Топологическая группа

Группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.

Действительные числа при сложении образуют топологическую группу.

В математике топологические группы представляют собой комбинацию групп и топологических пространств , т.е. они одновременно являются группами и топологическими пространствами, причем условие непрерывности групповых операций связывает эти две структуры вместе и, следовательно, они не являются независимыми друг от друга . ^[1]

Топологические группы широко изучались в период с 1925 по 1940 год. Хаар и Вейль (соответственно в 1933 и 1940 годах) показали, что интегралы и ряды Фурье являются частными случаями очень широкого класса топологических групп. ^[2]

Топологические группы, наряду с непрерывными групповыми действиями , используются для изучения непрерывных симметрий , имеющих множество приложений, например, в физике . В функциональном анализе каждое топологическое векторное пространство представляет собой аддитивную топологическую группу с дополнительным свойством непрерывности скалярного умножения; следовательно, многие результаты теории топологических групп могут быть применены к функциональному анализу.

Формальное определение

Топологическая группа G — это топологическое пространство , которое также является группой, такой что групповая операция (в данном случае произведение) :

⋅ : грамм × грамм → грамм , ( Икс , у ) ↦ ху

и карта инверсии:

^-1  : г → г , Икс ↦ Икс ^-1

являются непрерывными . ^{[примечание 1]} Здесь G × G рассматривается как топологическое пространство с топологией произведения . Говорят, что такая топология совместима с групповыми операциями и называется групповой топологией .

Проверка непрерывности

Отображение произведения является непрерывным тогда и только тогда, когда для любых x , y ∈ G и любой окрестности W точки xy в G существуют окрестности U точки x и V точки y в G такие, что U ⋅ V ⊆ W , где U ⋅ V  : знак равно { ты ⋅ v  : ты ∈ U , v ∈ V }. Отображение инверсии является непрерывным тогда и только тогда, когда для любого x ∈ G и любой окрестности V точки x ⁻¹ в G существует окрестность U точки x в G такая, что U ⁻¹ ⊆ V , где U ⁻¹  := { u ⁻¹  : ты € U }.

Чтобы показать, что топология совместима с групповыми операциями, достаточно проверить, что отображение

грамм × грамм → грамм , ( Икс , y ) ↦ ху ^-1

является непрерывным. Явно это означает, что для любых x , y ∈ G и любой окрестности W в G точки xy ⁻¹ существуют окрестности U точки x и V точки y в G такие, что U ⋅ ( V ⁻¹ ) ⊆ W.

Аддитивные обозначения

В этом определении использовались обозначения мультипликативных групп; эквивалентом для аддитивных групп было бы то, что следующие две операции непрерывны:

+ : грамм × грамм → грамм , ( Икс , y ) ↦ Икс + y

- : грамм → грамм , Икс ↦ - Икс .

Хаусдорфность

Хотя это и не входит в это определение, многие авторы ^[3] требуют, чтобы топология на G была Хаусдорфовой . Одна из причин этого заключается в том, что любую топологическую группу можно канонически связать с топологической группой Хаусдорфа, взяв соответствующий канонический фактор; однако для этого часто все еще требуется работа с исходной нехаусдорфовой топологической группой. Другие причины и некоторые эквивалентные условия обсуждаются ниже.

В этой статье не предполагается, что топологические группы обязательно хаусдорфовы.

Категория

На языке теории категорий топологические группы могут быть кратко определены как групповые объекты в категории топологических пространств , точно так же, как обычные группы являются групповыми объектами в категории множеств . Обратите внимание, что аксиомы даются в терминах отображений (двоичное произведение, унарное обратное и нулевое тождество), следовательно, являются категориальными определениями.

Гомоморфизмы

Гомоморфизм топологических групп означает непрерывный групповой гомоморфизм G → H. Топологические группы вместе со своими гомоморфизмами образуют категорию . Групповой гомоморфизм топологических групп непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в некоторой точке. ^[4]

Изоморфизм топологических групп — это групповой изоморфизм , который также является гомеоморфизмом лежащих в его основе топологических пространств. Это сильнее, чем просто требование непрерывного группового изоморфизма — обратное также должно быть непрерывным. Существуют примеры топологических групп, которые изоморфны обычным группам, но не топологическим группам. Действительно, любая недискретная топологическая группа также является топологической группой, если рассматривать ее с дискретной топологией. Базовые группы одни и те же, но в качестве топологических групп не существует изоморфизма.

Примеры

Любую группу можно тривиально превратить в топологическую группу, рассматривая ее с дискретной топологией ; такие группы называются дискретными группами . В этом смысле теория топологических групп включает в себя теорию обычных групп. Недискретная топология (т.е. тривиальная топология) также превращает каждую группу в топологическую группу.

