Принципы действия

Фундаментальные механические принципы

Принципы действия лежат в основе фундаментальной физики, от классической механики до квантовой механики, физики элементарных частиц и общей теории относительности. ^[1] Принципы действия начинаются с энергетической функции, называемой лагранжианом, описывающей физическую систему. Накопленное значение этой энергетической функции между двумя состояниями системы называется действием . Принципы действия применяют исчисление вариации к действию. Действие зависит от энергетической функции, а энергетическая функция зависит от положения, движения и взаимодействий в системе: изменение действия позволяет вывести уравнения движения без вектора или сил.

Несколько различных принципов действия различаются ограничениями на их начальные и конечные условия. Названия принципов действия со временем менялись и различаются в деталях конечных точек путей и характере изменения. Квантовые принципы действия обобщают и обосновывают старые классические принципы. Принципы действия являются основой для версии квантовой механики Фейнмана , общей теории относительности и квантовой теории поля .

Принципы действия имеют широкое применение в физике, включая многие проблемы классической механики, но особенно в современных проблемах квантовой механики и общей теории относительности. Эти приложения накапливались в течение двух столетий по мере того, как росла мощь метода и его дальнейшее математическое развитие.

В этой статье представлены концепции принципа действия и обобщены другие статьи с более подробной информацией о концепциях и конкретных принципах.

Общие понятия

Принципы действия представляют собой « интегральные » подходы, а не « дифференциальный » подход ньютоновской механики . ^{[2] : 162} Основные идеи основаны на энергии, путях, энергетической функции, называемой лагранжианом вдоль путей, и выборе пути в соответствии с «действием», непрерывной суммой или интегралом лагранжиана вдоль пути.

Энергия, а не сила

Вводное изучение механики, науки о взаимодействующих объектах, обычно начинается с законов Ньютона , основанных на концепции силы , определяемой ускорением, которое она вызывает при применении к массе : этот подход к механике фокусируется на одной точке в пространстве и времени, пытаясь ответить на вопрос: «Что произойдет дальше?». ^[3] Механика, основанная на принципах действия, начинается с концепции действия , энергетического компромисса между кинетической энергией и потенциальной энергией , определяемого физикой задачи. Эти подходы отвечают на вопросы, касающиеся начальной и конечной точек: Какая траектория поместит баскетбольный мяч в кольцо? Если мы запустим ракету на Луну сегодня, как она сможет приземлиться там через 5 дней? ^[3] Формы Ньютона и принципа действия эквивалентны, и любая из них может решать одни и те же проблемы, но выбор подходящей формы значительно упростит решения. ${\displaystyle F=ma.}$

Функция энергии в принципах действия — это не полная энергия ( сохраняющаяся в изолированной системе ), а лагранжиан , разность между кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия объединяет энергию движения всех объектов в системе; потенциальная энергия зависит от мгновенного положения объектов и управляет движением объектов. Движение объектов помещает их в новые положения с новыми значениями потенциальной энергии, давая новое значение для лагранжиана. ^{[4] : 125}

Использование энергии вместо силы дает немедленные преимущества в качестве основы для механики. Механика силы включает в себя трехмерное векторное исчисление с 3 пространственными и 3 импульсными координатами для каждого объекта в сценарии; энергия — это скалярная величина, объединяющая информацию от всех объектов, что во многих случаях дает немедленное упрощение. Компоненты силы изменяются в зависимости от систем координат; значение энергии одинаково во всех системах координат. ^{[5] : xxv} Сила требует инерциальной системы отсчета; ^{[6] : 65} как только скорости приближаются к скорости света , специальная теория относительности глубоко влияет на механику, основанную на силах. В принципах действия относительность просто требует другого лагранжиана: сам принцип не зависит от систем координат. ^[7]

Пути, а не точки

Пояснительные диаграммы в механике, основанной на силе, обычно фокусируются на одной точке, например, на центре импульса , и показывают векторы сил и скоростей. Пояснительные диаграммы механики, основанной на действии, имеют две точки с фактическими и возможными путями, соединяющими их. ^[8] Эти схемы условностей повторяют различные сильные стороны каждого метода.

В зависимости от принципа действия две точки, соединенные путями на диаграмме, могут представлять два положения частиц в разное время, или две точки могут представлять значения в конфигурационном пространстве или в фазовом пространстве . Математическую технологию и терминологию принципов действия можно изучить, думая в терминах физического пространства, а затем применять в более мощных и общих абстрактных пространствах.

