Полиномиальная последовательность
В математике полиномы Эрмита представляют собой классическую последовательность ортогональных полиномов .
Полиномы возникают в:
Полиномы Эрмита были определены Пьером-Симоном Лапласом в 1810 году, [1] [2] , хотя и в малоузнаваемой форме, и подробно изучены Пафнутием Чебышевым в 1859 году . [3] Работа Чебышева осталась без внимания, и они были названы позже в честь Чарльза Эрмита. , который писал о полиномах в 1864 году, назвав их новыми. [4] Следовательно, они не были новыми, хотя Эрмит был первым, кто определил многомерные полиномы в своих более поздних публикациях 1865 года.
Определение Как и другие классические ортогональные полиномы , полиномы Эрмита могут быть определены из нескольких разных отправных точек. С самого начала отметив, что широко используются две разные стандартизации, один из удобных методов заключается в следующем:
«Вероятностные полиномы Эрмита» имеют вид ЧАС е н ( Икс ) "=" ( − 1 ) н е Икс 2 2 д н д Икс н е − Икс 2 2 , {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n }}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},} в то время как «полиномы Эрмита физики» имеют вид ЧАС н ( Икс ) "=" ( − 1 ) н е Икс 2 д н д Икс н е − Икс 2 . {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{- х^{2}}.} Эти уравнения имеют форму формулы Родригеса и также могут быть записаны как:
ЧАС е н ( Икс ) "=" ( Икс − д д Икс ) н ⋅ 1 , ЧАС н ( Икс ) "=" ( 2 Икс − д д Икс ) н ⋅ 1. {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x- {\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n} (x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.} Эти два определения не совсем идентичны; каждый является масштабированием другого:
ЧАС н ( Икс ) "=" 2 н 2 ЧАС е н ( 2 Икс ) , ЧАС е н ( Икс ) "=" 2 − н 2 ЧАС н ( Икс 2 ) . {\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right) ,\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt { 2}}}\вправо).} Это полиномиальные последовательности Эрмита различной дисперсии; см. материал о отклонениях ниже.
Обозначения He и H используются в стандартных ссылках. [5]
Полиномы He n иногда обозначаются H n , особенно в теории вероятностей, потому что
1 2 π е − Икс 2 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}} функция плотности вероятности нормального распределения ожидаемым значением стандартным отклонением Первые шесть вероятностных полиномов Эрмита He n ( x ) Первые шесть (физических) полиномов Эрмита H n ( x ) Первые одиннадцать вероятностных полиномов Эрмита: ЧАС е 0 ( Икс ) "=" 1 , ЧАС е 1 ( Икс ) "=" Икс , ЧАС е 2 ( Икс ) "=" Икс 2 − 1 , ЧАС е 3 ( Икс ) "=" Икс 3 − 3 Икс , ЧАС е 4 ( Икс ) "=" Икс 4 − 6 Икс 2 + 3 , ЧАС е 5 ( Икс ) "=" Икс 5 − 10 Икс 3 + 15 Икс , ЧАС е 6 ( Икс ) "=" Икс 6 − 15 Икс 4 + 45 Икс 2 − 15 , ЧАС е 7 ( Икс ) "=" Икс 7 − 21 Икс 5 + 105 Икс 3 − 105 Икс , ЧАС е 8 ( Икс ) "=" Икс 8 − 28 Икс 6 + 210 Икс 4 − 420 Икс 2 + 105 , ЧАС е 9 ( Икс ) "=" Икс 9 − 36 Икс 7 + 378 Икс 5 − 1260 Икс 3 + 945 Икс , ЧАС е 10 ( Икс ) "=" Икс 10 − 45 Икс 8 + 630 Икс 6 − 3150 Икс 4 + 4725 Икс 2 − 945. {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{0}(x)&=1,\\{\mathit {He}}_{1}(x)&=x,\\{ \mathit {He}}_{2}(x)&=x^{2}-1,\\{\mathit {He}}_{3}(x)&=x^{3}-3x,\ \{\mathit {He}}_{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\{\mathit {He}}_{5}(x)&=x ^{5}-10x^{3}+15x,\\{\mathit {He}}_{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15 ,\\{\mathit {He}}_{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\{\mathit {He}}_{ 8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\{\mathit {He}}_{9}(x)& =x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\{\mathit {He}}_{10}(x)&=x^{10} -45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}} Первые одиннадцать полиномов Эрмита физики: ЧАС 0 ( Икс ) "=" 1 , ЧАС 1 ( Икс ) "=" 2 Икс , ЧАС 2 ( Икс ) "=" 4 Икс 2 − 2 , ЧАС 3 ( Икс ) "=" 8 Икс 3 − 12 Икс , ЧАС 4 ( Икс ) "=" 16 Икс 4 − 48 Икс 2 + 12 , ЧАС 5 ( Икс ) "=" 32 Икс 5 − 160 Икс 3 + 120 Икс , ЧАС 6 ( Икс ) "=" 64 Икс 6 − 480 Икс 4 + 720 Икс 2 − 120 , ЧАС 7 ( Икс ) "=" 128 Икс 7 − 1344 Икс 5 + 3360 Икс 3 − 1680 г. Икс , ЧАС 8 ( Икс ) "=" 256 Икс 8 − 3584 Икс 6 + 13440 Икс 4 − 13440 Икс 2 + 1680 г. , ЧАС 9 ( Икс ) "=" 512 Икс 9 − 9216 Икс 7 + 48384 Икс 5 − 80640 Икс 3 + 30240 Икс , ЧАС 10 ( Икс ) "=" 1024 Икс 10 − 23040 Икс 8 + 161280 Икс 6 − 403200 Икс 4 + 302400 Икс 2 − 30240. {\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}} Характеристики Полином Эрмита n - го порядка — это многочлен степени n . Версия вероятностного He n имеет ведущий коэффициент 1, а версия физика H n имеет ведущий коэффициент 2 n .
