Оператор лестницы

Повышение и понижение операторов в квантовой механике

В линейной алгебре (и ее применении к квантовой механике ) оператор повышения или понижения (вместе известный как лестничные операторы ) — это оператор , который увеличивает или уменьшает собственное значение другого оператора. В квантовой механике оператор повышения иногда называют оператором создания , а оператор понижения — оператором уничтожения . Хорошо известные приложения лестничных операторов в квантовой механике находятся в формализмах квантового гармонического осциллятора и углового момента .

Терминология

Существует связь между операторами подъема и опускания лестницы и операторами рождения и уничтожения, обычно используемыми в квантовой теории поля, которая лежит в теории представлений . Оператор рождения ai _† увеличивает количество частиц в состоянии i , а соответствующий оператор уничтожения ai _{уменьшает} количество частиц в ^{состоянии} i . Это явно удовлетворяет требованиям приведенного выше определения лестничного оператора: увеличение или уменьшение собственного значения другого оператора (в данном случае оператора числа частиц ).

Путаница возникает потому, что термин «лестничный оператор» обычно используется для описания оператора, который увеличивает или уменьшает квантовое число, описывающее состояние системы. Чтобы изменить состояние частицы с помощью операторов создания/уничтожения КТП, необходимо использовать операторы как уничтожения, так и создания. Оператор уничтожения используется для удаления частицы из начального состояния , а оператор создания используется для добавления частицы в конечное состояние.

Термин «лестничный оператор» или «операторы повышения и понижения» также иногда используется в математике, в контексте теории алгебр Ли и, в частности, аффинных алгебр Ли . Например, для описания подалгебр su(2) корневая система и модули старшего веса могут быть построены с помощью лестничных операторов. ^[1] В частности, высший вес аннулируется операторами повышения; остальная часть пространства положительных корней получается путем многократного применения понижающих операторов (один набор лестничных операторов на каждую подалгебру).

Мотивация от математики

С точки зрения теории представлений линейное представление полупростой группы Ли с непрерывными действительными параметрами порождает набор генераторов для алгебры Ли . Сложная линейная комбинация этих операторов представляет собой лестничные операторы. ^{[ необходимо пояснение ]} Для каждого параметра существует набор лестничных операторов; Это стандартизированный способ навигации по одному измерению корневой системы и корневой решетки . ^[2] Лестничные операторы квантового гармонического осциллятора или «числовое представление» вторичного квантования являются лишь частными случаями этого факта. Лестничные операторы затем становятся повсеместными в квантовой механике от оператора углового момента до когерентных состояний и дискретных операторов магнитного сдвига .

Общая формулировка

Предположим, что два оператора X и N имеют коммутационное соотношение

$${\displaystyle [N,X]=cX}$$

cN ${\displaystyle {|n\rangle }}$

$${\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,}$$

Xc ${\displaystyle |n\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}$$

Другими словами, если это собственное состояние N с собственным значением n , то это собственное состояние N с собственным значением n + c или равно нулю. Оператор X является повышающим оператором для N , если c вещественное и положительное, и понижающим оператором для N , если c вещественное и отрицательное. ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle X|n\rangle }$

Если N — эрмитов оператор , то c должен быть действительным, а эрмитово сопряженное к X подчиняется коммутационному соотношению

$${\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.}$$

В частности, если X — понижающий оператор для N , то X ^† — повышающий оператор для N , и наоборот. ^{[ сомнительно ]}

Угловой момент

Особое применение концепции лестничного оператора можно найти в квантовомеханической трактовке углового момента . Для общего вектора углового момента J с компонентами J _x , J _y и J _z определяются два лестничных оператора ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}}}$$

ямнимая единица

Коммутационное соотношение между декартовыми компонентами любого оператора углового момента определяется выражением

$${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},}$$

εijk _—Леви-Чивитаijkxyz

Отсюда получаются коммутационные соотношения между лестничными операторами и J _{z :}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}]&=2\hbar J_{z}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )}$

