Оператор лестницы

Raising and lowering operators in quantum mechanics

В линейной алгебре (и ее применении в квантовой механике ) повышающий или понижающий оператор (совместно именуемые лестничными операторами ) — это оператор , который увеличивает или уменьшает собственное значение другого оператора. В квантовой механике повышающий оператор иногда называют оператором создания , а понижающий оператор — оператором уничтожения . Известные применения лестничных операторов в квантовой механике находятся в формализмах квантового гармонического осциллятора и углового момента .

Терминология

Существует связь между операторами подъема и опускания лестницы и операторами создания и уничтожения, обычно используемыми в квантовой теории поля , которая лежит в теории представлений . Оператор создания a _i ^† увеличивает число частиц в состоянии i , в то время как соответствующий оператор уничтожения a _i уменьшает число частиц в состоянии i . Это явно удовлетворяет требованиям приведенного выше определения оператора лестницы: увеличение или уменьшение собственного значения другого оператора (в данном случае оператора числа частиц ).

Путаница возникает, поскольку термин «оператор лестницы» обычно используется для описания оператора, который действует для увеличения или уменьшения квантового числа, описывающего состояние системы. Чтобы изменить состояние частицы с помощью операторов создания/уничтожения QFT, требуется использование как операторов уничтожения, так и операторов создания. Оператор уничтожения используется для удаления частицы из начального состояния , а оператор создания используется для добавления частицы в конечное состояние.

Термин «оператор лестницы» или «операторы повышения и понижения» также иногда используется в математике в контексте теории алгебр Ли и, в частности, аффинных алгебр Ли . Например, для описания подалгебр su(2) корневая система и модули наивысшего веса могут быть построены с помощью операторов лестницы. ^[1] В частности, наивысший вес аннулируется операторами повышения; остальная часть положительного корневого пространства получается путем многократного применения операторов понижения (один набор операторов лестницы на подалгебру).

Мотивация от математики

С точки зрения теории представлений линейное представление полупростой группы Ли в непрерывных действительных параметрах индуцирует набор генераторов для алгебры Ли . Их сложная линейная комбинация является операторами лестницы. ^{[ необходимо разъяснение ]} Для каждого параметра существует набор операторов лестницы; они являются стандартизированным способом навигации по одному измерению корневой системы и решетки корней . ^[2] Операторы лестницы квантового гармонического осциллятора или «числовое представление» вторичного квантования являются лишь частными случаями этого факта. Затем операторы лестницы становятся повсеместными в квантовой механике от оператора углового момента до когерентных состояний и дискретных операторов магнитного переноса .

Общая формулировка

Предположим, что два оператора X и N имеют коммутационное соотношение для некоторого скаляра c . Если — собственное состояние N с уравнением собственных значений , то оператор X действует на таким образом, чтобы сместить собственное значение на c : $${\displaystyle [N,X]=cX}$$ ${\displaystyle {|n\rangle }}$ $${\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,}$$ ${\displaystyle |n\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}$$

Другими словами, если — собственное состояние N с собственным значением n , то — собственное состояние N с собственным значением n + c или равно нулю. Оператор X является повышающим оператором для N, если c — действительное и положительное число, и понижающим оператором для N, если c — действительное и отрицательное число. ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle X|n\rangle }$

Если N — эрмитов оператор , то c должен быть действительным, а эрмитов сопряженный оператор X подчиняется коммутационному соотношению $${\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.}$$

В частности, если X является понижающим оператором для N , то X ^† является повышающим оператором для N и наоборот. ^{[ сомнительно – обсудить ]}

Угловой момент импульса

Конкретное применение концепции лестничного оператора найдено в квантово-механической трактовке углового момента . Для общего вектора углового момента J с компонентами J _x , J _y и J _z определяются два лестничных оператора ^[3], где i — мнимая единица . $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}}}$$

Соотношение коммутации между декартовыми компонентами любого оператора углового момента задается выражением , где ε _ijk — символ Леви-Чивиты , а каждый из i , j и k может принимать любое из значений x , y и z . $${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},}$$

Отсюда получаются коммутационные соотношения между операторами лестницы и J _z : (технически это алгебра Ли ). $${\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}]&=2\hbar J_{z}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )}$

Свойства лестничных операторов можно определить, наблюдая, как они изменяют действие оператора J _z на заданное состояние: $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{\pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}$$

Сравните этот результат с $${\displaystyle J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .}$$

Таким образом, можно сделать вывод, что — это некоторый скаляр , умноженный на : ${\displaystyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }}$ ${\displaystyle {|j\,(m\pm 1)\rangle }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle &=\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{aligned}}}$$

Это иллюстрирует определяющую особенность операторов лестницы в квантовой механике: увеличение (или уменьшение) квантового числа, тем самым отображая одно квантовое состояние на другое. Вот почему их часто называют повышающими и понижающими операторами.

