Энергетический оператор

Оператор в квантовой механике

В квантовой механике энергия определяется через оператор энергии , действующий на волновую функцию системы как следствие симметрии переноса времени .

Определение

Его дают: ^[1]

$${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$$

Он действует на волновую функцию ( амплитуду вероятности для разных конфигураций системы)

$${\displaystyle \Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}$$

Приложение

Оператор энергии соответствует полной энергии системы. Уравнение Шредингера описывает пространственную и временную зависимость медленно меняющейся (нерелятивистской ) волновой функции квантовой системы. Решение уравнения Шредингера для связанной системы является дискретным (набор разрешенных состояний, каждое из которых характеризуется уровнем энергии ), что приводит к понятию квантов .

Уравнение Шрёдингера

Использование оператора энергии в уравнении Шрёдингера :

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

$${\displaystyle {\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

где i — мнимая единица , ħ — приведенная постоянная Планка , а — оператор Гамильтона , выражаемый как: ${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(x).}$$

Из уравнения можно составить равенство: , где – математическое ожидание энергии. ${\textstyle \langle E\rangle =\langle {\hat {H}}\rangle }$ ${\textstyle \langle E\rangle }$

Характеристики

Можно показать, что математическое ожидание энергии всегда будет больше или равно минимальному потенциалу системы.

Рассмотрим вычисление ожидаемого значения кинетической энергии:

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left({\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{aligned}}}$

Следовательно, математическое ожидание кинетической энергии всегда неотрицательно. Этот результат можно использовать с условием линейности для расчета математического ожидания полной энергии, которая дается для нормированной волновой функции как:

${\displaystyle E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)}$

которые завершают доказательство. Точно так же то же самое условие можно обобщить на любые более высокие измерения.

Постоянная энергия

Исходя из определения, можно построить частное решение для волновой функции частицы с постоянной энергией. Если предполагается, что волновая функция сепарабельна, то зависимость от времени можно записать как , где E – постоянная энергия. Полностью, ^[2] ${\displaystyle e^{-iEt/\hbar }}$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }}$$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle {\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=i\hbar \left({\frac {-iE}{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

стационарное состояниенезависимого от времени уравнения Шредингера

$${\displaystyle E\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

Eсобственное значение

Уравнение Клейна – Гордона

Релятивистское соотношение массы и энергии :

$${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}$$

Epимпульсmинвариантная массаcскорость светауравнению Клейна-Гордона

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {E}}^{2}=c^{2}{\hat {p}}^{2}+(mc^{2})^{2}\\&{\hat {E}}^{2}\Psi =c^{2}{\hat {p}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{aligned}}}$$

импульса ${\displaystyle {\hat {p}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\Psi -\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\Psi }$$

Вывод

Оператор энергии легко получить с помощью волновой функции свободных частиц ( решение уравнения Шредингера в виде плоских волн ). ^[3] Начиная с одного измерения, волновая функция равна

$${\displaystyle \Psi =e^{i(kx-\omega t)}}$$

Производная по времени Ψ равна

$${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i\omega e^{i(kx-\omega t)}=-i\omega \Psi .}$$

По соотношению Де Бройля :

$${\displaystyle E=\hbar \omega ,}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}\Psi .}$$

Перестановка уравнения приводит к

$${\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},}$$

Eскалярнуюпроизводнаялинейным операторомявляется

$${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}.}$$

Можно сделать вывод, что скаляр E является собственным значением оператора, а – оператор. Подводя итог этим результатам: ${\displaystyle {\hat {E}}}$

$${\displaystyle {\hat {E}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi }$$

Для трехмерной плоской волны

$${\displaystyle \Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$$

оператор линеенлинейной комбинациирелятивистской квантовой механикеуравнение Клейна-Гордона,

Смотрите также

• Симметрия перевода времени
• Постоянная Планка
• Уравнение Шрёдингера
• Оператор импульса
• Гамильтониан (квантовая механика)
• Сохранение энергии
• Комплексное число
• Стационарное состояние

Рекомендации

1. Квантовая механика демистифицирована, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN  0-07-145546-9
2. Янг, Хью Д. (2020). Университетская физика Сирса и Земанского с современной физикой. Роджер А. Фридман, А. Льюис Форд, Хью Д. Янг (15-е расширенное изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Pearson Education . ISBN 978-0-13-515955-2. ОСЛК  1057733965.
3. Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0