Свойства лестничных операторов можно определить, наблюдая, как они изменяют действие оператора J _z на заданное состояние:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{\pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}$$

Сравните этот результат с

$${\displaystyle J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .}$$

Таким образом, можно сделать вывод, что это некоторый скаляр , умноженный на : ${\displaystyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }}$ ${\displaystyle {|j\,(m\pm 1)\rangle }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle &=\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{aligned}}}$$

Это иллюстрирует определяющую особенность лестничных операторов в квантовой механике: увеличение (или уменьшение) квантового числа, таким образом отображающее одно квантовое состояние на другое. По этой причине их часто называют операторами повышения и понижения.

Чтобы получить значения α и β , сначала возьмите норму каждого оператора, учитывая, что J ₊ и J ₋ являются эрмитовой сопряженной парой ( ): ${\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2},\\&\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}}$$

Произведение лестничных операторов можно выразить через коммутирующую пару J ² и J _z :

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, можно выразить значения | α | ² и | β | ² через собственные значения J ² и J _z :

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}}$$

Фазы α и β не являются физически значимыми, поэтому их можно выбрать положительными и действительными ( соглашение о фазах Кондона – Шортли ). Тогда мы имеем ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}}$$

Подтверждая, что m ограничено значением j ( ), имеем ${\displaystyle -j\leq m\leq j}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{aligned}}}$$

Приведенная выше демонстрация фактически представляет собой построение коэффициентов Клебша – Гордана .

Приложения в атомной и молекулярной физике

Многие члены гамильтонианов атомных или молекулярных систем включают скалярное произведение операторов углового момента. Примером может служить член магнитного диполя в сверхтонком гамильтониане : ^[5]

$${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,}$$

I

Алгебру углового момента часто можно упростить, переведя ее в сферический базис . Используя обозначения сферических тензорных операторов , компоненты «−1», «0» и «+1» J ⁽¹⁾ ≡ J определяются формулой ^[6]

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}$$

Из этих определений можно показать, что приведенное выше скалярное произведение можно разложить как

$${\displaystyle \mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.}$$

Значение этого разложения состоит в том, что оно ясно указывает, какие состояния связаны этим членом в гамильтониане, то есть состояния с квантовыми числами, отличающимися только на m _i = ±1 и m _j = ∓1 .

Гармонический осциллятор

Другое применение концепции лестничного оператора можно найти в квантовомеханической трактовке гармонического осциллятора. Мы можем определить операторы понижения и повышения как

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right),\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right).\end{aligned}}}$$

Они предоставляют удобные средства для извлечения собственных значений энергии без прямого решения дифференциального уравнения системы.

Водородоподобный атом

В литературе представлены два основных подхода с использованием лестничных операторов: один с использованием вектора Лапласа – Рунге – Ленца, другой с использованием факторизации гамильтониана.

Вектор Лапласа–Рунге–Ленца

Другое применение концепции лестничного оператора можно найти в квантовомеханической трактовке электронной энергии водородоподобных атомов и ионов. Вектор Лапласа –Рунге–Ленца коммутирует с гамильтонианом обратноквадратного сферически-симметричного потенциала и может быть использован для определения лестничных операторов для этого потенциала. ^{[7] [8]} Мы можем определить понижающие и повышающие операторы (на основе классического вектора Лапласа–Рунге–Ленца )

$${\displaystyle {\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec {p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}},}$$

${\displaystyle {\vec {L}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{+}=A_{x}+iA_{y}}$ ${\displaystyle A_{-}=A_{x}-iA_{y}}$

Коммутаторы, необходимые для продолжения,

$${\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }}$$

$${\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }.}$$

$${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle }$$

$${\displaystyle -L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1)+1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right),}$$

$${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle ,}$$

Учитывая уравнения Паули ^{[9] [10]} IV:

$${\displaystyle 1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2})}$$

$${\displaystyle \left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)L_{j},}$$

$${\displaystyle A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0}$$

${\displaystyle \ell ^{*}}$

$${\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0,}$$

формуле Ридберга

$${\displaystyle E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}},}$$

${\displaystyle \ell ^{*}+1=n=?}$ ${\displaystyle n}$

Факторизация гамильтониана

Гамильтониан для водородоподобного потенциала можно записать в сферических координатах как

$${\displaystyle H={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}L^{2}\right]+V(r),}$$