Чтобы получить значения α и β , сначала возьмем норму каждого оператора, учитывая, что J ₊ и J ₋ являются эрмитово сопряженной парой ( ): ${\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2},\\&\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}}$$

Произведение лестничных операторов можно выразить через коммутирующую пару J ² и J _z : $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}}$$

Таким образом , можно выразить значения | α | ² и | β | ² через собственные значения J ² и J _z : $${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}}$$

Фазы α и β не имеют физического значения, поэтому их можно выбрать положительными и действительными ( конвенция о фазах Кондона–Шортли ). Тогда мы имеем ^[4] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}}$$

Подтверждая, что m ограничено значением j ( ), имеем ${\displaystyle -j\leq m\leq j}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{aligned}}}$$

Приведенная выше демонстрация фактически представляет собой построение коэффициентов Клебша–Гордана .

Приложения в атомной и молекулярной физике

Многие члены в гамильтонианах атомных или молекулярных систем включают скалярное произведение операторов углового момента. Примером является магнитный дипольный член в сверхтонком гамильтониане : ^[5] где I — ядерный спин. $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,}$$

Алгебру углового момента часто можно упростить, переведя ее в сферический базис . Используя обозначения операторов сферического тензора , компоненты "−1", "0" и "+1" J ⁽¹⁾ ≡ J задаются как ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}$$

Из этих определений можно показать, что указанное выше скалярное произведение можно разложить как $${\displaystyle \mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.}$$

Значимость этого разложения заключается в том, что оно ясно показывает, какие состояния связаны этим членом в гамильтониане, то есть те, квантовые числа которых отличаются только на m _i = ±1 и m _j = ∓1 .

Гармонический осциллятор

Другое применение концепции оператора лестницы можно найти в квантово-механической трактовке гармонического осциллятора. Мы можем определить операторы понижения и повышения как $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right),\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right).\end{aligned}}}$$

Они предоставляют удобный способ извлечения собственных значений энергии без непосредственного решения дифференциального уравнения системы.

Водородоподобный атом

В литературе описаны два основных подхода с использованием лестничных операторов: один с использованием вектора Лапласа–Рунге–Ленца, другой с использованием факторизации гамильтониана.

Вектор Лапласа–Рунге–Ленца

Другое применение концепции лестничного оператора найдено в квантово-механической обработке электронной энергии водородоподобных атомов и ионов. Вектор Лапласа–Рунге–Ленца коммутирует с гамильтонианом для обратно квадратичного сферически симметричного потенциала и может быть использован для определения лестничных операторов для этого потенциала. ^{[7] [8]} Мы можем определить понижающие и повышающие операторы (на основе классического вектора Лапласа–Рунге–Ленца ), где — угловой момент, — линейный импульс, — приведенная масса системы, — электронный заряд, — атомный номер ядра. Аналогично лестничным операторам углового момента, имеем и . $${\displaystyle {\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec {p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}},}$$ ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{+}=A_{x}+iA_{y}}$ ${\displaystyle A_{-}=A_{x}-iA_{y}}$

Необходимыми для продолжения являются коммутаторы и Следовательно, и поэтому , где «?» указывает на возникающее квантовое число, которое возникает в результате обсуждения. $${\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }}$$ $${\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }.}$$ $${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle }$$ $${\displaystyle -L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1)+1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right),}$$ $${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle ,}$$

Учитывая уравнения Паули ^{[9] [10]} IV: и III: и начиная с уравнения и расширяя его, получаем (предполагая, что — максимальное значение квантового числа углового момента, согласующееся со всеми другими условиями) , что приводит к формуле Ридберга , подразумевающей, что , где — традиционное квантовое число. $${\displaystyle 1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2})}$$ $${\displaystyle \left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)L_{j},}$$ $${\displaystyle A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0}$$ ${\displaystyle \ell ^{*}}$ $${\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0,}$$ $${\displaystyle E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}},}$$ ${\displaystyle \ell ^{*}+1=n=?}$ ${\displaystyle n}$

