Операторы, полезные в квантовой механике
Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы , которые имеют широкое применение в квантовой механике , особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем. [1] Оператор уничтожения (обычно обозначаемый ) уменьшает количество частиц в данном состоянии на одну. Оператор рождения (обычно обозначаемый ) увеличивает количество частиц в данном состоянии на одну и является сопряженным оператором уничтожения. Во многих разделах физики и химии использование этих операторов вместо волновых функций известно как второе квантование . Их представил Поль Дирак . [2]![{\displaystyle {\hat {a}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Операторы рождения и уничтожения могут действовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто действуют на электронные состояния. Они также могут относиться конкретно к лестничным операторам квантового гармонического осциллятора . В последнем случае повышающий оператор интерпретируется как оператор создания, добавляющий в колебательную систему квант энергии (аналогично для понижающего оператора). Их можно использовать для представления фононов . Построение гамильтонианов с использованием этих операторов имеет то преимущество, что теория автоматически удовлетворяет теореме о кластерном разложении . [3]
Математика операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора . [4] Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, а все остальные коммутаторы исчезают. Однако для фермионов математика другая: вместо коммутаторов используются антикоммутаторы . [5]
Лестничные операторы для квантового гармонического осциллятора
В контексте квантового гармонического осциллятора лестничные операторы интерпретируются как операторы создания и уничтожения, добавляющие или вычитающие фиксированные кванты энергии в систему осцилляторов.
Операторы рождения/уничтожения различны для бозонов (целый спин) и фермионов (полуцелый спин). Это происходит потому, что их волновые функции имеют разные свойства симметрии .
Сначала рассмотрим более простой бозонный случай фотонов квантового гармонического осциллятора. Начнем с уравнения Шредингера для одномерного независимого от времени квантового гармонического осциллятора :
![{\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2} }m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Сделайте замену координат, чтобы обезразмерить дифференциальное уравнение .
![{\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar {m\omega }}}q.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Уравнение Шрёдингера для генератора принимает вид
![{\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi ( q)=E\psi (q).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что эта величина представляет собой ту же энергию, что и найденная для квантов света , и что скобка в гамильтониане может быть записана как![{\displaystyle \hbar \omega =h\nu }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left ({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Последние два члена можно упростить, рассмотрев их влияние на произвольную дифференцируемую функцию.![{\ displaystyle f (q),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}\right)f (q) = {\frac {d}{dq}}(qf(q) )-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}=1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -i[q,p]=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поэтому,
![{\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left ({\frac {d}{dq}}+q\right)+1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1} \sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если определить
![{\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(- {\frac {d}{dq}}+q\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
«оператор создания»«оператор повышения»![{\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ \ \ \!{\frac {d}{dq}}+q\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
«оператора уничтожения»«оператора понижения»![{\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Полагая , где – безразмерный оператор импульса,
который имеем![{\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [q,p]=i\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{ \frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1 }{\sqrt {2}}}\left(q- {\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что они подразумевают
![{\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip ]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Операторы и можно противопоставить обычным операторам , которые коммутируют со своими сопряженными. [номер 1]![{\displaystyle а\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{\dagger }\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Используя приведенные выше коммутационные соотношения, оператор Гамильтона можно выразить как
![{\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a ^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Можно вычислить коммутационные соотношения между операторами и и гамильтонианом: [6]![{\displaystyle а\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{\dagger }\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1} 2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+ [a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\ hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти соотношения можно использовать, чтобы легко найти все собственные состояния энергии квантового гармонического осциллятора следующим образом.
