Операция измерения невозможности двух объектов добираться на работу
В математике коммутатор указывает на степень, в которой определенная двоичная операция не является коммутативной . В теории групп и теории колец используются разные определения .
Теория групп
Коммутатором двух элементов g и h группы G является элемент
- [ грамм , час ] знак равно грамм -1 час -1 gh .
Этот элемент равен единице группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют (то есть тогда и только тогда, когда gh = hg ).
Множество всех коммутаторов группы, вообще говоря, не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа G , порожденная всеми коммутаторами, замкнута и называется производной группой или подгруппой коммутатора G . Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп, а также наибольшей абелевой факторгруппы .
Определение коммутатора, приведенное выше, используется на протяжении всей статьи, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как
- [ грамм , час ] знак равно ghg -1 час -1 . [1] [2]
Тождества (теория групп)
Коммутирующие тождества являются важным инструментом в теории групп . [3] Выражение a x обозначает сопряжение a с x , определяемое как x −1 ax .
- и
- и
- и
Тождество (5) также известно как тождество Холла-Витта , в честь Филипа Холла и Эрнста Витта . Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. следующий раздел).
Обратите внимание: приведенное выше определение сопряжения a с x используется некоторыми теоретиками групп. [4] Многие другие теоретики групп определяют сопряжение a с x как xax −1 . [5] Так часто пишут . Подобные тождества справедливы и для этих конвенций.
Также используются многие тождества, которые верны по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых и нильпотентных групп . Например, в любой группе хорошо ведут себя вторые степени:
Если производная подгруппа центральная, то
Теория колец
Кольца часто не поддерживают разделение. Таким образом, коммутатор двух элементов a и b кольца (или любой ассоциативной алгебры ) определяется по-разному:
Коммутатор равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре , если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так же представляются в терминах каждого базиса. Используя коммутатор в качестве скобки Ли , любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли .
Антикоммутатор двух элементов a и b кольца или ассоциативной алгебры определяется формулой
Иногда используется для обозначения антикоммутатора, а затем для обозначения коммутатора. [6] Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр , а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц .
Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве, является центральным понятием квантовой механики , поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые , описываемые этими операторами, могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона-Шредингера . [7] В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы функций -звездообразных произведений называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым структурам коммутаторов гильбертова пространства.
Тождества (теория колец)
Коммутатор обладает следующими свойствами:
Тождества алгебры лжи
Соотношение (3) называется антикоммутативностью , а (4) — тождеством Якоби .
Дополнительные личности
Если A является фиксированным элементом кольца R , тождество (1) можно интерпретировать как правило Лейбница для отображения, заданного . Другими словами, отображение ad A определяет дифференцирование на кольце R . Тождества (2), (3) представляют собой правила Лейбница для более чем двух факторов и справедливы для любого вывода. Тождества (4)–(6) можно интерпретировать и как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выражают Z - билинейность .
Из тождества (9) находим, что коммутатор целых степеней кольцевых элементов равен:
Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя приведенное выше обозначение ±. [8]
Например:
Экспоненциальные тождества
Рассмотрим кольцо или алгебру, в которой экспонента может быть осмысленно определена, например банахову алгебру или кольцо формальных степенных рядов .
В таком кольце лемма Адамара , примененная к вложенным коммутаторам, дает: (Последнее выражение см. в разделе «Присоединенный вывод» ниже.) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа log (exp ( A ) exp ( B )).
Подобное расширение выражает групповой коммутатор выражений (аналог элементов группы Ли ) через серию вложенных коммутаторов (скобок Ли),
Градуированные кольца и алгебры
При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяют градуированным коммутатором , определяемым в однородных компонентах как
Присоединенный вывод
Другое обозначение оказывается полезным, особенно если иметь дело с несколькими коммутаторами в кольце R. Для элемента мы определяем присоединенное отображение следующим образом:
Это отображение является дифференцированием на кольце R :
По тождеству Якоби это также вывод над операцией коммутации:
Составляя такие отображения, получаем, например , и
Rалгебры Ли
Напротив, это не всегда кольцевой гомоморфизм: обычно .
Правило генерала Лейбница
Общее правило Лейбница , расширяющее повторяющиеся производные произведения, можно записать абстрактно, используя присоединенное представление:
Заменив на оператор дифференцирования и на оператор умножения , получим , и применив обе части к функции g , тождество становится обычным правилом Лейбница для n- й производной .
Смотрите также
Примечания
- ^ Фрели (1976, стр. 108)
- ^ Херштейн (1975, стр. 65)
- ^ Маккей (2000, стр. 4)
- ^ Херштейн (1975, стр. 83)
- ^ Фрели (1976, стр. 128)
- ^ МакМахон (2008)
- ^ Либофф (2003, стр. 140–142)
- ^ Лавров (2014)
Рекомендации
- Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
- Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Прентис Холл , ISBN 0-13-805326-Х
- Херштейн, Индиана (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Wiley, ISBN 0471010901
- Лавров, П. М. (2014), «Тождества типа Якоби в алгебрах и супералгебрах», Теоретическая и математическая физика , 179 (2): 550–558, arXiv : 1304.5050 , Bibcode : 2014TMP...179..550L, doi : 10.1007 /s11232-014-0161-2, S2CID 119175276
- Либофф, Ричард Л. (2003), Вводная квантовая механика (4-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN 0-8053-8714-5
- Маккей, Сьюзен (2000), Конечные p-группы , Математические заметки королевы Марии, том. 18 лет, Лондонский университет , ISBN 978-0-902480-17-9, МР 1802994
- МакМахон, Д. (2008), Квантовая теория поля , МакГроу Хилл , ISBN 978-0-07-154382-8
дальнейшее чтение
- Маккензи, Р .; Сноу, Дж. (2005), «Конгруэнтные модульные многообразия: теория коммутаторов», Кудрявцев, В.Б.; Розенберг, И.Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальной алгебры , Научная серия НАТО II, том. 207, Springer, стр. 273–329, номер документа : 10.1007/1-4020-3817-8_11, ISBN. 9781402038174
Внешние ссылки