Факторизация гамильтониана

Гамильтониан для водородоподобного потенциала можно записать в сферических координатах как , где , а радиальный импульс является действительным и самосопряженным. $${\displaystyle H={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}L^{2}\right]+V(r),}$$ ${\displaystyle V(r)=-Ze^{2}/r}$ $${\displaystyle p_{r}={\frac {x}{r}}p_{x}+{\frac {y}{r}}p_{y}+{\frac {z}{r}}p_{z},}$$

Предположим, что — собственный вектор гамильтониана, где — момент импульса, а представляет собой энергию, поэтому , и мы можем обозначить гамильтониан как : ${\displaystyle |nl\rangle }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle }$ ${\displaystyle H_{l}}$ $${\displaystyle H_{l}={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\hbar ^{2}\right]+V(r).}$$

Метод факторизации был разработан Инфельдом и Халлом ^[11] для дифференциальных уравнений. Ньюмарч и Голдинг ^[12] применили его к сферически симметричным потенциалам, используя операторную нотацию.

Предположим, что мы можем найти факторизацию гамильтониана с помощью операторов как ${\displaystyle C_{l}}$

и для скаляров и . Вектор можно оценить двумя различными способами, которые можно переставить так, чтобы показать, что является собственным состоянием с собственным значением Если , то , а состояния и имеют одинаковую энергию. $${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}}$$ ${\displaystyle F_{l}}$ ${\displaystyle G_{l}}$ ${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_{l}|nl\rangle \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\rangle ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_{l}|nl\rangle ),}$$ ${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$ ${\displaystyle H_{l+1}}$ $${\displaystyle E_{l+1}^{n'}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu ).}$$ ${\displaystyle F_{l}=G_{l}}$ ${\displaystyle n'=n}$ ${\displaystyle |nl\rangle }$ ${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$

Для водородного атома, устанавливая с подходящим уравнением для , имеем : Существует верхняя граница для оператора лестницы, если энергия отрицательна (так что для некоторых ), тогда, если из уравнения ( 1 ) следует, что и может быть идентифицировано с $${\displaystyle V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}}$$ $${\displaystyle B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }},}$$ ${\displaystyle C_{l}}$ $${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}}$$ $${\displaystyle F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}.}$$ ${\displaystyle C_{l}|nl_{\text{max}}\rangle =0}$ ${\displaystyle l_{\text{max}}}$ $${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\text{max}}+1)^{2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\text{max}}+1)^{2}}},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l_{\text{max}}+1.}$

Связь с теорией групп

Всякий раз, когда в системе есть вырождение, обычно есть связанное свойство симметрии и группа. Вырождение уровней энергии для одного и того же значения, но разных угловых моментов было идентифицировано как симметрия SO(4) сферически симметричного кулоновского потенциала. ^{[13] [14]} ${\displaystyle n}$

3D изотропный гармонический осциллятор

Трехмерный изотропный гармонический осциллятор имеет потенциал, определяемый выражением $${\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}.}$$

Аналогичным образом можно управлять этим, используя метод факторизации.

Метод факторизации

Подходящая факторизация дается выражением ^[12] с и Тогда и продолжая это, Теперь гамильтониан имеет только положительные уровни энергии, как можно видеть из Это означает, что для некоторого значения ряд должен заканчиваться на и тогда Это уменьшается по энергии на если только для некоторого значения . Определение этого значения как дает $${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r}$$ $${\displaystyle F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar }$$ $${\displaystyle G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar .}$$ $${\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{l}^{n}-\omega \hbar ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle C_{l_{\text{max}}}|nl_{\text{max}}\rangle =0,}$ $${\displaystyle E_{l_{\text{max}}}^{n}=-{\frac {F_{l_{\text{max}}}}{2\mu }}=\left(l_{\text{max}}+{\frac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$ ${\displaystyle \omega \hbar }$ ${\displaystyle C_{l}|n,l\rangle =0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$

Затем следует, что давая рекурсивное отношение с решением ${\displaystyle n'=n-1}$ $${\displaystyle C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1,\,l+1\rangle ,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(n-l)}}.}$$