Действительные числа с обычной топологией при сложении образуют топологическую группу. Евклидово n -пространство ⁿ также является топологической группой при добавлении, и, в более общем смысле, каждое топологическое векторное пространство образует (абелеву) топологическую группу. Некоторыми другими примерами абелевых ^{топологических} групп являются группа окружностей S1 или тор ( S1 ^{) n} для любого натурального числа n . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Классические группы являются важными примерами неабелевых топологических групп. Например, общую линейную группу GL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ всех обратимых матриц размером n x n с действительными элементами можно рассматривать как топологическую группу с топологией, определяемой рассмотрением GL( n , ) как подпространства евклидова пространства ^{n × н} . Другая классическая группа — это ортогональная группа O( n ) , группа всех линейных отображений ⁿ в себя, которые сохраняют длину всех векторов. Ортогональная группа компактна как топологическое пространство. ^{Большую} часть евклидовой геометрии можно рассматривать как изучение структуры ортогональной группы или тесно связанной группы O ( n ) ⋉ ⁿ изометрий n . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Все упомянутые до сих пор группы являются группами Ли , а это означает, что они являются гладкими многообразиями , так что групповые операции являются гладкими , а не просто непрерывными. Группы Ли — наиболее понятные топологические группы; многие вопросы о группах Ли можно преобразовать в чисто алгебраические вопросы об алгебрах Ли и затем решить.

Примером топологической группы, которая не является группой Ли, является аддитивная группа рациональных чисел с топологией, унаследованной от . Это счетное пространство и не имеет дискретной топологии. Важным примером теории чисел является группа _p p -адических целых чисел для простого числа p , что означает обратный предел конечных групп / p ⁿ , когда n стремится к бесконечности. Группа _p хорошо себя ведет, поскольку она компактна (фактически, гомеоморфна канторову множеству ), но отличается от (реальных) групп Ли тем, что она полностью несвязна . В более общем смысле, существует теория p -адических групп Ли , включая компактные группы , такие как GL( n , _p ) , а также локально компактные группы, такие как GL( n , p ₎ , где _p — локально компактное поле p- адические числа . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Группа _р — проконечная группа ; она изоморфна подгруппе произведения таким образом, что ее топология индуцирована топологией произведения, где конечным группам задана дискретная топология. Другой большой класс проконечных групп, важный в теории чисел, — это абсолютные группы Галуа . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \prod _{n\geq 1}\mathbb {Z} /p^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}}$

Некоторые топологические группы можно рассматривать как бесконечномерные группы Ли ; эту фразу лучше всего понимать неформально, включив в нее несколько разных семейств примеров. Например, топологическое векторное пространство , такое как банахово или гильбертово пространство , является абелевой топологической группой при сложении. Некоторые другие бесконечномерные группы, которые изучались с разной степенью успеха, — это группы петель , группы Каца–Муди , группы диффеоморфизмов , группы гомеоморфизмов и калибровочные группы .

В каждой банаховой алгебре с мультипликативной единицей множество обратимых элементов образует топологическую группу при умножении. Так возникает , например, группа обратимых ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.

Характеристики

Трансляционная инвариантность

Топология каждой топологической группыинвариант перевода , что по определению означает, что если для любоголевого или правого умножения на этот элемент получается гомеоморфизм.Следовательно , для любогоиподмножествооткрыто(соответственнозакрыто) втом и только в том случае, если это верно для его левого переводаи правого перевода. Еслиявляетсябазисом окрестностиединичного элемента в топологической группе, то для всех является базисом окрестностив^[4] . В частности, любая топология группы в топологической группе полностью определяется любым базисом окрестности в единичном элементе. Еслиявляется любым подмножествомиявляется открытым подмножеством,тоявляется открытым подмножеством^[4] ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle G\to G.}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle S\subseteq G,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle aS:=\{as:s\in S\}}$ ${\displaystyle Sa:=\{sa:s\in S\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x{\mathcal {N}}:=\{xN:N\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle SU:=\{su:s\in S,u\in U\}}$ ${\displaystyle G.}$

Симметричные кварталы

Операция обращения топологической группы является гомеоморфизмом из в себя. ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Подмножество называется симметричным , если где Замыкание каждого симметричного множества в коммутативной топологической группе симметрично. ^[4] Если S — любое подмножество коммутативной топологической группы G , то следующие множества также симметричны: S ⁻¹ ∩ S , S ⁻¹ ∪ S и S ⁻¹ S. ^[4] ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle S^{-1}=S,}$ ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$

Для любой окрестности N в коммутативной топологической группе G единичного элемента существует симметричная окрестность M единичного элемента такая, что M ⁻¹ M ⊆ N , где заметим, что M ⁻¹ M обязательно является симметричной окрестностью единичного элемента. . ^[4] Таким образом, каждая топологическая группа имеет базис окрестности единичного элемента, состоящий из симметричных множеств.