${\displaystyle V(r)=-Ze^{2}/r}$

$${\displaystyle p_{r}={\frac {x}{r}}p_{x}+{\frac {y}{r}}p_{y}+{\frac {z}{r}}p_{z},}$$

Предположим , что это собственный вектор гамильтониана, где является угловым моментом и представляет собой энергию, поэтому мы можем обозначить гамильтониан как : ${\displaystyle |nl\rangle }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle }$ ${\displaystyle H_{l}}$

$${\displaystyle H_{l}={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\hbar ^{2}\right]+V(r).}$$

Метод факторизации был развит Инфельдом и Халлом ^[11] для дифференциальных уравнений. Ньюмарч и Голдинг ^[12] применили его к сферически симметричным потенциалам, используя операторную запись.

Предположим, мы можем найти факторизацию гамильтониана операторами как ${\displaystyle C_{l}}$

и

$${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}}$$

${\displaystyle F_{l}}$ ${\displaystyle G_{l}}$ ${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_{l}|nl\rangle \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\rangle ,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_{l}|nl\rangle ),}$$

${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$ ${\displaystyle H_{l+1}}$

$${\displaystyle E_{l+1}^{n'}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu ).}$$

${\displaystyle F_{l}=G_{l}}$ ${\displaystyle n'=n}$ ${\displaystyle |nl\rangle }$ ${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$

Для атома водорода постановка

$${\displaystyle V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}}$$

$${\displaystyle B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }},}$$

${\displaystyle C_{l}}$

$${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}}$$

$${\displaystyle F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}.}$$

1 ${\displaystyle C_{l}|nl_{\text{max}}\rangle =0}$ ${\displaystyle l_{\text{max}}}$

$${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\text{max}}+1)^{2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\text{max}}+1)^{2}}},}$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l_{\text{max}}+1.}$

Связь с теорией групп

Всякий раз, когда в системе возникает вырождение, обычно имеется связанное с ним свойство симметрии и группа. Вырождение энергетических уровней для одинаковых значений, но разных угловых моментов было идентифицировано как SO(4) -симметрия сферически-симметричного кулоновского потенциала. ^{[13] [14]} ${\displaystyle n}$

3D изотропный гармонический генератор

Трехмерный изотропный гармонический осциллятор имеет потенциал, определяемый выражением

$${\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}.}$$

Аналогичным образом с этим можно справиться, используя метод факторизации.

Метод факторизации

Подходящая факторизация дается формулой ^[12]

$${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r}$$

$${\displaystyle F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar }$$

$${\displaystyle G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar .}$$

$${\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{l}^{n}-\omega \hbar ,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle l}$ ${\displaystyle C_{l_{\text{max}}}|nl_{\text{max}}\rangle =0,}$

$${\displaystyle E_{l_{\text{max}}}^{n}=-{\frac {F_{l_{\text{max}}}}{2\mu }}=\left(l_{\text{max}}+{\frac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$

${\displaystyle \omega \hbar }$ ${\displaystyle C_{l}|n,l\rangle =0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$

Затем следует так, что ${\displaystyle n'=n-1}$

$${\displaystyle C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1,\,l+1\rangle ,}$$

${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(n-l)}}.}$$

Существует вырождение, вызванное угловым моментом; имеется дополнительное вырождение, вызванное потенциалом осциллятора. Рассмотрим состояния и примените понижающие операторы : давая последовательность с той же энергией, но с уменьшением на 2. Помимо вырождения по угловому моменту, это дает полное вырождение ^[15] ${\displaystyle |n,\,n\rangle ,|n-1,\,n-1\rangle ,|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle C_{n-2}^{*}|n-1,\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle |n,n\rangle ,|n,\,n-2\rangle ,|n,\,n-4\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle (n+1)(n+2)/2}$