Симметрия Из приведенных выше формул Родригеса мы видим, что H n ( x ) и He n ( x ) являются четными или нечетными функциями , зависящими от n :
H n ( − x ) = ( − 1 ) n H n ( x ) , H e n ( − x ) = ( − 1 ) n H e n ( x ) . {\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad {\mathit {He}}_{n}(-x)=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{n}(x).} Ортогональность H n ( x ) и He n ( x ) являются полиномами n -й степени для n = 0, 1, 2, 3,... . Эти полиномы ортогональны относительно весовой функции ( меры )
w ( x ) = e − x 2 2 ( for H e ) {\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}{\mathit {He}})} w ( x ) = e − x 2 ( for H ) , {\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),} ∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) w ( x ) d x = 0 for all m ≠ n . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.} Более того,
∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) e − x 2 d x = π 2 n n ! δ n m , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},} ∫ − ∞ ∞ H e m ( x ) H e n ( x ) e − x 2 2 d x = 2 π n ! δ n m , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},} дельта Кронекера δ n m {\displaystyle \delta _{nm}} Таким образом, вероятностные полиномы ортогональны относительно стандартной нормальной функции плотности вероятности.
Полнота Полиномы Эрмита (вероятностные или физические) образуют ортогональный базис гильбертова пространства функций, удовлетворяющих
∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 w ( x ) d x < ∞ , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,} ⟨ f , g ⟩ = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) g ( x ) ¯ w ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx} Гаусса w ( x )Ортогональный базис для L2 ( R , w ( x ) dx ) является полной ортогональной системой . Для ортогональной системы полнота эквивалентна тому, что 0-функция является единственной функцией f ∈ L2 ( R , w ( x ) dx ) , ортогональной всем функциям в системе.
Поскольку линейная оболочка полиномов Эрмита представляет собой пространство всех полиномов, необходимо показать (в случае физики), что если f удовлетворяет условию
∫ − ∞ ∞ f ( x ) x n e − x 2 d x = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0} n ≥ 0f = 0Один из возможных способов сделать это — осознать, что вся функция
F ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e z x − x 2 d x = ∑ n = 0 ∞ z n n ! ∫ f ( x ) x n e − x 2 d x = 0 {\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0} F ( it ) = 0t, преобразование Фурье ( x ) e − x 2 равно f В случае Эрмита также возможно доказать явное тождество, предполагающее полноту (см. раздел об отношении полноты ниже).
Эквивалентная формулировка того факта, что полиномы Эрмита являются ортогональным базисом для L 2 ( R , w ( x ) dx ) , состоит во введении функций Эрмита (см. ниже) и в утверждении, что функции Эрмита являются ортонормированным базисом для L 2 ( Р ) .
Дифференциальное уравнение Эрмита Полиномы Эрмита вероятностного специалиста являются решениями дифференциального уравнения
( e − 1 2 x 2 u ′ ) ′ + λ e − 1 2 x 2 u = 0 , {\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,} λ u λ u ( x ) = C 1 H e λ ( x ) {\displaystyle u(x)=C_{1}He_{\lambda }(x)} C 1 {\displaystyle C_{1}} Переписывание дифференциального уравнения как проблемы собственных значений
L [ u ] = u ″ − x u ′ = − λ u , {\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,} собственные функции уравнением Эрмита H e λ ( x ) {\displaystyle He_{\lambda }(x)} L [ u ] {\displaystyle L[u]} u ″ − 2 x u ′ = − 2 λ u . {\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.} u u ( x ) = C 1 H λ ( x ) {\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)} C 1 {\displaystyle C_{1}} Общие решения приведенных выше дифференциальных уравнений второго порядка фактически представляют собой линейные комбинации как полиномов Эрмита, так и вырожденных гипергеометрических функций первого рода. Например, для уравнения Эрмита физика
u ″ − 2 x u ′ + 2 λ u = 0 , {\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,} u ( x ) = C 1 H λ ( x ) + C 2 h λ ( x ) , {\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),} вырожденные гипергеометрические функции первого рода C 1 {\displaystyle C_{1}} C 2 {\displaystyle C_{2}} H λ ( x ) {\displaystyle H_{\lambda }(x)} h λ ( x ) {\displaystyle h_{\lambda }(x)} h λ ( x ) = 1 F 1 ( − λ 2 ; 1 2 ; x 2 ) {\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})} 1 F 1 ( a ; b ; z ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)} При наличии более общих граничных условий полиномы Эрмита можно обобщить для получения более общих аналитических функций для комплекснозначных λ . Также возможна явная формула полиномов Эрмита через контурные интегралы (Курант и Гильберт, 1989).