Если G — локально компактная коммутативная группа, то для любой окрестности N в G единичного элемента существует симметричная относительно компактная окрестность M единичного элемента такая, что cl M ⊆ N (где cl M также симметричен). ^[4]

Единое пространство

Каждую топологическую группу можно рассматривать как однородное пространство двумя способами; левая однородность превращает все левые умножения в равномерно непрерывные отображения, а правая однородность превращает все правые умножения в равномерно непрерывные отображения. ^[5] Если G не абелева, то эти два не обязательно должны совпадать. Равномерные структуры позволяют говорить о таких понятиях, как полнота , равномерная непрерывность и равномерная сходимость на топологических группах.

Свойства разделения

Если U — открытое подмножество коммутативной топологической группы G и U содержит компакт K , то существует окрестность N единичного элемента такая, что KN ⊆ U. ^[4]

Как однородное пространство, каждая коммутативная топологическая группа вполне регулярна . Следовательно, для мультипликативной топологической группы G с единицей 1 следующие условия эквивалентны: ^[4]

1. G — T0 _- пространство ( Колмогоровское );
2. G — T ₂ -пространство ( хаусдорфово );
3. G _— Т _{3 1/2} ( _{Тихонов} ) ;
4. { 1 } замкнуто в G ;
5. { 1 } :=∩N ∈ 𝒩 N , где 𝒩 — базис окрестности единичного элемента в G ;
6. для любого такого, что существует окрестность U в G единичного элемента такая, что ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle x\neq 1,}$ ${\displaystyle x\not \in U.}$

Подгруппа коммутативной топологической группы дискретна тогда и только тогда, когда она имеет изолированную точку . ^[4]

Если G не хаусдорфова группа, то можно получить хаусдорфову группу, перейдя к факторгруппе G / K , где K — замыкание тождества. ^[6] Это эквивалентно взятию фактора Колмогорова G .

Метрисабельность

Пусть G — топологическая группа. Как и в любом топологическом пространстве, мы говорим, что G метризуемо тогда и только тогда, когда существует метрика d на G , которая индуцирует ту же топологию на G. Метрика d на G называется ${\displaystyle G}$

• левоинвариантно (соответственно право-инвариантно ) тогда и только тогда, когда (соответственно ) для всех (эквивалентно, является левоинвариантным только в том случае, если карта является изометрией от себя для каждого ). ${\displaystyle d(ax_{1},ax_{2})=d(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle a,x_{1},x_{2}\in G}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ${\displaystyle (G,d)}$ ${\displaystyle a\in G}$
• правильным тогда и только тогда, когда все открытые шары при , предкомпактны. ${\displaystyle B(r)=\{g\in G\mid d(g,1)<r\}}$ ${\displaystyle r>0}$

Теорема Биркгофа-Какутани (названная в честь математиков Гаррета Биркгофа и Шизуо Какутани ) утверждает, что следующие три условия на топологической группе G эквивалентны: ^[7]

1. G сначала счетна ( что эквивалентно: единичный элемент 1 замкнут в G и существует счетный базис окрестностей для 1 в G ) и Хаусдорф .
2. G метризуемо ( как топологическое пространство).
3. Существует левоинвариантная метрика на G , индуцирующая заданную топологию на G .
4. Существует правоинвариантная метрика на G , индуцирующая заданную топологию на G .

Более того, следующие утверждения эквивалентны для любой топологической группы G :

1. G — второе счетное локально компактное (хаусдорфово) пространство.
2. G — польское локально компактное (хаусдорфово) пространство.
3. G правильно метризуемо (как топологическое пространство).
4. Существует левоинвариантная собственная метрика на G , которая индуцирует данную топологию на G .

Примечание. Как и в остальной части статьи, мы предполагаем здесь топологию Хаусдорфа. Импликации 4 3 2 1 справедливы в любом топологическом пространстве. В частности, имеет место 3 2, поскольку, в частности, любое собственно метризуемое пространство представляет собой счетное объединение компактных метризуемых и, следовательно, сепарабельных ( см. свойства компактных метрических пространств ) подмножеств. Нетривиальная импликация 1 4 была впервые доказана Раймондом Штрубле в 1974 году. ^[8] Альтернативный подход был предложен Уффе Хаагерупом и Агатой Пшибышевской в ​​2006 году, ^[9] идея которого состоит в следующем: опирается на конструкцию левоинвариантной метрики , как и в случае первых счетных пространств . В силу локальной компактности замкнутые шары достаточно малых радиусов компактны, и путем нормализации мы можем предположить, что это справедливо для радиуса 1. Замыкание открытого шара U радиуса 1 при умножении дает замкнуто-замкнутую подгруппу H группы G , на которой метрика правильная. Поскольку H открыта и G счетна по счету , подгруппа имеет не более счетного числа смежных классов. Теперь можно использовать эту последовательность смежных классов и метрику на H , чтобы построить правильную метрику на G . ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{0}}$