Действие по пути

Принципы действия присваивают число — действие — каждому возможному пути между двумя точками. Это число вычисляется путем сложения значения энергии для каждого небольшого участка пути, умноженного на время, проведенное на этом участке: ^[8]

действие ${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\big (}{\text{KE}}(t)-{\text{PE}}(t){\big )}\,dt,}$

где форма выражений кинетической ( ) и потенциальной ( ) энергии зависит от физической задачи, а их значение в каждой точке пути зависит от относительных координат, соответствующих этой точке. Функция энергии называется лагранжианом; в простых задачах это кинетическая энергия минус потенциальная энергия системы. ${\displaystyle {\text{KE}}}$ ${\displaystyle {\text{PE}}}$

Изменение пути

Система, движущаяся между двумя точками, выбирает один конкретный путь; другие подобные пути не выбираются. Каждый путь соответствует значению действия. Принцип действия предсказывает или объясняет, что конкретный выбранный путь имеет стационарное значение для действия системы: похожие пути вблизи выбранного имеют очень похожее значение действия. Это изменение значения действия является ключом к принципам действия.

Символ используется для обозначения вариаций пути , поэтому математически принцип действия выглядит следующим образом: ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle (\delta A)_{C}=0,}$

это означает, что в стационарной точке вариация действия с некоторыми фиксированными ограничениями равна нулю. ^{[9] : 38} Для принципов действия стационарная точка может быть минимумом или седловой точкой , но не максимумом. ^[10] Эллиптические планетарные орбиты представляют собой простой пример двух путей с равным действием — по одному в каждом направлении вокруг орбиты; ни один из них не может быть минимальным или «наименьшим действием». ^{[2] : 175} Вариация пути, подразумеваемая с помощью , не совпадает с дифференциалом, например . Интеграл действия зависит от координат объектов, а эти координаты зависят от выбранного пути. Таким образом, интеграл действия является функционалом , функцией функции. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle dt}$

Принципы сохранения

Важный результат геометрии, известный как теорема Нётер, гласит, что любые сохраняющиеся величины в лагранжиане подразумевают непрерывную симметрию и наоборот. ^[11] Например, лагранжиан, не зависящий от времени, соответствует системе с сохраняющейся энергией; независимость от пространственного переноса подразумевает сохранение импульса; инвариантность углового вращения подразумевает сохранение углового момента. ^{[12] : 489} Эти примеры представляют собой глобальные симметрии, где независимость сама по себе не зависит от пространства или времени; более общие локальные симметрии, имеющие функциональную зависимость от пространства или времени, приводят к калибровочной теории . ^[13] Наблюдаемое сохранение изоспина было использовано Янгом Чен-Нином и Робертом Миллсом в 1953 году для построения калибровочной теории для мезонов , что привело несколько десятилетий спустя к современной теории физики элементарных частиц . ^{[14] : 202}

Отдельные принципы

Принципы действия применяются к широкому спектру физических проблем, включая всю фундаментальную физику. Единственными серьезными исключениями являются случаи, связанные с трением, или когда заданы только начальное положение и скорости. ^[3] Различные принципы действия имеют разное значение для вариаций; каждое конкретное применение принципа действия требует определенного лагранжиана, описывающего физику. Общее название для любого или всех этих принципов — «принцип наименьшего действия». Для обсуждения названий и исторического происхождения этих принципов см. названия принципов действия .

Фиксированные конечные точки с сохраненной энергией

Дуэйн Уэйд выполняет штрафные броски, иллюстрируя тип физических ограничений, подходящих для применения принципа наименьшего действия Мопертюи

Когда полная энергия и конечные точки фиксированы, применяется принцип наименьшего действия Мопертюи . Например, чтобы набрать очки в баскетболе, мяч должен покинуть руку игрока и пройти через кольцо, но время полета не ограничено. ^[3] Принцип наименьшего действия Мопертюи математически записывается как стационарное условие на сокращенном действии (иногда пишется ), где - импульсы частиц или сопряженные импульсы обобщенных координат , определяемые уравнением , где - лагранжиан . Некоторые учебники пишут ^{[15] : 76  [9] : 356} как , чтобы подчеркнуть, что вариация, используемая в этой форме принципа действия, отличается от вариации Гамильтона . Здесь полная энергия фиксирована во время вариации, но не время, что является обратным ограничений принципа Гамильтона. ^[16] Следовательно, один и тот же путь и конечные точки занимают разное время и энергию в двух формах. Решения в случае этой формы принципа Мопертюи представляют собой орбиты : функции, связывающие координаты друг с другом, в которых время является просто индексом или параметром. ^[16] $${\displaystyle (\delta W)_{E}=0}$$ $${\displaystyle W[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {dq} ,}$$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N})}$ $${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},}$$ ${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ ${\displaystyle (\delta W)_{E}=0}$ ${\displaystyle \Delta S_{0}}$ ${\displaystyle E}$