Рекуррентное отношение Последовательность вероятностных полиномов Эрмита также удовлетворяет рекуррентному соотношению
H e n + 1 ( x ) = x H e n ( x ) − H e n ′ ( x ) . {\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x).} a n + 1 , k = { − ( k + 1 ) a n , k + 1 k = 0 , a n , k − 1 − ( k + 1 ) a n , k + 1 k > 0 , {\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}} а 0,0 = 1а 1,0 = 0а 1,1 = 1Для полиномов физика, предполагая
H n ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k x k , {\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},} H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − H n ′ ( x ) . {\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).} a n + 1 , k = { − a n , k + 1 k = 0 , 2 a n , k − 1 − ( k + 1 ) a n , k + 1 k > 0 , {\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}} а 0,0 = 1а 1,0 = 0а 1,1 = 2Полиномы Эрмита составляют последовательность Аппелла , т. е. представляют собой полиномиальную последовательность, удовлетворяющую тождеству
H e n ′ ( x ) = n H e n − 1 ( x ) , H n ′ ( x ) = 2 n H n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}'(x)&=n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}} Интегральная рекуррентность, выведенная и продемонстрированная в [6], выглядит следующим образом:
H e n + 1 ( x ) = ( n + 1 ) ∫ 0 x H e n ( t ) d t − H e n ′ ( 0 ) , {\displaystyle He_{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}He_{n}(t)dt-He'_{n}(0),}
H n + 1 ( x ) = 2 ( n + 1 ) ∫ 0 x H n ( t ) d t − H n ′ ( 0 ) . {\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).} Эквивалентно, с помощью расширения Тейлора ,
H e n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k H e k ( y ) = 2 − n 2 ∑ k = 0 n ( n k ) H e n − k ( x 2 ) H e k ( y 2 ) , H n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) H k ( x ) ( 2 y ) ( n − k ) = 2 − n 2 ⋅ ∑ k = 0 n ( n k ) H n − k ( x 2 ) H k ( y 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}{\mathit {He}}_{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right){\mathit {He}}_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}} теневые H e n ( x ) = e − D 2 2 x n , H n ( x ) = 2 n e − D 2 4 x n . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}} Следовательно, для m -х производных справедливы следующие соотношения:
H e n ( m ) ( x ) = n ! ( n − m ) ! H e n − m ( x ) = m ! ( n m ) H e n − m ( x ) , H n ( m ) ( x ) = 2 m n ! ( n − m ) ! H n − m ( x ) = 2 m m ! ( n m ) H n − m ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}{\mathit {He}}_{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}{\mathit {He}}_{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}} Отсюда следует, что полиномы Эрмита также удовлетворяют рекуррентному соотношению
H e n + 1 ( x ) = x H e n ( x ) − n H e n − 1 ( x ) , H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − 2 n H n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n+1}(x)&=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}} Эти последние соотношения вместе с исходными полиномами H 0 ( x ) и H 1 ( x ) можно использовать на практике для быстрого вычисления полиномов.
Неравенства Турана :
H n ( x ) 2 − H n − 1 ( x ) H n + 1 ( x ) = ( n − 1 ) ! ∑ i = 0 n − 1 2 n − i i ! H i ( x ) 2 > 0. {\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.} Более того, имеет место следующая теорема умножения :
H n ( γ x ) = ∑ i = 0 ⌊ n 2 ⌋ γ n − 2 i ( γ 2 − 1 ) i ( n 2 i ) ( 2 i ) ! i ! H n − 2 i ( x ) , H e n ( γ x ) = ∑ i = 0 ⌊ n 2 ⌋ γ n − 2 i ( γ 2 − 1 ) i ( n 2 i ) ( 2 i ) ! i ! 2 − i H e n − 2 i ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\{\mathit {He}}_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}{\mathit {He}}_{n-2i}(x).\end{aligned}}} Явное выражение Полиномы Эрмита физики можно явно записать как
H n ( x ) = { n ! ∑ l = 0 n 2 ( − 1 ) n 2 − l ( 2 l ) ! ( n 2 − l ) ! ( 2 x ) 2 l for even n , n ! ∑ l = 0 n − 1 2 ( − 1 ) n − 1 2 − l ( 2 l + 1 ) ! ( n − 1 2 − l ) ! ( 2 x ) 2 l + 1 for odd n . {\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}} Эти два уравнения можно объединить в одно с помощью функции пола :
H n ( x ) = n ! ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ ( − 1 ) m m ! ( n − 2 m ) ! ( 2 x ) n − 2 m . {\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.} Полиномы Эрмита He имеют аналогичные формулы, которые можно получить из них, заменив степень 2 x соответствующей степенью √ 2 x и умножив всю сумму на 2 —н / 2 :
H e n ( x ) = n ! ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ ( − 1 ) m m ! ( n − 2 m ) ! x n − 2 m 2 m . {\displaystyle He_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.} Обратное явное выражение Обратные к приведенным выше явным выражениям, то есть выражения для мономов в терминах вероятностных полиномов Эрмита He , равны
x n = n ! ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ 1 2 m m ! ( n − 2 m ) ! H e n − 2 m ( x ) . {\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}He_{n-2m}(x).} Соответствующие выражения для полиномов Эрмита физика H следуют непосредственно при правильном масштабировании: [7]
x n = n ! 2 n ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ 1 m ! ( n − 2 m ) ! H n − 2 m ( x ) . {\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).} Генерирующая функция Полиномы Эрмита задаются экспоненциальной производящей функцией
e x t − 1 2 t 2 = ∑ n = 0 ∞ H e n ( x ) t n n ! , e 2 x t − t 2 = ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) t n n ! . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}} Это равенство справедливо для всех комплексных значений x и t и может быть получено путем записи разложения Тейлора в точке x всей функции z → e − z 2 (в случае физика). Можно также получить производящую функцию (физика), используя интегральную формулу Коши для записи полиномов Эрмита в виде