Подгруппы

Каждая подгруппа топологической группы сама по себе является топологической группой, если ей задана топология подпространства . Любая открытая подгруппа H также замкнута в G , поскольку дополнением к H является открытое множество, заданное объединением открытых множеств gH для g ∈ G \ H . Если H — подгруппа группы G , то замыкание H также является подгруппой. Аналогично, если H — нормальная подгруппа группы G , замыкание H нормально в G.

Частные и нормальные подгруппы

Если H — подгруппа группы G , множество левых смежных классов G / H с фактор-топологией называется однородным пространством для G. Факторная карта всегда открыта . Например, для положительного целого числа n сфера Sn является однородным пространством для группы вращения SO( n +1) в ^{n +1} , причем ^{S n} = ^SO ( n +1)/SO ( n ) . Однородное пространство G / H хаусдорфово тогда и только тогда, когда H замкнуто в G. ^[10] Отчасти по этой причине при изучении топологических групп естественно сосредоточиться на замкнутых подгруппах. ${\displaystyle q:G\to G/H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Если H — нормальная подгруппа группы G , то факторгруппа G / H становится топологической группой, если ей задана фактортопология. Оно хаусдорфово тогда и только тогда, когда H замкнуто в G . Например, факторгруппа изоморфна группе окружностей S ¹ . ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

В любой топологической группе единичный компонент (т. е. компонент связности , содержащий единичный элемент) представляет собой замкнутую нормальную подгруппу. Если C — единичный компонент, а a — любая точка G , то левый смежный класс aC — это компонент G , содержащий a . Таким образом, совокупность всех левых смежных классов (или правых смежных классов) C в G равна совокупности всех компонентов G . Отсюда следует, что факторгруппа G / C вполне несвязна . ^[11]

Закрытость и компактность

В любой коммутативной топологической группе произведение (при условии, что группа мультипликативна) KC компакта K и замкнутого множества C является замкнутым множеством. ^[4] Более того, для любых подмножеств R и S группы G ( cl R )(cl S ) ⊆ cl ( RS ) . ^[4]

Если H — подгруппа коммутативной топологической группы G и N — такая окрестность единичного элемента в G , что H ∩ cl N замкнута, то H замкнута. ^[4] Каждая дискретная подгруппа хаусдорфовой коммутативной топологической группы замкнута. ^[4]

Теоремы об изоморфизме

Теоремы об изоморфизме из обычной теории групп не всегда верны в топологической ситуации. Это связано с тем, что биективный гомоморфизм не обязательно должен быть изоморфизмом топологических групп.

Например, собственная версия первой теоремы об изоморфизме неверна для топологических групп: если это морфизм топологических групп (то есть непрерывный гомоморфизм), то не обязательно верно, что индуцированный гомоморфизм является изоморфизмом топологических групп; это будет биективный непрерывный гомоморфизм, но он не обязательно будет гомеоморфизмом. Другими словами, оно не обязательно будет допускать инверсию в категории топологических групп. ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:G/\ker f\to \mathrm {Im} (f)}$

Существует версия первой теоремы об изоморфизме для топологических групп, которую можно сформулировать следующим образом: если это непрерывный гомоморфизм, то индуцированный гомоморфизм из G /ker( f ) в im( f ) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда карта f открыта на своем изображении. ^[12] ${\displaystyle f:G\to H}$

Однако третья теорема об изоморфизме более или менее дословно верна для топологических групп, в чем легко убедиться.

Пятая проблема Гильберта

Есть несколько сильных результатов о связи между топологическими группами и группами Ли. Во-первых, всякий непрерывный гомоморфизм групп Ли гладкий. Отсюда следует, что топологическая группа имеет уникальную структуру группы Ли, если таковая существует. Кроме того, теорема Картана утверждает, что каждая замкнутая подгруппа группы Ли является подгруппой Ли, в частности, гладким подмногообразием . ${\displaystyle G\to H}$

Пятая проблема Гильберта заключалась в том, должна ли топологическая группа G , являющаяся топологическим многообразием, быть группой Ли. Другими словами, имеет ли G структуру гладкого многообразия, делающую групповые операции гладкими? Как показали Эндрю Глисон , Дин Монтгомери и Лео Зиппин , ответ на эту проблему — да. ^[13] Фактически, G имеет вещественную аналитическую структуру. Используя гладкую структуру, можно определить алгебру Ли группы G , объект линейной алгебры , который определяет связную группу G с точностью до накрытия пространств . В результате решение пятой проблемы Гильберта сводит классификацию топологических групп, являющихся топологическими многообразиями, к алгебраической проблеме, хотя и в целом сложной.