Есть вырождение, вызванное угловым моментом; есть дополнительное вырождение, вызванное потенциалом осциллятора. Рассмотрим состояния и применим понижающие операторы : давая последовательность с той же энергией, но с уменьшением на 2. В дополнение к вырождению углового момента, это дает полное вырождение ^[15] ${\displaystyle |n,\,n\rangle ,|n-1,\,n-1\rangle ,|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle C_{n-2}^{*}|n-1,\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle |n,n\rangle ,|n,\,n-2\rangle ,|n,\,n-4\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle (n+1)(n+2)/2}$

Связь с теорией групп

Вырождения трехмерного изотропного гармонического осциллятора связаны со специальной унитарной группой SU(3) ^{[15] [16]}

История

Многие источники приписывают Полю Дираку изобретение лестничных операторов. ^[17] Использование Дираком лестничных операторов показывает, что полное квантовое число углового момента должно быть неотрицательным полуцелым числом, кратным ħ . ${\displaystyle j}$

Смотрите также

• Операторы создания и уничтожения
• Квантовый гармонический осциллятор
• основа Шевалли

Ссылки

1. Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
2. Харрис, Фултон, Теория представлениястр. 164
3. de Lange, OL; RE Raab (1986). «Операторы лестницы для орбитального углового момента». American Journal of Physics . 54 (4): 372–375. Bibcode :1986AmJPh..54..372D. doi :10.1119/1.14625.
4. Сакурай, Джун Дж. (1994). Современная квантовая механика . Дели, Индия: Pearson Education, Inc. стр. 192. ISBN 81-7808-006-0.
5. Вудгейт, Гордон К. (1983-10-06). Элементарная структура атома. ISBN 978-0-19-851156-4. Получено 2009-03-03 .
6. "Операторы углового момента". Graduate Quantum Mechanics Notes . University of Virginia . Получено 2009-04-06 .
7. Дэвид, CW (1966). «Решение оператора лестницы для уровней энергии электронов атома водорода». Американский журнал физики . 34 (10): 984–985. Bibcode : 1966AmJPh..34..984D. doi : 10.1119/1.1972354.
8. Burkhardt, CE; Levanthal, J. (2004). «Векторные операции Ленца над собственными функциями сферического атома водорода». American Journal of Physics . 72 (8): 1013–1016. Bibcode : 2004AmJPh..72.1013B. doi : 10.1119/1.1758225 .
9. Паули, Вольфганг (1926). «Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik». З. Физ . 36 (5): 336–363. Бибкод : 1926ZPhy...36..336P. дои : 10.1007/BF01450175. S2CID  128132824.
10. Б.Л. Ван дер Варден, Источники квантовой механики, Дувр, Нью-Йорк, 1968.
11. L., Infeld; Hull, TE (1951). «Метод факторизации». Rev. Mod. Phys . 23 (1): 21–68. Bibcode :1951RvMP...23...21I. doi :10.1103/RevModPhys.23.21.
12. Newmarch, JD; Golding, RM (1978). «Операторы лестницы для некоторых сферически симметричных потенциалов в квантовой механике». Am. J. Phys . 46 : 658–660. doi : 10.1119/1.11225 .
13. Вайнберг, С. Дж. (2011). «Симметрия SO(4) атома водорода» (PDF) .
14. Лахири, А.; Рой, П. К.; Багчи, Б. (1989). «Суперсимметрия и техника лестничных операторов в квантовой механике: радиальное уравнение Шредингера». Int. J. Theor. Phys . 28 (2): 183–189. Bibcode :1989IJTP...28..183L. doi :10.1007/BF00669809. S2CID  123255435.
15. Kirson, MW (2013). "Введение в алгебру для физиков: изотропный гармонический осциллятор" (PDF) . Weizmann Institute of Science . Получено 28 июля 2021 г. .
16. Фрадкин, Д. М. (1965). «Трехмерный изотропный гармонический осциллятор и SU3». Am. J. Phys . 33 (3): 207–211. Bibcode : 1965AmJPh..33..207F. doi : 10.1119/1.1971373.
17. Уэбб, Стивен. «Квантовый гармонический осциллятор» (PDF) . www.fisica.net . Получено 5 ноября 2023 г. .