Независимые от времени потенциалы; нет сил

Для системы, не зависящей от времени, действие просто относится к сокращенному действию на стационарном пути как ^{[9] : 434} для энергии и разницы во времени . Для твердого тела без чистой силы действия идентичны, и вариационные принципы становятся эквивалентными принципу наименьшего времени Ферма : ^{[9] : 360} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \Delta S=\Delta W-E\Delta t}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}}$ $${\displaystyle \delta (t_{2}-t_{1})=0.}$$

Фиксированные события

Путь к Луне должен учитывать движение Луны во время путешествия.

Когда физическая задача дает две конечные точки как положение и время, то есть как события , применяется принцип действия Гамильтона . Например, представьте, что вы планируете путешествие на Луну. Во время вашего путешествия Луна продолжит свое движение по орбите вокруг Земли: это движущаяся цель. Принцип Гамильтона для объектов в положениях математически записывается как Ограничение означает, что мы рассматриваем только пути, занимающие одинаковое время, а также соединяющие одни и те же две точки и . Лагранжиан представляет собой разницу между кинетической энергией и потенциальной энергией в каждой точке пути. ^{[17] : 62} Решение полученных уравнений дает мировую линию . ^[3] Начиная с принципа Гамильтона, локальное дифференциальное уравнение Эйлера–Лагранжа может быть выведено для систем с фиксированной энергией. Действие в принципе Гамильтона является преобразованием Лежандра действия в принципе Мопертюи. ^[18] ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ $${\displaystyle (\delta {\mathcal {S}})_{\Delta t}=0,\ \mathrm {where} \ {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt.}$$ ${\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (t_{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (t_{2})}$ ${\displaystyle L=T-V}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ ${\displaystyle S}$

Классическая теория поля

Концепции и многие из методов, полезных для механики частиц, также применимы к непрерывным полям. Интеграл действия пробегает лагранжеву плотность, но концепции настолько близки, что плотность часто просто называют лагранжевой. ^{[19] : 15}

Принципы квантового действия

Для квантовой механики принципы действия имеют существенные преимущества: необходим только один механический постулат, если в действии используется ковариантный лагранжиан, результат релятивистски корректен, и они явно переходят к классическим эквивалентам. ^{[2] : 128}

Ричард Фейнман и Джулиан Швингер разработали квантовые принципы действия, основанные на ранних работах Поля Дирака . Интегральный метод Фейнмана не был вариационным принципом, а сводился к классическому принципу наименьшего действия; он привел к его диаграммам Фейнмана . Дифференциальный подход Швингера связывает бесконечно малые изменения амплитуды с бесконечно малыми изменениями действия. ^{[2] : 138}

Принцип действия Фейнмана

Когда квантовые эффекты важны, необходимы новые принципы действия. Вместо частицы, следующей по пути, квантовая механика определяет амплитуду вероятности в одной точке и времени, связанную с амплитудой вероятности в другой точке позже во времени: где — классическое действие. ^[20] Вместо одного пути со стационарным действием все возможные пути складываются (интеграл по ), взвешенные по комплексной амплитуде вероятности . Фаза амплитуды задается действием, деленным на постоянную Планка или квант действия: . Когда действие частицы намного больше , , фаза быстро меняется вдоль пути: амплитуда усредняется до небольшого числа. ^[8] Таким образом, постоянная Планка устанавливает границу между классической и квантовой механикой. ^[21] ${\displaystyle \psi (x_{k},t)}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \psi (x_{k+1},t+\varepsilon )={\frac {1}{A}}\int e^{iS(x_{k+1},x_{k})/\hbar }\psi (x_{k},t)\,dx_{k},}$$ ${\displaystyle S(x_{k+1},x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle e^{iS/\hbar }}$ ${\displaystyle S/\hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle S/\hbar \gg 1}$