Теорема также имеет последствия для более широких классов топологических групп. Во-первых, каждая компактная группа (под которой понимается хаусдорфова группа) является обратным пределом компактных групп Ли. (Одним важным случаем является обратный предел конечных групп, называемый проконечной группой . Например, группа _p p -адических целых чисел и абсолютная группа Галуа поля являются проконечными группами.) Более того, каждая связная локально компактная группа является проконечной группой. обратный предел связных групп Ли. ^[14] С другой стороны, полностью несвязная локально компактная группа всегда содержит компактную открытую подгруппу, которая обязательно является проконечной группой. ^[15] (Например, локально компактная группа GL( n , _p ) содержит компактную открытую подгруппу GL( n , _p ) , которая является обратным пределом конечных групп GL( n , / p ^r ) при r ' до бесконечности.) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Представления компактных или локально компактных групп.

Действием топологической группы G на топологическом пространстве X называется такое групповое действие G на X , что соответствующая функция G × X → X непрерывна. Аналогично, представление топологической группы G в вещественном или комплексном топологическом векторном пространстве V — это непрерывное действие группы G на V такое, что для каждого g ∈ G отображение v ↦ gv из V в себя линейно.

Групповые действия и теория представлений особенно хорошо изучены для компактных групп, обобщая то, что происходит с конечными группами . Например, каждое конечномерное (вещественное или комплексное) представление компактной группы является прямой суммой неприводимых представлений . Бесконечномерное унитарное представление компактной группы можно разложить как прямую сумму неприводимых представлений в гильбертовом пространстве, которые все конечномерны; это часть теоремы Питера-Вейля . ^[16] Например, теория рядов Фурье описывает разложение унитарного представления группы окружностей S ¹ на комплексное гильбертово пространство L ² ( S ¹ ) . Все неприводимые представления S ¹ одномерны и имеют вид z ↦ z ⁿ для целых чисел n (где S ¹ рассматривается как подгруппа мультипликативной группы *). Каждое из этих представлений встречается с кратностью ^{1 в} L2 ( S1 ) . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Классифицированы неприводимые представления всех компактных связных групп Ли. В частности, характер каждого неприводимого представления задается формулой характера Вейля .

В более общем смысле, локально компактные группы имеют богатую теорию гармонического анализа , поскольку они допускают естественное понятие меры и интеграла , заданное мерой Хаара . Каждое унитарное представление локально компактной группы можно описать как прямой интеграл неприводимых унитарных представлений. (Разложение по существу уникально, если G имеет тип I , который включает наиболее важные примеры, такие как абелевы группы и полупростые группы Ли . ^[17] ) Базовым примером является преобразование Фурье , которое разлагает действие аддитивной группы на Гильбертово пространство L ² ( ) как прямой интеграл неприводимых унитарных представлений . Все неприводимые унитарные представления одномерны и имеют вид x ↦ e ^{2π iax} для a ∈ . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Неприводимые унитарные представления локально компактной группы могут быть бесконечномерными. Основная цель теории представлений, связанная с классификацией допустимых представлений Ленглендса , состоит в том, чтобы найти унитарное двойственное (пространство всех неприводимых унитарных представлений) для полупростых групп Ли. Унитарный двойственный элемент известен во многих случаях, таких как SL(2, ) , но не во всех. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Для локально компактной абелевой группы G каждое неприводимое унитарное представление имеет размерность 1. В этом случае унитарное двойственное представление является группой, фактически другой локально компактной абелевой группой. Двойственность Понтрягина утверждает, что для локально компактной абелевой группы G двойственной является исходная группа G . Например, двойственная группа целых чисел — это группа кругов S ¹ , а группа действительных чисел изоморфна своей двойственной группе. ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Каждая локально компактная группа G имеет хороший запас неприводимых унитарных представлений; например, достаточно представлений, чтобы различать точки G ( теорема Гельфанда–Райкова ). Напротив, теория представлений для топологических групп, которые не являются локально компактными, до сих пор разрабатывалась только в особых ситуациях, и, возможно, нецелесообразно ожидать появления общей теории. Например, существует множество абелевых групп Банаха–Ли, для которых каждое представление в гильбертовом пространстве тривиально. ^[18]

Гомотопическая теория топологических групп

Топологические группы являются особенными среди всех топологических пространств, даже с точки зрения их гомотопического типа . Один из основных моментов заключается в том, что топологическая группа G определяет топологическое пространство с линейной связностью, классифицирующее пространство BG (которое при мягких гипотезах классифицирует основные G -расслоения над топологическими пространствами). Группа G изоморфна в гомотопической категории пространству петель группы BG ; это влечет за собой различные ограничения на гомотопический тип G . ^[19] Некоторые из этих ограничений справедливы и в более широком контексте H-пространств .