H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 = ( − 1 ) n e x 2 n ! 2 π i ∮ γ e − z 2 ( z − x ) n + 1 d z . {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.} Используя это в сумме
∑ n = 0 ∞ H n ( x ) t n n ! , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},} Ожидаемые значения Если X — случайная величина с нормальным распределением со стандартным отклонением 1 и ожидаемым значением μ , то
E [ H e n ( X ) ] = μ n . {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[{\mathit {He}}_{n}(X)\right]=\mu ^{n}.} Моменты стандартной нормали (с нулевым математическим ожиданием) можно считать непосредственно из соотношения для четных индексов:
E [ X 2 n ] = ( − 1 ) n H e 2 n ( 0 ) = ( 2 n − 1 ) ! ! , {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{2n}(0)=(2n-1)!!,} (2 n − 1)!! двойной факториал H e n ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( x + i y ) n e − y 2 2 d y . {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.} Асимптотическое расширение Асимптотически при n → ∞ разложение [8]
e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ 2 n π Γ ( n + 1 2 ) cos ( x 2 n − n π 2 ) {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)} e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ 2 n π Γ ( n + 1 2 ) cos ( x 2 n − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 = 2 Γ ( n ) Γ ( n 2 ) cos ( x 2 n − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 , {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},} приближение Стирлинга e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ ( 2 n e ) n 2 2 cos ( x 2 n − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 . {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.} Это разложение необходимо для разрешения волновой функции квантового гармонического осциллятора так, чтобы она согласовывалась с классическим приближением в пределе принципа соответствия .
Лучшее приближение, учитывающее изменение частоты, имеет вид
e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) ∼ ( 2 n e ) n 2 2 cos ( x 2 n + 1 − x 2 3 − n π 2 ) ( 1 − x 2 2 n + 1 ) − 1 4 . {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.} В более тонком приближении [9] , учитывающем неравномерное расстояние между нулями вблизи краев, используется замена
x = 2 n + 1 cos ( φ ) , 0 < ε ≤ φ ≤ π − ε , {\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,} e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) = 2 n 2 + 1 4 n ! ( π n ) − 1 4 ( sin φ ) − 1 2 ⋅ ( sin ( 3 π 4 + ( n 2 + 1 4 ) ( sin 2 φ − 2 φ ) ) + O ( n − 1 ) ) . {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).} Аналогичные приближения справедливы для монотонной и переходной областей. В частности, если
x = 2 n + 1 cosh ( φ ) , 0 < ε ≤ φ ≤ ω < ∞ , {\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,} e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) = 2 n 2 − 3 4 n ! ( π n ) − 1 4 ( sinh φ ) − 1 2 ⋅ e ( n 2 + 1 4 ) ( 2 φ − sinh 2 φ ) ( 1 + O ( n − 1 ) ) , {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),} x = 2 n + 1 + t {\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t} t e − x 2 2 ⋅ H n ( x ) = π 1 4 2 n 2 + 1 4 n ! n − 1 12 ( Ai ( 2 1 2 n 1 6 t ) + O ( n − 2 3 ) ) , {\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),} Ai функция Эйри Особые значения Полиномы Эрмита, полученные физиком при нулевом аргументе H n (0), называются числами Эрмита .
H n ( 0 ) = { 0 for odd n , ( − 2 ) n 2 ( n − 1 ) ! ! for even n , {\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}} H n (0) = −2( n − 1) H n − 2 (0)С точки зрения вероятностных полиномов это переводится как
H e n ( 0 ) = { 0 for odd n , ( − 1 ) n 2 ( n − 1 ) ! ! for even n . {\displaystyle He_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}} Отношения с другими функциями Полиномы Лагерра Полиномы Эрмита можно выразить как частный случай полиномов Лагерра :
H 2 n ( x ) = ( − 4 ) n n ! L n ( − 1 2 ) ( x 2 ) = 4 n n ! ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n − 1 2 n − k ) x 2 k k ! , H 2 n + 1 ( x ) = 2 ( − 4 ) n n ! x L n ( 1 2 ) ( x 2 ) = 2 ⋅ 4 n n ! ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n + 1 2 n − k ) x 2 k + 1 k ! . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}} Связь с вырожденными гипергеометрическими функциями Полиномы Эрмита физики могут быть выражены как частный случай функций параболического цилиндра :
H n ( x ) = 2 n U ( − 1 2 n , 1 2 , x 2 ) {\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)} правой полуплоскости U ( a , b , z )вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми H 2 n ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n ) ! n ! 1 F 1 ( − n , 1 2 ; x 2 ) , H 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! n ! 2 x 1 F 1 ( − n , 3 2 ; x 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}} 1 F 1 ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z )вырожденная гипергеометрическая функция Куммера Полиномиальное разложение Эрмита Подобно разложению Тейлора, некоторые функции выражаются в виде бесконечной суммы полиномов Эрмита. В частности, если , то он имеет разложение в полиномах Эрмита физики. [10] ∫ e − x 2 f ( x ) 2 d x < ∞ {\displaystyle \int e^{-x^{2}}f(x)^{2}dx<\infty }
Учитывая это , частичные суммы разложения Эрмита сходятся к по норме тогда и только тогда, когда . [11] f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} L p {\displaystyle L^{p}} 4 / 3 < p < 4 {\displaystyle 4/3<p<4}