Все пути вносят вклад в принцип квантового действия. В конечной точке, где пути встречаются, пути с похожими фазами складываются, а те, фазы которых различаются, вычитаются. Вблизи пути, ожидаемого из классической физики, фазы имеют тенденцию выравниваться; тенденция сильнее для более массивных объектов, которые имеют большие значения действия. В классическом пределе доминирует один путь – путь стационарного действия. ^[22] ${\displaystyle \pi }$

Принцип действия Швингера

Подход Швингера связывает изменения амплитуд перехода с изменениями элемента матрицы действия: ${\displaystyle (q_{\text{f}}|q_{\text{i}})}$

${\displaystyle \delta (q_{r_{\text{f}}}|q_{r_{\text{i}}})=i(q_{r_{\text{f}}}|\delta S|q_{r_{\text{i}}}),}$

где оператор действия

${\displaystyle S=\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}L\,dt.}$

Форма Швингера делает анализ изменения самого лагранжиана, например, изменения мощности потенциального источника, особенно прозрачным. ^{[2] : 138}

Оптико-механическая аналогия

Поверхности постоянного действия, показанные как волновые фронты, перпендикулярные траекториям света

Для каждого пути интеграл действия наращивает значение от нуля в начальной точке до своего конечного значения в конце. Любой близлежащий путь имеет схожие значения на схожих расстояниях от начальной точки. Линии или поверхности постоянного значения парциального действия могут быть проведены через пути, создавая волнообразный вид действия. Подобный анализ связывает лучи, подобные частицам, геометрической оптики с волновыми фронтами принципа Гюйгенса–Френеля .

[Мопертюи] ... таким образом указал на ту замечательную аналогию между оптическими и механическими явлениями, которую гораздо раньше наблюдал Иоганн Бернулли и которая позднее была полностью развита в гениальной оптико-механической теории Гамильтона. Эта аналогия сыграла фундаментальную роль в развитии современной волновой механики.

—  К. Ланцош ^{[5] : 136}

Приложения

Принципы действия применяются для вывода дифференциальных уравнений, таких как уравнения Эйлера–Лагранжа ^{[9] : 44} или в качестве прямых приложений к физическим задачам.

Классическая механика

Принципы действия могут быть непосредственно применены ко многим проблемам классической механики , например, к форме упругих стержней под нагрузкой, ^{[23] : 9,} к форме жидкости между двумя вертикальными пластинами ( капилляр ), ^{[23] : 22} или к движению маятника, когда его опора находится в движении. ^{[23] : 39}

Химия

Принципы квантового действия используются в квантовой теории атомов в молекулах ( QTAIM ), способе разложения вычисленной электронной плотности молекул на атомы как способе получения информации о химических связях. ^[24]

Общая теория относительности

Вдохновленный работой Эйнштейна по общей теории относительности , известный математик Дэвид Гильберт применил принцип наименьшего действия для вывода уравнений поля общей теории относительности. ^{[25] : 186} Его действие, теперь известное как действие Эйнштейна–Гильберта ,

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,}$

содержит релятивистски инвариантный элемент объема и скалярную кривизну Риччи . Масштабный фактор — гравитационная постоянная Эйнштейна . ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \kappa }$

Другие приложения

Принцип действия настолько важен в современной физике и математике , что он широко применяется, в том числе в термодинамике , ^{[26] [27] [28]} механике жидкости , ^[29] теории относительности , квантовой механике , ^[30] физике элементарных частиц и теории струн . ^[31]

История

Принцип действия предшествует более ранним идеям в оптике . В Древней Греции Евклид писал в своей «Катоптрике» , что для пути света, отражающегося от зеркала, угол падения равен углу отражения . ^[32] Герон Александрийский позже показал, что этот путь имеет наименьшую длину и наименьшее время. ^[33]

Основываясь на ранних работах Пьера Луи Мопертюи , Леонарда Эйлера и Жозефа-Луи Лагранжа, определяющих версии принципа наименьшего действия , ^{[34] : 580} Уильям Роуэн Гамильтон и в тандеме Карл Густав Якоб Якоби разработали вариационную форму для классической механики, известную как уравнение Гамильтона-Якоби . ^{[35] : 201}

В 1915 году Дэвид Гильберт применил вариационный принцип для вывода уравнений общей теории относительности Альберта Эйнштейна . ^[36]

В 1933 году физик Поль Дирак продемонстрировал, как этот принцип может быть использован в квантовых вычислениях, выявив квантово-механическую основу принципа в квантовой интерференции амплитуд. ^[37] Впоследствии Джулиан Швингер и Ричард Фейнман независимо друг от друга применили этот принцип в квантовой электродинамике. ^{[38] [39]}