Связь с теорией групп

Вырождения трехмерного изотропного гармонического осциллятора связаны со специальной унитарной группой SU(3) ^{[15] [16]}

История

Многие источники приписывают Полю Дираку изобретение операторов лестниц. ^[17] Использование Дираком лестничных операторов показывает, что полное квантовое число углового момента должно быть неотрицательным полуцелым кратным ħ . ${\displaystyle j}$

Смотрите также

• Операторы создания и уничтожения
• Квантовый гармонический осциллятор
• основа Шевалле

Рекомендации

1. Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-Х
2. Харрис, Фултон, Теория представленийстр. 164
3. де Ланге, OL; Р.Э. Рааб (1986). «Лестничные операторы орбитального углового момента». Американский журнал физики . 54 (4): 372–375. Бибкод : 1986AmJPh..54..372D. дои : 10.1119/1.14625.
4. Сакураи, Джун Дж. (1994). Современная квантовая механика . Дели, Индия: Pearson Education, Inc., с. 192. ИСБН 81-7808-006-0.
5. Вудгейт, Гордон К. (1983-10-06). Элементарная атомная структура. ISBN 978-0-19-851156-4. Проверено 3 марта 2009 г.
6. «Операторы углового момента». Заметки выпускника по квантовой механике . Университет Вирджинии . Проверено 6 апреля 2009 г.
7. Дэвид, CW (1966). «Решение лестничного оператора для уровней электронной энергии атома водорода». Американский журнал физики . 34 (10): 984–985. Бибкод : 1966AmJPh..34..984D. дои : 10.1119/1.1972354.
8. Буркхардт, CE; Леванталь, Дж. (2004). «Векторные операции Ленца над собственными функциями сферического атома водорода». Американский журнал физики . 72 (8): 1013–1016. Бибкод : 2004AmJPh..72.1013B. дои : 10.1119/1.1758225 .
9. Паули, Вольфганг (1926). «Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik». З. Физ . 36 (5): 336–363. Бибкод : 1926ZPhy...36..336P. дои : 10.1007/BF01450175. S2CID  128132824.
10. Б.Л. Ван дер Варден, Источники квантовой механики, Дувр, Нью-Йорк, 1968.
11. Л., Инфельд; Халл, TE (1951). «Метод факторизации». Преподобный Мод. Физ . 23 (1): 21–68. Бибкод : 1951РвМП...23...21И. doi : 10.1103/RevModPhys.23.21.
12. Ньюмарч, JD; Голдинг, РМ (1978). «Лестничные операторы для некоторых сферически-симметричных потенциалов в кванте». Являюсь. Дж. Физ . 46 : 658–660. дои : 10.1119/1.11225 .
13. Вайнберг, SJ (2011). «SO (4) Симметрия атома водорода» (PDF) .
14. Лахири, А.; Рой, ПК; Багчи, Б. (1989). «Суперсимметрия и метод лестничного оператора в квантовой механике: радиальное уравнение Шрёдингера». Межд. Дж. Теория. Физ . 28 (2): 183–189. Бибкод : 1989IJTP...28..183L. дои : 10.1007/BF00669809. S2CID  123255435.
15. Кирсон, MW (2013). «Вводная алгебра для физиков: изотропный гармонический осциллятор» (PDF) . Институт науки Вейцмана . Проверено 28 июля 2021 г.
16. Фрадкин, Д.М. (1965). «Трехмерный изотропный гармонический генератор и SU3». Являюсь. Дж. Физ . 33 (3): 207–211. Бибкод : 1965AmJPh..33..207F. дои : 10.1119/1.1971373.
17. Уэбб, Стивен. «Квантовый гармонический осциллятор» (PDF) . www.fisica.net . Проверено 5 ноября 2023 г.