексных чисел. Поскольку является абелевым , отсюда следует, что это тоже так. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Единичное комплексное число в группе кругов представляет собой вращение комплексной плоскости вокруг начала координат и может быть параметризовано с помощью угловой меры : ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Это экспоненциальная карта для группы кругов.

Группа круга играет центральную роль в двойственности Понтрягина и в теории групп Ли .

Обозначение группы окружностей связано с тем, что в стандартной топологии (см. ниже) группа окружностей представляет собой 1- тор . В более общем смысле ( прямое произведение времени на себя ) геометрически является -тором. ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Группа окружностей изоморфна специальной ортогональной группе . ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$

Элементарное введение

Один из способов рассмотрения группы кругов заключается в том, что она описывает, как добавлять углы , где разрешены только углы от 0 ° до 360 ° или или . Например, на диаграмме показано, как прибавить 150° к 270°. Ответ: 150° + 270° = 420° , но, думая о группе кругов, мы можем «забыть» тот факт, что мы один раз обогнули круг. Поэтому мы корректируем наш ответ на 360°, что дает 420° ≡ 60° ( по модулю 360° ). ${\displaystyle \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \in (-\pi ,+\pi ]}$

Другое описание основано на обычном (действительном) сложении, где разрешены только числа от 0 до 1 (при этом 1 соответствует полному повороту: 360° или ), то есть действительные числа по модулю целых чисел: . Этого можно добиться, отбросив цифры, стоящие перед десятичной запятой. Например, когда мы вычисляем 0,4166... ​​+ 0,75, ответ будет 1,1666..., но мы можем отбросить ведущую 1, поэтому ответ (в группе кружков) будет     с некоторым предпочтением 0,166... , потому что . ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\equiv 1.1{\bar {6}}\equiv -0.8{\bar {3}}\;({\text{mod}}\,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\in [0,1)}$

Топологическая и аналитическая структура

Группа кругов — это больше, чем просто абстрактный алгебраический объект. Оно имеет естественную топологию , если рассматривать его как подпространство комплексной плоскости. Поскольку умножение и обращение являются непрерывными функциями на , группа окружностей имеет структуру топологической группы . Более того, поскольку единичная окружность является замкнутым подмножеством комплексной плоскости, группа окружностей является замкнутой подгруппой (которая сама рассматривается как топологическая группа). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$

Можно сказать даже больше. Круг — это одномерное вещественное многообразие , а умножение и инверсия — вещественно-аналитические отображения на круге. Это придает группе кругов структуру однопараметрической группы , экземпляр группы Ли . Фактически с точностью до изоморфизма это единственная одномерная компактная связная группа Ли. Более того, всякая -мерная компактная связная абелева группа Ли изоморфна . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

Изоморфизмы

Группа кругов проявляется в математике в различных формах. Здесь мы перечислим некоторые из наиболее распространенных форм. В частности, мы показываем, что

$${\displaystyle \mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2).}$$

Обратите внимание, что косая черта (/) здесь обозначает факторгруппу .

Набор всех унитарных матриц размера 1×1 явно совпадает с группой окружностей; унитарное условие эквивалентно условию, что его элемент имеет абсолютное значение 1. Следовательно, группа круга канонически изоморфна первой унитарной группе . ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$

Экспоненциальная функция приводит к групповому гомоморфизму аддитивных действительных чисел в группу кругов через отображение ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

$${\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Последнее равенство — это формула Эйлера или комплексная экспонента. Действительное число θ соответствует углу (в радианах ) на единичной окружности, измеренному против часовой стрелки от положительной оси x  . То, что это отображение является гомоморфизмом, следует из того, что умножение единичных комплексных чисел соответствует сложению углов:

$${\displaystyle e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.}$$

Это экспоненциальное отображение, очевидно, является сюръективной функцией от до . Однако оно не является инъективным . Ядро этого отображения представляет собой набор всех целых кратных . Тогда по первой теореме об изоморфизме имеем, что ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle 2\pi }$

$${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$$

После изменения масштаба мы также можем сказать, что изоморфно . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