Ссылки

1. Томас А. Мур «Принцип наименьшего действия» в Macmillan Encyclopedia of Physics, редактор Джон Ригден, Simon & Schuster Macmillan, 1996, том 2, стр. 840.
2. Yourgrau, Wolfgang; Mandelstam, Stanley (1979). Вариационные принципы в динамике и квантовой теории . Dover books on physics and chemical (Republ. of the 3rd ed., publ. in 1968 ed.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-63773-0.
3. Hanc, Jozef; Taylor, Edwin F.; Tuleja, Slavomir (2005-07-01). "Вариационная механика в одном и двух измерениях". American Journal of Physics . 73 (7): 603–610. Bibcode : 2005AmJPh..73..603H. doi : 10.1119/1.1848516. ISSN  0002-9505.
4. Куперсмит, Дженнифер (2017). Ленивая вселенная: введение в принцип наименьшего действия. Оксфорд; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-874304-0.
5. Lanczos, Cornelius (1986). Вариационные принципы механики (4-е изд.). Нью-Йорк: Довер. ISBN 978-0-486-65067-8.
6. Клеппнер, Дэниел; Коленков, Роберт Дж. (2014). «Глава 3: Силы и уравнения движения». Введение в механику (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0521198110.
7. Мур, Томас А. (2004-04-01). «Получение наибольшего действия из наименьшего действия: предложение». American Journal of Physics . 72 (4): 522–527. Bibcode : 2004AmJPh..72..522M. doi : 10.1119/1.1646133. ISSN  0002-9505.
8. "Гл. 19: Принцип наименьшего действия". Лекции Фейнмана по физике. Том II . Получено 03.11.2023 .
9. Гольдштейн, Герберт; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2008). Классическая механика (3-е изд., [Начдр.] изд.). Сан-Франциско, Мюнхен: Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-65702-9.
10. Грей, К. Г.; Тейлор, Эдвин Ф. (май 2007 г.). «Когда действие не имеет значения». American Journal of Physics . 75 (5): 434–458. Bibcode : 2007AmJPh..75..434G. doi : 10.1119/1.2710480. ISSN  0002-9505.
11. Хилл, Э. Л. (1951-07-01). «Принцип Гамильтона и теоремы сохранения математической физики». Reviews of Modern Physics . 23 (3): 253–260. Bibcode : 1951RvMP...23..253H. doi : 10.1103/RevModPhys.23.253. ISSN  0034-6861.
12. Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности: полное руководство по законам вселенной . Нью-Йорк: Альфред А. Кнопф. ISBN 978-0-679-45443-4.
13. Брэдинг, Кэтрин (март 2002 г.). «Какая симметрия? Нётер, Вейль и сохранение электрического заряда». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 33 (1): 3–22. Bibcode : 2002SHPMP..33....3B. doi : 10.1016/S1355-2198(01)00033-8.
14. Багготт, Дж. Э. (2013). Квантовая история: история за 40 мгновений (Впечатление: 3-е изд.). Оксфорд: Oxford Univ. Press. ISBN 978-0-19-956684-6.
15. Hand, Louis N.; Finch, Janet D. (2008). Аналитическая механика (7-е печатное издание). Кембридж: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-57572-0.
16. Gray, Chris G. (2009-12-09). "Принцип наименьшего действия". Scholarpedia . 4 (12): 8291. Bibcode :2009SchpJ...4.8291G. doi : 10.4249/scholarpedia.8291 .
17. Kibble, TWB; Berkshire, FH (2004). Классическая механика (5-е изд.). Imperial College Press. ISBN 9781860944352.
18. Грей, К. Г.; Карл, Г.; Новиков, ВА (2004-02-01). «Прогресс в классических и квантовых вариационных принципах». Reports on Progress in Physics . 67 (2): 159–208. arXiv : physics/0312071 . Bibcode :2004RPPh...67..159G. doi :10.1088/0034-4885/67/2/R02. ISSN  0034-4885.
19. Пескин, Майкл Э. (2018-01-31). Введение в квантовую теорию поля. Boca Raton: CRC Press. doi :10.1201/9780429503559. ISBN 978-0-429-50355-9.
20. Фейнман, РП (1948-04-01). «Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике». Reviews of Modern Physics . 20 (2): 367–387. Bibcode : 1948RvMP...20..367F. doi : 10.1103/RevModPhys.20.367. ISSN  0034-6861.