x n = n ! 2 n ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ 1 k ! ( n − 2 k ) ! H n − 2 k ( x ) = n ! ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ 1 k ! 2 k ( n − 2 k ) ! H e n − 2 k ( x ) , n ∈ Z + . {\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,(n-2k)!}}\,H_{n-2k}(x)=n!\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,2^{k}\,(n-2k)!}}\,He_{n-2k}(x),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.} e a x = e a 2 / 4 ∑ n ≥ 0 a n n ! 2 n H n ( x ) , a ∈ C , x ∈ R . {\displaystyle e^{ax}=e^{a^{2}/4}\sum _{n\geq 0}{\frac {a^{n}}{n!\,2^{n}}}\,H_{n}(x),\qquad a\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} .} e − a 2 x 2 = ∑ n ≥ 0 ( − 1 ) n a 2 n n ! ( 1 + a 2 ) n + 1 / 2 2 2 n H 2 n ( x ) . {\displaystyle e^{-a^{2}x^{2}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{n!\left(1+a^{2}\right)^{n+1/2}2^{2n}}}\,H_{2n}(x).} erf ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t = 1 2 π ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k k ! ( 2 k + 1 ) 2 3 k H 2 k ( x ) . {\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\mathrm {~d} t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(2k+1)2^{3k}}}H_{2k}(x).} cosh ( 2 x ) = e ∑ k ≥ 0 1 ( 2 k ) ! H 2 k ( x ) , sinh ( 2 x ) = e ∑ k ≥ 0 1 ( 2 k + 1 ) ! H 2 k + 1 ( x ) . {\displaystyle \cosh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k)!}}\,H_{2k}(x),\qquad \sinh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x).} cos ( x ) = e − 1 / 4 ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k 2 2 k ( 2 k ) ! H 2 k ( x ) sin ( x ) = e − 1 / 4 ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k 2 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! H 2 k + 1 ( x ) {\displaystyle \cos(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k}\,(2k)!}}\,H_{2k}(x)\quad \sin(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x)} Дифференциально-операторное представление Полиномы Эрмита вероятностного специалиста удовлетворяют тождеству
H e n ( x ) = e − D 2 2 x n , {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},} D x экспонента степенной ряд Поскольку коэффициенты экспоненты в степенном ряду хорошо известны, а производные монома x n более высокого порядка могут быть записаны явно, это дифференциально-операторное представление приводит к конкретной формуле для коэффициентов H n , которую можно использовать чтобы быстро вычислить эти полиномы.
Поскольку формальным выражением преобразования Вейерштрасса W является e D 2 , мы видим, что преобразование Вейерштрасса ( √ 2 ) n He n (Икс / √ 2 ) — это х п . По сути, преобразование Вейерштрасса превращает ряд полиномов Эрмита в соответствующий ряд Маклорена .
Существование некоторого формального степенного ряда g ( D ) с ненулевым постоянным коэффициентом, такого, что He n ( x ) = g ( D ) xn , является еще одним эквивалентом утверждения, что эти многочлены образуют последовательность Аппелла . Поскольку они являются последовательностью Апелля, они тем более являются последовательностями Шеффера .
Контурно-интегральное представление Из приведенного выше представления производящей функции мы видим, что полиномы Эрмита имеют представление в терминах контурного интеграла , как
H e n ( x ) = n ! 2 π i ∮ C e t x − t 2 2 t n + 1 d t , H n ( x ) = n ! 2 π i ∮ C e 2 t x − t 2 t n + 1 d t , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}} Обобщения Определенные выше полиномы Эрмита вероятностного средства ортогональны относительно стандартного нормального распределения вероятностей, функция плотности которого равна
1 2 π e − x 2 2 , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},} Масштабируя, аналогично можно говорить об обобщенных полиномах Эрмита [12]
H e n [ α ] ( x ) {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)} α α ( 2 π α ) − 1 2 e − x 2 2 α . {\displaystyle (2\pi \alpha )^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.} H e n [ α ] ( x ) = α n 2 H e n ( x α ) = ( α 2 ) n 2 H n ( x 2 α ) = e − α D 2 2 ( x n ) . {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).} Сейчас если
H e n [ α ] ( x ) = ∑ k = 0 n h n , k [ α ] x k , {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},} n-й ( H e n [ α ] ∘ H e [ β ] ) ( x ) ≡ ∑ k = 0 n h n , k [ α ] H e k [ β ] ( x ) {\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,{\mathit {He}}_{k}^{[\beta ]}(x)} теневой композицией ( H e n [ α ] ∘ H e [ β ] ) ( x ) = H e n [ α + β ] ( x ) {\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)={\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)} H e n [ α + β ] ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) H e k [ α ] ( x ) H e n − k [ β ] ( y ) . {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[\beta ]}(y).} параметризованное семейство биномиального типа для α = β =1 / 2 «Отрицательная дисперсия» Поскольку полиномиальные последовательности образуют группу при операции теневой композиции , можно обозначить через
H e n [ − α ] ( x ) {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)} α > 0 H e n [ − α ] ( x ) {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)} H e n [ α ] ( x ) {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)} Они возникают как моменты нормального распределения вероятностей: n -й момент нормального распределения с ожидаемым значением µ и дисперсией σ 2 равен