Предполагая, что это собственное состояние гамильтониана . Используя эти коммутационные соотношения, следует, что [6]![{\displaystyle \psi _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n} &=(E_{n}-\hbar \omega)\,a\psi _{n}.\\ [1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n }.\end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это показывает, что и также являются собственными состояниями гамильтониана с собственными значениями и соответственно. Это идентифицирует операторы и как операторы «понижения» и «повышения» между соседними собственными состояниями. Разность энергий между соседними собственными состояниями равна .![{\displaystyle a\psi _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{\dagger }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta E=\hbar \omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Основное состояние можно найти, предположив, что понижающий оператор имеет нетривиальное ядро: с . Применяя гамильтониан к основному состоянию,![{\displaystyle a\,\psi _{0}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi _{0}\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0} =\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega } {2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это дает энергию основного состояния , что позволяет идентифицировать собственное значение энергии любого собственного состояния как [6]![{\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Более того, оказывается, что первый из упомянутых в (*) числовых операторов играет наиболее важную роль в приложениях, а второй можно просто заменить на .![{\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle аа^{\кинжал }\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N+1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Следовательно,
![{\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда оператор эволюции во времени
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/ 2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1) ^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Явные собственные функции
Основное состояние квантового гармонического осциллятора можно найти, наложив условие, что![{\displaystyle \ \psi _{0}(q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a\ \psi _{0}(q)=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Записанная в виде дифференциального уравнения, волновая функция удовлетворяет условию
![{\displaystyle q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}q^{2}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Константа нормализации C находится из , используя интеграл Гаусса . Явные формулы для всех собственных функций теперь можно найти повторным применением к . [7]![{\displaystyle 1/{\sqrt[{4}]{\pi }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{\dagger }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Матричное представление
Матричное выражение операторов рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора относительно указанного выше ортонормированного базиса имеет вид
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0& {\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\ 0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]a&= {\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0& \dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Их можно получить через отношения и . Собственные векторы — это векторы квантового гармонического осциллятора, их иногда называют «числовым базисом».![{\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\left\langle \psi _{i}\right|a^{\dagger }\left|\psi _{j}\right\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{ij} =\left\langle \psi _{i} \right|a\left|\psi _{j}\right\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi _{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обобщенные операторы создания и уничтожения
Благодаря теории представлений и C*-алгебрам, выведенные выше операторы на самом деле являются конкретным примером более обобщенного понятия операторов рождения и уничтожения в контексте алгебр CCR и CAR . Математически и даже в более общем смысле лестничные операторы можно понимать в контексте корневой системы полупростой группы Ли и связанной с ней полупростой алгебры Ли без необходимости реализации представления в виде операторов в функциональном гильбертовом пространстве . [8]
В случае представления в гильбертовом пространстве операторы строятся следующим образом: Пусть — одночастичное гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние одной частицы). ( Бозонная ) алгебра CCR над — это алгебра с оператором сопряжения (называемая * ), абстрактно порожденная элементами , где свободно пробегает по , подчиняясь соотношениям![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle a (f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[a(f),a(g)\right]&=\left[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\right ]=0\\[1ex]\left[a(f),a^{\dagger }(g)\right]&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
обозначениях бра-кетОтображение из в бозонную алгебру CCR должно быть комплексно антилинейным (это добавляет больше отношений). Его сопряженным является , и отображение является комплексным линейным в H . Таким образом , встраивается как комплексное векторное подпространство в собственную алгебру CCR. В представлении этой алгебры элемент будет реализован как оператор уничтожения и как оператор создания.![{\ displaystyle a: f \ to a (f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{\dagger }(f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle a (f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{\dagger }(f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В общем, алгебра CCR бесконечномерна. Если мы возьмем пополнение банахового пространства, оно станет C*-алгеброй . Алгебра CCR тесно связана с алгеброй Вейля , но не идентична ей . [ нужны разъяснения ]![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для фермионов (фермионная) алгебра CAR над строится аналогично, но вместо этого используются антикоммутаторные соотношения, а именно![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\ \[1ex]\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Алгебра CAR конечномерна только в том случае, если она конечномерна. Если мы возьмем пополнение банахового пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно станет алгеброй . Алгебра CAR тесно связана с алгеброй Клиффорда , но не идентична ей . [ нужны разъяснения ]![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Физически говоря, удаляет (то есть уничтожает) частицу в состоянии , тогда как создает частицу в состоянии .![{\ displaystyle a (f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |f\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{\dagger }(f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |f\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вакуумное состояние свободного поля — это состояние без частиц, характеризующееся![{\textstyle \left\vert 0\right\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если нормировано так, что , то дает число частиц в состоянии .![{\displaystyle |f\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle f|f\rangle =1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |f\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Операторы рождения и уничтожения для уравнений реакции-диффузии
Описание операторов уничтожения и рождения также оказалось полезным для анализа классических уравнений реакции диффузии, таких как ситуация, когда молекулы газа диффундируют и взаимодействуют при контакте, образуя инертный продукт: . Чтобы увидеть, как такого рода реакции могут быть описаны с помощью формализма операторов уничтожения и рождения, рассмотрим частицы в узле i одномерной решетки. Каждая частица движется вправо или влево с определенной вероятностью, и каждая пара частиц в одном и том же месте аннигилирует друг друга с некоторой другой вероятностью.![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A+A\to \emptyset}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вероятность того, что одна частица покинет сайт за короткий период времени dt , пропорциональна , скажем, вероятности прыжка влево и прыжка вправо. Все частицы с вероятностью останутся на месте . (Поскольку время dt настолько короткое, вероятность того, что двое или более уйдут во время dt , очень мала и будет проигнорирована.)![{\displaystyle n_{i}\,dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha n_{i}dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha n_{i}\,dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь мы можем описать заселение решетки частицами как «кет» вида . Он представляет собой сопоставление (или конъюнкцию, или тензорное произведение) числа состояний , расположенных в отдельных узлах решетки. Напомним, что![{\displaystyle |\dots,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |n_{0}\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |n_{1}\rangle,\dots}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a\left|n\right\rangle = {\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{\dagger}\left|n\right\rangle = {\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
n ≥ 0![{\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это определение операторов теперь будет изменено, чтобы учесть «неквантовую» природу этой проблемы, и мы будем использовать следующее определение: [9]
![{\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n \right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
отметим, что хотя поведение операторов на кетах было изменено, эти операторы по-прежнему подчиняются коммутационному соотношению
![{\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь определите , чтобы оно применялось к . Соответственно определим как применительно к . Так, например, конечным эффектом является перемещение частицы из -го места в i -е при умножении на соответствующий коэффициент.![{\displaystyle a_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |n_{i}\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{i}^{\dagger }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{\dagger }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |n_{i}\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (я-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это позволяет записать чисто диффузионное поведение частиц как
![{\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1 }^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left (a_ {i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Член реакции можно вывести, заметив, что частицы могут взаимодействовать по -разному, так что вероятность аннигиляции пары равна , что дает член![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle n (n-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda n(n-1)dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где числовое состояние n заменяется числовым состоянием n - 2 на узле с определенной скоростью.![{\displaystyle я}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Таким образом, государство развивается путем
![{\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\ кинжал }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2 }-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Другие виды взаимодействий могут быть включены аналогичным образом.