Например, фундаментальная группа топологической группы G абелева. (В более общем смысле, произведение Уайтхеда на гомотопических группах группы G равно нулю.) Кроме того, для любого поля k кольцо когомологий H *( G , k ) имеет структуру алгебры Хопфа . Ввиду структурных теорем Хайнца Хопфа и Армана Бореля об алгебрах Хопфа это накладывает сильные ограничения на возможные кольца когомологий топологических групп. В частности, если G — топологическая группа с линейной связностью, кольцо рациональных когомологий которой H *( G , ·) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ конечномерно в каждой степени, то это кольцо должно быть свободной градуированно-коммутативной алгеброй над , т. е. тензорным произведением кольцо полиномов от образующих четной степени с внешней алгеброй от образующих нечетной степени. ^[20] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

В частности, для связной группы Ли G кольцо рациональных когомологий G является внешней алгеброй на образующих нечетной степени. Более того, связная группа Ли G имеет максимальную компактную подгруппу K , единственную с точностью до сопряжения, и включение K в G является гомотопической эквивалентностью . Таким образом, описание гомотопических типов групп Ли сводится к случаю компактных групп Ли. Например, максимальная компактная подгруппа SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — это группа окружностей SO(2) , а однородное пространство SL(2, )/SO(2) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ можно отождествить с гиперболической плоскостью . Поскольку гиперболическая плоскость стягиваема , включение группы окружностей в SL(2, ·) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является гомотопической эквивалентностью.

Наконец, компактные связные группы Ли были классифицированы Вильгельмом Киллингом , Эли Картаном и Германом Вейлем . В результате получается практически полное описание возможных гомотопических типов групп Ли. Например, компактная связная группа Ли размерности не более 3 является либо тором, группой SU(2) ( диффеоморфной 3-сфере S3 ⁾ , либо ее факторгруппой SU(2)/{±1} ≅ SO. (3) (диффеоморфно RP 3 ).

Полная топологическая группа

Информацию о сходимости сетей и фильтров, такую ​​как определения и свойства, можно найти в статье о фильтрах в топологии .

Каноническая однородность на коммутативной топологической группе

В этой статье впредь будет предполагаться, что любая топологическая группа, которую мы рассматриваем, является аддитивной коммутативной топологической группой с единичным элементом. ${\displaystyle 0.}$

Диагональ – это множество ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}}$$

окружениеканонические окрестности вокруг, ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \Delta _{X}(N):=\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]=\Delta _{X}+(N\times \{0\})}$$

Для топологической группы каноническая однородность ^[21] на — это однородная структура , индуцированная множеством всех канонических окружений как пробегов по всем окрестностям в ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

То есть это закрытие вверх следующего префильтра на ${\displaystyle X\times X,}$

$${\displaystyle \left\{\Delta (N):N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$

базу антуража

Для коммутативной аддитивной группы фундаментальная система окружений называется трансляционно-инвариантной однородностью тогда и только тогда, когда для всех однородность называется трансляционно-инвариантной , если она имеет трансляционно-инвариантную базу окружений. ^[22] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in B}$ ${\displaystyle (x+z,y+z)\in B}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

• Каноническая однородность любой коммутативной топологической группы трансляционно-инвариантна.
• Такая же каноническая однородность будет получена при использовании базиса окрестности начала координат, а не фильтра всех окрестностей начала координат.
• В каждом антураже есть диагональ, потому что ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle 0\in N.}$
• Если симметрично (т.е. ), то симметрично (это означает, что ) и ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -N=N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)^{\operatorname {op} }=\Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]=\Delta _{X}+(N\times N).}$
• Топология, вызванная канонической однородностью, такая же, как и топология, начавшаяся с (т. е. она есть ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$

Предварительные фильтры и сетки Коши

В общей теории равномерных пространств есть свои определения «предфильтра Коши» и «сети Коши». Ибо каноническое единообразие их сводится к определению, описанному ниже. ${\displaystyle X,}$

Предположим , что это сеть в и является сетью в. Превратите в направленное множество, объявив тогда и только тогда, когда Тогда ^[23] обозначает произведение net . Если то образ этой сети под картой сложения обозначает сумму этих двух сетей: ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$ ${\displaystyle i\leq i_{2}{\text{ and }}j\leq j_{2}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$

$${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$

разность

$${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }:=\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$

Сеть в аддитивной топологической группе называется сетью Коши, если [ ^24] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0{\text{ in }}X}$$

${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$ ${\displaystyle i,j\geq i_{0}.}$

Последовательность Коши — это сеть Коши, которая является последовательностью.