E [ X n ] = H e n [ − σ 2 ] ( μ ) , {\displaystyle E[X^{n}]={\mathit {He}}_{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),} X ∑ k = 0 n ( n k ) H e k [ α ] ( x ) H e n − k [ − α ] ( y ) = H e n [ 0 ] ( x + y ) = ( x + y ) n . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[-\alpha ]}(y)={\mathit {He}}_{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.} Функции Эрмита Определение Можно определить функции Эрмита (часто называемые функциями Эрмита-Гаусса) из полиномов физики:
ψ n ( x ) = ( 2 n n ! π ) − 1 2 e − x 2 2 H n ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n n ! π ) − 1 2 e x 2 2 d n d x n e − x 2 . {\displaystyle \psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.} 2 ( n + 1 ) ψ n + 1 ( x ) = ( x − d d x ) ψ n ( x ) . {\displaystyle {\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x).} Поскольку эти функции содержат квадратный корень из весовой функции и были соответствующим образом масштабированы, они ортонормированы :
∫ − ∞ ∞ ψ n ( x ) ψ m ( x ) d x = δ n m , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},} L 2 ( R )Функции Эрмита тесно связаны с функцией Уиттекера (Whittaker & Watson 1996) D n ( z ) :
D n ( z ) = ( n ! π ) 1 2 ψ n ( z 2 ) = ( − 1 ) n e z 2 4 d n d z n e − z 2 2 {\displaystyle D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}} функциям параболического цилиндра Функции Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению
ψ n ″ ( x ) + ( 2 n + 1 − x 2 ) ψ n ( x ) = 0. {\displaystyle \psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.} уравнению Шрёдингера собственными функциями Функции Эрмита: 0 (синий, сплошной), 1 (оранжевый, пунктирный), 2 (зеленый, пунктирный), 3 (красный, пунктирный), 4 (фиолетовый, сплошной) и 5 (коричневый, пунктирный).
ψ 0 ( x ) = π − 1 4 e − 1 2 x 2 , ψ 1 ( x ) = 2 π − 1 4 x e − 1 2 x 2 , ψ 2 ( x ) = ( 2 π 1 4 ) − 1 ( 2 x 2 − 1 ) e − 1 2 x 2 , ψ 3 ( x ) = ( 3 π 1 4 ) − 1 ( 2 x 3 − 3 x ) e − 1 2 x 2 , ψ 4 ( x ) = ( 2 6 π 1 4 ) − 1 ( 4 x 4 − 12 x 2 + 3 ) e − 1 2 x 2 , ψ 5 ( x ) = ( 2 15 π 1 4 ) − 1 ( 4 x 5 − 20 x 3 + 15 x ) e − 1 2 x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}(x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{\sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}} Функции Эрмита: 0 (синий, сплошной), 2 (оранжевый, пунктирный), 4 (зеленый, пунктирный) и 50 (красный, сплошной). Отношение рекурсии Следуя рекурсивным соотношениям полиномов Эрмита, функции Эрмита подчиняются
ψ n ′ ( x ) = n 2 ψ n − 1 ( x ) − n + 1 2 ψ n + 1 ( x ) {\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)} x ψ n ( x ) = n 2 ψ n − 1 ( x ) + n + 1 2 ψ n + 1 ( x ) . {\displaystyle x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x).} Распространение первого соотношения на произвольные m -ые производные для любого натурального числа m приводит к
ψ n ( m ) ( x ) = ∑ k = 0 m ( m k ) ( − 1 ) k 2 m − k 2 n ! ( n − m + k ) ! ψ n − m + k ( x ) H e k ( x ) . {\displaystyle \psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x){\mathit {He}}_{k}(x).} Эту формулу можно использовать в сочетании с рекуррентными соотношениями для He n и ψ n для эффективного вычисления любой производной функций Эрмита.
Неравенство Крамера Для вещественного x функции Эрмита удовлетворяют следующей оценке Харальда Крамера [13] [14] и Джека Индрица: [15]
| ψ n ( x ) | ≤ π − 1 4 . {\displaystyle {\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.} Функции Эрмита как собственные функции преобразования Фурье Функции Эрмита ψ n ( x ) представляют собой набор собственных функций непрерывного преобразования Фурье F . Чтобы увидеть это, возьмите физическую версию производящей функции и умножьте на e —1 / 2 х 2 . Это дает
e − 1 2 x 2 + 2 x t − t 2 = ∑ n = 0 ∞ e − 1 2 x 2 H n ( x ) t n n ! . {\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.} Преобразование Фурье левой части имеет вид
F { e − 1 2 x 2 + 2 x t − t 2 } ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − i x k e − 1 2 x 2 + 2 x t − t 2 d x = e − 1 2 k 2 − 2 k i t + t 2 = ∑ n = 0 ∞ e − 1 2 k 2 H n ( k ) ( − i t ) n n ! . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\right\}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){\frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{aligned}}} Преобразование Фурье правой части имеет вид
F { ∑ n = 0 ∞ e − 1 2 x 2 H n ( x ) t n n ! } = ∑ n = 0 ∞ F { e − 1 2 x 2 H n ( x ) } t n n ! . {\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.} Приравнивание одинаковых степеней t в преобразованных версиях левой и правой частей в конечном итоге дает
F { e − 1 2 x 2 H n ( x ) } = ( − i ) n e − 1 2 k 2 H n ( k ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).} Таким образом , функции Эрмита ψn ( x ) являются ортонормированным базисом L2 ( R ) , который диагонализует оператор преобразования Фурье . [16]
Распределения Вигнера функций Эрмита Функция распределения Вигнера функции Эрмита n -го порядка связана с полиномом Лагерра n -го порядка . Полиномы Лагерра:
L n ( x ) := ∑ k = 0 n ( n k ) ( − 1 ) k k ! x k , {\displaystyle L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},} l n ( x ) := e − x 2 L n ( x ) . {\displaystyle l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).} n [17], W ψ n ( t , f ) = ( − 1 ) n l n ( 4 π ( t 2 + f 2 ) ) , {\displaystyle W_{\psi _{n}}(t,f)=(-1)^{n}l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2}){\big )},} x ∈ L 2 ( R , C ) W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t + τ 2 ) x ( t − τ 2 ) ∗ e − 2 π i τ f d τ . {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .} квантового гармонического осциллятора Хипом Гроневолдом [18] квантовой механики в фазовом пространстве Между двумя семействами полиномов существуют и другие отношения .