Такой тип обозначений позволяет использовать методы квантовой теории поля при анализе реакционно-диффузионных систем. [10]
Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля
В квантовых теориях поля и задачах многих тел работают с операторами рождения и уничтожения квантовых состояний и . Эти операторы изменяют собственные значения числового оператора ,![{\displaystyle a_{i}^{\dagger }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{i}^{\,}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
квантовые числакортежатома водорода![{\displaystyle я}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (п,\ell,м,с)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в системе нескольких бозонов таковы:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j} ^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger }, a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кронекера
![{\displaystyle [\cdot,\cdot]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta _{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором .![{\displaystyle \{\cdot,\cdot \}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{ \dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j }^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle я\neq j}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если состояния, отмеченные i , являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H , то результат этой конструкции совпадает с конструкцией алгебры CCR и алгебры CAR из предыдущего раздела, кроме одного. Если они представляют собой «собственные векторы», соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, тогда интерпретация более тонкая.
Нормализация
В то время как Зи [11] получает нормализацию импульсного пространства посредством симметричного соглашения для преобразований Фурье, Тонг [12] и Пескин и Шредер [13] используют общее асимметричное соглашение для получения . Каждый выводит .![{\displaystyle [{\hat {a}} _ {\mathbf {p} }, {\hat {a}} _ {\mathbf {q} }^{\dagger }] = \delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [{\hat {a}} _ {\mathbf {p} }, {\hat {a}} _ {\mathbf {q} }^{\dagger }] = (2\pi )^{3 }\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x}), {\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {Икс} ')}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Средницкий дополнительно объединяет Лоренц-инвариантную меру со своей асимметричной мерой Фурье, что дает . [14]![{\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi)^{3}2\omega }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [{\hat {a}} _ {\mathbf {k} }, {\hat {a}} _ {\mathbf {k} '}^{\dagger }] = (2\pi )^{ 3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Примечания
- ^ Нормальный оператор имеет представление A = B + i C , где B , C самосопряжены и коммутируют , т.е. Напротив, a имеет представление где самосопряжены, но . Тогда B и C имеют общий набор собственных функций (и одновременно диагонализуемы), тогда как p и q, как известно, не имеют и не являются таковыми.
![{\displaystyle BC=CB}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a=q+ip}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p,q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [p,q]=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Рекомендации
- ^ Фейнман 1998, с. 151
- ^ Дирак, PAMD (1927). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения», Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265.
- ^ Вайнберг, Стивен (1995). «4». Квантовая теория полей Том 1 . Издательство Кембриджского университета. п. 169. ИСБН 9780521670531.
- ^ Фейнман 1998, с. 167
- ^ Фейнман 1998, стр. 174–5.
- ^ abc Брэнсон, Джим. «Квантовая физика в UCSD» . Проверено 16 мая 2012 г.
- ^ Этот и дальнейший операторный формализм можно найти в Glimm and Jaffe, Quantum Physics , стр. 12–20.
- ^ Харрис, Фултон, Теория представленийстр. 164
- ^ Прюсснер, Гуннар. «Анализ реакционно-диффузионных процессов методами теории поля» (PDF) . Проверено 31 мая 2021 г.
- ^ Баэз, Джон Карлос (2011). Теория сетей (серия сообщений в блоге; первый пост). Позже адаптирован в Баэза, Джона Карлоса; Биамонте, Джейкоб Д. (апрель 2018 г.). Квантовые методы в стохастической механике . дои : 10.1142/10623.
- ^ Зи, А. (2003). Квантовая теория поля в двух словах . Издательство Принстонского университета. п. 63. ИСБН 978-0691010199.
- ^ Тонг, Дэвид (2007). Квантовая теория поля. п. 24,31 . Проверено 3 декабря 2019 г.
- ^ Пескин, М .; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-50397-5.
- ^ Средницкий, Марк (2007). Квантовая теория поля. Издательство Кембриджского университета. стр. 39, 41. ISBN. 978-0521-8644-97. Проверено 3 декабря 2019 г.
- Фейнман, Ричард П. (1998) [1972]. Статистическая механика: Сборник лекций (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-36076-9.
- Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья. Ч. XII. В сети