Если является подмножеством аддитивной группы и представляет собой множество, содержащее то, то говорят, что это -малое множество или малое по порядку, если ^[25] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$

Предварительный фильтр аддитивной топологической группы называется префильтром Коши , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$где находится предфильтр. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$где - префильтр, эквивалентный ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}.}$
3. Ибо каждая окрестность in содержит некоторое -малое множество (т. е. существует такое, что ). ^[25] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N}$

и если коммутативно, то также: ${\displaystyle X}$

4. Для каждой окрестности in существуют такие и такие, что ^[25] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\subseteq x+N.}$

• Достаточно проверить любое из приведенных выше условий для любого заданного базиса окрестности в ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Предположим , что это префильтр на коммутативной топологической группе , а Тогда в том и только в том случае, если и Коши. ^[23] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Полная коммутативная топологическая группа

Напомним, что для любого префильтра on обязательно является подмножеством ; то есть, ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

Подмножество топологической группы называется полным подмножеством , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

1. Каждый префильтр Коши сходится хотя бы к одной точке ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
   • Если это Хаусдорф, то каждый префильтр сходится не более чем к одной точке. Но если не Хаусдорф, то префильтр может сходиться к нескольким точкам. То же самое верно и для сетей. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Каждая сеть Коши в сходится хотя бы к одной точке из ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
3. Любой фильтр Коши сходится хотя бы к одной точке ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle S}$является полным равномерным пространством (согласно определению топологии множества точек как « полное равномерное пространство »), когда оно наделено однородностью, индуцированной на нем канонической однородностью ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Подмножество называется секвенциально полным подмножеством , если каждая последовательность Коши в (или, что то же самое, каждый элементарный фильтр/предварительный фильтр Коши в ) сходится хотя бы к одной точке ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

• Важно отметить, что сходимость за пределами разрешена ${\displaystyle S}$ : если это не Хаусдорф и если каждый префильтр Коши на сходится к некоторой точке, то будет полной, даже если некоторые или все префильтры Коши на также сходятся к точкам в дополнении . Короче говоря, существует нет требования, чтобы эти предварительные фильтры Коши сходились только к точкам в. То же самое можно сказать и о сходимости сетей Коши в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$
  • Как следствие, если коммутативная топологическая группа не является Хаусдорфовой , то каждое подмножество замыкания скажем полно (поскольку оно явно компактно и каждый компакт обязательно полон). Так, в частности, если (например, если a является одноэлементным набором, таким как ) тогда будет полным, даже если каждая сеть Коши в (и каждый префильтр Коши в ) сходится к каждой точке в (включая те точки в которые не входят в ) . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\},}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} \{0\},}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle S}$
  • Этот пример также показывает, что полные подмножества (даже компактные подмножества) нехаусдорфова пространства могут не быть замкнутыми (например, if then замкнуто тогда и только тогда, когда ). ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} \{0\}}$

Коммутативная топологическая группа называется полной группой , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является полным как подмножество самого себя.
2. Любая сеть Коши сходится хотя бы к одной точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Существует окрестность in , которая также является полным подмножеством из ^[25] ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Отсюда следует, что каждая локально компактная коммутативная топологическая группа полна.
4. Будучи наделенным канонической однородностью, оно становится полным однородным пространством . ${\displaystyle X}$
   • В общей теории равномерных пространств равномерное пространство называется полным равномерным пространством , если каждый фильтр Коши в сходится к некоторой точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X.}$

Топологическая группа называется секвенциально полной, если она является секвенциально полным подмножеством самой себя.

Базис окрестности : Предположим , что это пополнение коммутативной топологической группы с и это база окрестности начала координат в Тогда семейство множеств ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N:N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$

^[23] ${\displaystyle C.}$

Равномерная непрерывность

Пусть и — топологические группы, и — отображение. Тогда равномерно непрерывно , если для каждой окрестности начала координат в существует окрестность начала в такая, что для всех если то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D\subseteq X,}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x,y\in D,}$ ${\displaystyle y-x\in U}$ ${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$

Обобщения

Ослабляя условия непрерывности, можно получить различные обобщения топологических групп: ^[26]

• Полутопологическая группа — это группа G с такой топологией, что для каждого c ∈ G две функции G → G , определенные равенствами x ↦ xc и x ↦ cx , непрерывны.
• Квазитопологическая группа — это полутопологическая группа, в которой функция, отображающая элементы в обратные, также непрерывна.
• Паратопологическая группа — это группа с такой топологией, что групповая операция непрерывна.