Комбинаторная интерпретация коэффициентов В полиноме Эрмита He n ( x ) дисперсии 1 абсолютное значение коэффициента при x k представляет собой количество (неупорядоченных) разбиений набора n -элементов на k одиночных элементов ип - к / 2 (неупорядоченные) пары. Эквивалентно, это количество инволюций набора из n -элементов ровно с k неподвижными точками или, другими словами, количество паросочетаний в полном графе на n вершинах, которые оставляют k вершин непокрытыми (действительно, полиномы Эрмита - это паросочетания полиномы этих графов). Сумма абсолютных значений коэффициентов дает общее количество разбиений на одиночки и пары, так называемые телефонные номера.
1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... (последовательность A000085 в OEIS ). Эта комбинаторная интерпретация может быть связана с полными экспоненциальными полиномами Белла следующим образом:
H e n ( x ) = B n ( x , − 1 , 0 , … , 0 ) , {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),} x i знак равно 0i > 2Эти числа также могут быть выражены как специальные значения полиномов Эрмита: [19]
T ( n ) = H e n ( i ) i n . {\displaystyle T(n)={\frac {{\mathit {He}}_{n}(i)}{i^{n}}}.} Отношение полноты Формула Кристоффеля -Дарбу для полиномов Эрмита гласит:
∑ k = 0 n H k ( x ) H k ( y ) k ! 2 k = 1 n ! 2 n + 1 H n ( y ) H n + 1 ( x ) − H n ( x ) H n + 1 ( y ) x − y . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.} Более того, в смысле распределений для указанных выше функций Эрмита справедливо следующее тождество полноты :
∑ n = 0 ∞ ψ n ( x ) ψ n ( y ) = δ ( x − y ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),} δ дельта-функция Дирака ψ n — δ ( x − y )меру Лебега y = x R 2 Это тождество распределения следует Винеру (1958), беря u → 1 в формуле Мелера , справедливой, когда −1 < u < 1 :
E ( x , y ; u ) := ∑ n = 0 ∞ u n ψ n ( x ) ψ n ( y ) = 1 π ( 1 − u 2 ) exp ( − 1 − u 1 + u ( x + y ) 2 4 − 1 + u 1 − u ( x − y ) 2 4 ) , {\displaystyle E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),} [20] [21] ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) H n ( y ) n ! ( u 2 ) n = 1 1 − u 2 e 2 u 1 + u x y − u 2 1 − u 2 ( x − y ) 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.} Функция ( x , y ) → E ( x , y ; u ) представляет собой двумерную гауссову плотность вероятности на R 2 , которая, когда u близка к 1, очень сконцентрирована вокруг линии y = x и очень разбросана по линии R 2 . эта линия. Следует, что
∑ n = 0 ∞ u n ⟨ f , ψ n ⟩ ⟨ ψ n , g ⟩ = ∬ E ( x , y ; u ) f ( x ) g ( y ) ¯ d x d y → ∫ f ( x ) g ( x ) ¯ d x = ⟨ f , g ⟩ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},g\rangle =\iint E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle } f g Отсюда следует, что f можно выразить через функции Эрмита как сумму ряда векторов из L 2 ( R ) , а именно:
f = ∑ n = 0 ∞ ⟨ f , ψ n ⟩ ψ n . {\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.} Чтобы доказать приведенное выше равенство для E ( x , y ; u ) , преобразование Фурье гауссовских функций используется неоднократно:
ρ π e − ρ 2 x 2 4 = ∫ e i s x − s 2 ρ 2 d s for ρ > 0. {\displaystyle \rho {\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\rho ^{2}x^{2}}{4}}}=\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{for }}\rho >0.} Полином Эрмита тогда представляется как
H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n ( 1 2 π ∫ e i s x − s 2 4 d s ) = ( − 1 ) n e x 2 1 2 π ∫ ( i s ) n e i s x − s 2 4 d s . {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds.} С помощью этого представления для H n ( x ) и H n ( y ) очевидно, что
E ( x , y ; u ) = ∑ n = 0 ∞ u n 2 n n ! π H n ( x ) H n ( y ) e − x 2 + y 2 2 = e x 2 + y 2 2 4 π π ∬ ( ∑ n = 0 ∞ 1 2 n n ! ( − u s t ) n ) e i s x + i t y − s 2 4 − t 2 4 d s d t = e x 2 + y 2 2 4 π π ∬ e − u s t 2 e i s x + i t y − s 2 4 − t 2 4 d s d t , {\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{aligned}}} s = σ + τ 2 , t = σ − τ 2 . {\displaystyle s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\quad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.} Смотрите также Примечания ^ Лаплас (1811). «Записки об определенных интегралах и их применении к вероятностям, и особенно к поиску среднего значения, которое необходимо выбирать среди результатов наблюдений]. Mémoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut Imperial de France (на французском языке). 11 : 297–347. ^ Лаплас, П.-С. (1812), Théorie Analytique des Probilités [ Аналитическая теория вероятностей ], том. 2, стр. 194–203. Собраны в Œuvres Completes VII.^ Чебышев, П. (1860). «Sur le développement des fonctions à une seulevarium» [О разработке функций с одной переменной]. Бюллетень Имперской академии наук Санкт-Петербурга (на французском языке). 