21. Кертис, Лоренцо Дж. (01.09.2011). «Перспектива 21-го века как учебник по введению в физику». Европейский журнал физики . 32 (5): 1259–1274. Bibcode : 2011EJPh...32.1259C. doi : 10.1088/0143-0807/32/5/014. ISSN  0143-0807.
22. Огборн, Джон; Тейлор, Эдвин Ф. (2004-12-24). «Квантовая физика объясняет законы движения Ньютона» (PDF) . Физическое образование . 40 (1): 26–34. doi :10.1088/0031-9120/40/1/001. ISSN  0031-9120.
23. Dittrich, Walter (2021). Развитие принципа действия: дидактическая история от Эйлера-Лагранжа до Швингера. SpringerBriefs in Physics. Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-030-69105-9. ISBN 978-3-030-69104-2.
24. Бадер, Ричард Ф. В. (июнь 2005 г.). «Квантово-механическая основа концептуальной химии». Monatshefte für Chemie – Chemical Monthly . 136 (6): 819–854. doi :10.1007/s00706-005-0307-x. ISSN  0026-9247.
25. Rojo, Alberto; Bloch, Anthony, ред. (2018). «Относительность и наименьшее действие». Принцип наименьшего действия: история и физика. Кембридж: Cambridge University Press. стр. 162–188. doi : 10.1017/9781139021029.007. ISBN 978-0-521-86902-7.
26. Гарсия-Моралес, Владимир; Пеллисер, Хулио; Мансанарес, Хосе А. (2008). «Термодинамика, основанная на принципе наименьшего сокращенного действия: производство энтропии в сети связанных осцилляторов». Annals of Physics . 323 (8): 1844–1858. arXiv : cond-mat/0602186 . Bibcode : 2008AnPhy.323.1844G. doi : 10.1016/j.aop.2008.04.007. S2CID  118464686.
27. Гей-Бальмаз, Франсуа; Йошимура, Хироаки (2018). «От механики Лагранжа к неравновесной термодинамике: вариационная перспектива». Энтропия . 21 (1): 8. arXiv : 1904.03738 . Bibcode : 2018Entrp..21....8G. doi : 10.3390/e21010008 . ISSN  1099-4300. PMC 7514189. PMID 33266724  . 
28. Био, Морис Энтони (1975). «Принцип виртуальной диссипации и уравнения Лагранжа в нелинейной необратимой термодинамике». Bulletin de la Classe des sciences . 61 (1): 6–30. doi :10.3406/barb.1975.57878. ISSN  0001-4141.
29. Грей, Крис (2009). «Принцип наименьшего действия». Scholarpedia . 4 (12): 8291. Bibcode : 2009SchpJ...4.8291G. doi : 10.4249/scholarpedia.8291 .
30. Фейнман, Ричард Филлипс (1942), Принцип наименьшего действия в квантовой механике (диссертация), Bibcode : 1942PhDT.........5F.
31. "Принцип наименьшего действия – damtp" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2015-10-10 . Получено 2016-07-18 .
32. Хельцбергер, Макс (1966). «Оптика от Евклида до Гюйгенса». Прикладная оптика . 5 (9): 1383–1893. Bibcode : 1966ApOpt...5.1383H. doi : 10.1364/AO.5.001383. PMID  20057555. В «Катоптрике» излагается закон отражения, а именно, что входящие и выходящие лучи образуют один и тот же угол с нормалью к поверхности.
33. Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних времен до наших дней . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 167–168. ISBN 0-19-501496-0.
34. Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних времен до наших дней . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 167–168. ISBN 0-19-501496-0.
35. Накане, Мичиё и Крейг Г. Фрейзер. «Ранняя история динамики Гамильтона-Якоби 1834–1837». Центавр 44.3-4 (2002): 161–227.
36. Mehra, Jagdish (1987). "Эйнштейн, Гильберт и теория гравитации". В Mehra, Jagdish (ред.). Концепция природы физика (переиздание ред.). Dordrecht: Reidel. ISBN 978-90-277-2536-3.
37. Дирак, Поль AM (1933). «Лагранжиан в квантовой механике» (PDF) . Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion . 3 (1): 64–72.
38. Р. Фейнман, Квантовая механика и интегралы по траекториям, McGraw-Hill (1965), ISBN 0-07-020650-3 . 
39. Дж. С. Швингер, Квантовая кинематика и динамика, В. А. Бенджамин (1970), ISBN 0-7382-0303-3 .