Смотрите также

• Алгебраическая группа  - алгебраическое многообразие с групповой структурой.
• Полное поле  - алгебраическая структура, полная относительно метрики.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Компактная группа  - Топологическая группа с компактной топологией.
• Полное топологическое векторное пространство  - TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся к одной точке.
• Группа Ли  - группа, которая также является дифференцируемым многообразием с гладкими групповыми операциями.
• Локально компактное поле
• Локально компактная группа  - топологическая группа G, для которой основная топология локально компактна и хаусдорфова, так что можно определить меру Хаара.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Локально компактная квантовая группа  – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группамPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Проконечная группа  - Топологическая группа, в определенном смысле собранная из системы конечных групп.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Топологическая абелева группа  - понятие в математике.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическое поле  - алгебраическая структура со сложением, умножением и делением.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологический модуль
• Топологическое кольцо  - кольцо, в котором кольцевые операции непрерывны.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическая полугруппа  - полугруппа с непрерывным действием.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.

Примечания

1. т.е. непрерывность означает, что для любого открытого множества U ⊆ G функция f ⁻¹ ( U ) открыта в области dom f функции f .

Цитаты

1. Понтрягин 1946, с. 52.
2. Хьюитт и Росс 1979, с. 1.
3. Армстронг 1997, с. 73; Бредон 1997, с. 51
4. Narici & Beckenstein 2011, стр. 19–45.
5. Бурбаки 1998, раздел III.3.
6. Бурбаки 1998, раздел III.2.7.
7. Монтгомери и Зиппин 1955, раздел 1.22.
8. Штрубле, Раймонд А. (1974). «Метрики в локально компактных группах». Математическая композиция . 28 (3): 217–222.
9. Хаагеруп, Уффе; Пшибышевска, Агата (2006), Правильные метрики на локально компактных группах и правильные аффинные изометрические действия на , CiteSeerX 10.1.1.236.827 
10. Бурбаки 1998, раздел III.2.5.
11. Бурбаки 1998, раздел I.11.5.
12. Бурбаки 1998, раздел III.2.8.
13. Монтгомери и Зиппин 1955, раздел 4.10.
14. Монтгомери и Зиппин 1955, раздел 4.6.
15. Бурбаки 1998, раздел III.4.6.
16. Хьюитт и Росс 1970, Теорема 27.40.
17. Макки 1976, раздел 2.4.
18. Банащик 1983.
19. Хэтчер 2001, Теорема 4.66.
20. Хэтчер 2001, Теорема 3C.4.
21. Эдвардс 1995, с. 61.
22. Шефер и Вольф 1999, стр. 12–19.
23. Narici & Beckenstein 2011, стр. 47–66.
24. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 48.
25. Narici & Beckenstein 2011, стр. 48–51.
26. Архангельский и Ткаченко 2008, с. 12.

Рекомендации

• Архангельский, Александр ; Ткаченко, Михаил (2008). Топологические группы и родственные структуры . Всемирная научная . ISBN 978-90-78677-06-2. МР  2433295.
• Армстронг, Марк А. (1997). Основная топология (1-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90839-0. МР  0705632.
• Банащик, Войцех (1983), «О существовании экзотических групп Банаха – Ли», Mathematische Annalen , 264 (4): 485–493, doi : 10.1007/BF01456956, MR  0716262, S2CID  119755117
• Бурбаки, Николя (1998), Общая топология. Главы 1–4 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-64241-2, МР  1726779
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Курс абстрактного гармонического анализа , CRC Press , ISBN 0-8493-8490-7
• Бредон, Глен Э. (1997). Топология и геометрия . Тексты для аспирантов по математике (1-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-97926-3. МР  1700700.
• Хэтчер, Аллен (2001), алгебраическая топология, издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-79540-0, МР  1867354
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Хьюитт, Эдвин ; Росс, Кеннет А. (1979), Абстрактный гармонический анализ , том. 1 (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0387941905, МР  0551496
• Хьюитт, Эдвин ; Росс, Кеннет А. (1970), Абстрактный гармонический анализ , том. 2, Спрингер-Верлаг , ISBN 978-0387048321, МР  0262773
• Макки, Джордж В. (1976), Теория представлений унитарных групп , University of Chicago Press , ISBN 0-226-50051-9, МР  0396826
• Монтгомери, Дин ; Зиппин, Лео (1955), Группы топологических преобразований , Нью-Йорк, Лондон: Interscience Publishers , MR  0073104
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Понтрягин, Леон (1946). Топологические группы . Издательство Принстонского университета .
• Понтрягин, Лев С. (1986). Топологические группы . пер. с русского Арлена Брауна и ПСВ Найду (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 2-88124-133-6. МР  0201557.
• Портеус, Ян Р. (1981). Топологическая геометрия (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-23160-4. МР  0606198.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.