1 : 193–200. Собрано в Œuvres I, 501–508.^ Эрмит, К. (1864). «Sur un nouveau développement en série de fonctions» [О новом развитии функциональной серии]. ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 58 : 93–100. Собрано в Œuvres II , 293–303.^ Том Х. Коорнвиндер, Родерик С.К. Вонг и Рулоф Кукук и др. (2010) и Абрамовиц и Стегун . ^ Уртадо Бенавидес, Мигель Анхель. (2020). Де-лас-суммы-де-потенциалы, лас-аппелл и ваши особенности в функциональных целях. [Тесис де маэстрия]. Университет Серджио Арболеды. ^ "18. Ортогональные полиномы, классические ортогональные полиномы, суммы" . Электронная библиотека математических функций . Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 30 января 2015 г. ^ Абрамовиц и Стегун 1983, с. 508–510, 13.6.38 и 13.5.16. ^ Сегё 1955, с. 201 ^ «Учебник MATHEMATICA, часть 2.5: Расширение Эрмита» . www.cfm.brown.edu . Проверено 24 декабря 2023 г. ^ Аски, Ричард; Вайнгер, Стивен (1965). «Средняя сходимость разложений в ряды Лагерра и Эрмита». Американский журнал математики . 87 (3): 695–708. дои : 10.2307/2373069. ISSN 0002-9327. ^ Роман, Стивен (1984), Теневое исчисление , Чистая и прикладная математика, том. 111 (1-е изд.), Academic Press, стр. 87–93, ISBN. 978-0-12-594380-2 ^ Эрдели и др. 1955, с. 207. ^ Сегё 1955. ^ Индриц, Джек (1961), «Неравенство для полиномов Эрмита», Труды Американского математического общества , 12 (6): 981–983, doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0132852-2 , MR 0132852 ^ В этом случае мы использовали унитарную версию преобразования Фурье, поэтому собственные значения равны (− i ) n . Последующее разрешение идентичности затем служит для определения степеней, в том числе дробных, преобразования Фурье, то есть обобщения дробного преобразования Фурье , по сути, ядра Мелера . ^ Фолланд, Великобритания (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Анналы математических исследований, том. 122, Издательство Принстонского университета, ISBN 978-0-691-08528-9 ^ Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G. дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4. ^ Бандерье, Сирил; Буске-Мелу, Мирей ; Дениз, Ален; Флажоле, Филипп ; Гарди, Даниэль; Гую-Бошам, Доминик (2002), «Производящие функции для генерации деревьев», Discrete Mathematics , 246 (1–3): 29–55, arXiv : math/0411250 , doi : 10.1016/S0012-365X(01)00250-3 , МР 1884885, S2CID 14804110 ^ Мелер, Ф.Г. (1866), «Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung» [О разработке функции произвольного числа переменных в соответствии с функциями Лапласа высшего порядка], Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке) (66): 161–176, ISSN 0075-4102, ERAM 066.1720cj. . См. стр. 174, экв. (18) и с. 173, экв. (13).^ Эрдели и др. 1955, с. 194, 10,13 (22). Рекомендации Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 773. ИСБН 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036. МР 0167642. LCCN 65-12253.Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1989) [1953], Методы математической физики , том. 1, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-50447-4 Эрдели, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции (PDF) , том. II, МакГроу-Хилл, ISBN 978-0-07-019546-2 Федорюк, М.В. (2001) [1994], «Функция Эрмита», Математическая энциклопедия , EMS Press Коорнвиндер, Том Х .; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 .Лаплас, PS (1810), «Мемуар о интегральных определениях и применении вероятностей и специальных исследованиях среды, которые не могут быть выбраны из результатов наблюдений», Mémoires de l'Académie des Sciences : 279–347 Oeuvres complètes 12, стр. 357–412, английский перевод. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine .Шохат, Дж.А.; Хилле, Эйнар; Уолш, Джозеф Л. (1940), Библиография по ортогональным полиномам , Бюллетень Национального исследовательского совета, том. Номер 103, Вашингтон, округ Колумбия: Национальная академия наук. - 2000 библиографических ссылок по полиномам Эрмита.Суетин, П.К. (2001) [1994], «Полиномы Эрмита», Математическая энциклопедия , EMS Press Сегё, Габор (1955) [1939], Ортогональные полиномы , Публикации коллоквиума, том. 23 (4-е изд.), Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-1023-1 Темме, Нико (1996), Специальные функции: введение в классические функции математической физики , Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-11313-3 Винер, Норберт (1958) [1933], Интеграл Фурье и некоторые его приложения (переработанная редакция), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-60272-9 Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1996) [1927], Курс современного анализа (4-е изд.), Лондон: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-58807-2 Внешние ссылки