В дифференциальной геометрии форма кривизны описывает кривизну связности на главном расслоении . Тензор кривизны Римана в римановой геометрии можно рассматривать как частный случай.
Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли и P → B — главное G -расслоение . Пусть ω — связность Эресмана на P (которая является -значной однозначной формой на P ).
Тогда форма кривизны — это -значная 2-форма на P , определенная формулой
(В другом соглашении 1/2 не фигурирует.) Здесь обозначает внешнюю производную , определенную в статье « Форма со значениями алгебры Ли », а D обозначает внешнюю ковариантную производную . Другими словами, [1]
где X , Y — касательные векторы к P.
Существует и другое выражение для Ω: если X , Y — горизонтальные векторные поля на P , то [2]
где hZ означает горизонтальную составляющую Z , справа мы определили вертикальное векторное поле и порождающий его элемент алгебры Ли ( фундаментальное векторное поле ), и является обратной нормировочным коэффициентом, используемым по соглашению в формуле для внешней производной .
Соединение называется плоским , если его кривизна равна нулю: Ω = 0. Эквивалентно, соединение является плоским, если структурную группу можно свести к той же базовой группе, но с дискретной топологией.
Если E → B — векторное расслоение, то ω также можно рассматривать как матрицу 1-форм, и приведенная выше формула становится структурным уравнением Э. Картана:
где находится клиновое произведение . Точнее, если и обозначить компоненты ω и Ω соответственно (так что каждая из них является обычной 1-формой, а каждая — обычной 2-формой), то
Например, для касательного расслоения риманова многообразия структурная группа — это O( n ), а Ω — это 2-форма со значениями в алгебре Ли O( n ), т.е. антисимметричные матрицы . В этом случае форма Ω является альтернативным описанием тензора кривизны , т.е.
используя стандартные обозначения тензора римановой кривизны.
Если – каноническая векторная 1-форма на расслоении реперов, то кручение формы связи представляет собой векторную 2-форму, определяемую структурным уравнением
где, как указано выше, D обозначает внешнюю ковариантную производную .
Первое тождество Бьянки принимает вид
Второе тождество Бьянки принимает вид
и в более общем смысле действителен для любого соединения в основном пакете .
Тождества Бьянки можно записать в тензорной записи как:
Сжатые тождества Бьянки используются для вывода тензора Эйнштейна в уравнениях поля Эйнштейна , составляющих основную часть общей теории относительности . [ нужны разъяснения ]