Если комплексные числа реализованы как вещественные матрицы 2×2 (см. комплексное число ), единичные комплексные числа соответствуют ортогональным матрицам 2×2 с единичным определителем . В частности, у нас есть

$${\displaystyle e^{i\theta }\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta }\right).}$$

Эта функция показывает, что группа окружностей изоморфна специальной ортогональной группе , поскольку ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$

$${\displaystyle f\left(e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}\right)={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta _{1}}\right)\times f\left(e^{i\theta _{2}}\right),}$$

${\displaystyle \times }$

Этот изоморфизм имеет геометрическую интерпретацию, согласно которой умножение на единичное комплексное число представляет собой правильное вращение в комплексной (и вещественной) плоскости, и каждое такое вращение имеет такую ​​форму.

Характеристики

Каждая компактная группа Ли размерности > 0 имеет подгруппу, изоморфную группе окружностей. Это означает, что, думая в терминах симметрии , можно ожидать, что компактная группа симметрии, действующая непрерывно, будет иметь действующие однопараметрические подгруппы окружностей; последствия в физических системах наблюдаются, например, при вращательной инвариантности и спонтанном нарушении симметрии . ${\displaystyle \mathrm {G} }$

Группа кругов имеет множество подгрупп , но ее единственные собственные замкнутые подгруппы состоят из корней из единицы : Для каждого целого числа корни -й степени из единицы образуют циклическую группу порядка , единственного с точностью до изоморфизма . ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Точно так же, как действительные числа являются пополнением b -адических рациональных чисел для каждого натурального числа , группа круга является пополнением группы Прюфера для , заданной прямым пределом . ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varinjlim \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z} }$

Представительства

Представления группы окружностей легко описать. Из леммы Шура следует , что все неприводимые комплексные представления абелевой группы одномерны. Поскольку группа окружностей компактна, любое представление

$${\displaystyle \rho :\mathbb {T} \to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }}$$

группы ${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T} }$

Для каждого целого числа мы можем определить представление группы кругов с помощью . Все эти представления неэквивалентны. Представление сопряжено с : _ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi _{n}}$ ${\displaystyle \phi _{n}(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle \phi _{-n}}$ ${\displaystyle \phi _{n}}$

$${\displaystyle \phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.}$$

Эти изображения — всего лишь символы группы кругов. Группа символов явно является бесконечной циклической группой , порожденной : ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \phi _{1}}$

$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .}$$

Неприводимые действительные представления группы кругов — это тривиальное представление (одномерное) и представления

$${\displaystyle \rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},}$$

${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho _{-n}}$ ${\displaystyle \rho _{n}}$

Структура группы

Группа кругов является делимой группой . Его периодическая подгруппа задается множеством корней всех -й степени из единицы для всех и изоморфна . Структурная теорема для делимых групп и аксиома выбора вместе говорят нам, что это изоморфно прямой сумме с числом копий . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Число копий должно быть ( мощность континуума ), чтобы мощность прямой суммы была правильной. Но прямая сумма копий изоморфна , как и векторное пространство размерности более . Таким образом ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$$

Изоморфизм

$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$$

может быть доказано тем же способом, поскольку также является делимой абелевой группой, крученая подгруппа которой совпадает с периодической подгруппой группы . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Смотрите также

• Математический портал

• Группа рациональных точек единичного круга
• Однопараметрическая подгруппа
• н -сфера
• Ортогональная группа
• Фазовый фактор (приложение в квантовой механике)
• Номер вращения
• Соленоид

Примечания

1. Джеймс, Роберт С .; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (Пятое изд.). Чепмен и Холл. п. 436. ИСБН 9780412990410. комплексное число единицы — это комплексное число абсолютного значения единицы .

Рекомендации

• Джеймс, Роберт С.; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (Пятое изд.). Чепмен и Холл. ISBN 9780412990410.

дальнейшее чтение

• Хуа Луогенг (1981) Начиная с единичного круга , Springer Verlag , ISBN 0-387-90589-8 . 

Внешние ссылки

• Гомеоморфизм и групповая структура на окружности