Разложение кластера

В физике свойство кластерного разложения утверждает, что эксперименты, проводимые далеко друг от друга, не могут влиять друг на друга. Обычно применяемое к квантовой теории поля , оно требует, чтобы вакуумные ожидаемые значения операторов , локализованных в ограниченных областях, факторизовались всякий раз, когда эти области становятся достаточно удаленными друг от друга. Впервые сформулированное Эйвиндом Вихманном и Джеймсом Х. Крайтоном в 1963 году в контексте S -матрицы , ^[1]Стивен Вайнберг предположил , что в пределе низкой энергии свойство кластерного разложения вместе с лоренц-инвариантностью и квантовой механикой неизбежно приводит к квантовой теории поля. Теория струн удовлетворяет всем трем условиям и, таким образом, дает контрпример против того, что это верно во всех энергетических масштабах. ^[2]

Формулировка

S -матрица описывает амплитуду для процесса с начальным состоянием , переходящим в конечное состояние . Если начальное и конечное состояния состоят из двух кластеров, с и близкими друг к другу, но далекими от пары и , то свойство разложения кластера требует, чтобы S - матрица факторизовалась $S_{\бета \альфа}$ $\альфа$ $\бета$ $\альфа _{1}$ $\бета _{1}$ $\альфа _{2}$ $\бета _{2}$

S_{\beta \alpha }\rightarrow S_{\beta _{1}\alpha _{1}}S_{\beta _{2}\alpha _{2}}

по мере увеличения расстояния между двумя кластерами. Физическая интерпретация этого заключается в том, что любые два пространственно хорошо разделенных эксперимента не могут влиять друг на друга. ^[3] Это условие является основополагающим для возможности заниматься физикой без знания состояния всей вселенной . Расширяя S -матрицу в сумму произведения связанных элементов S -матрицы , которые на уровне возмущений эквивалентны связанным диаграммам Фейнмана , свойство разложения кластера можно переформулировать как требование того, чтобы связанные элементы S -матрицы должны исчезать всякий раз, когда некоторые из ее кластеров частиц находятся далеко друг от друга. $\alpha _{1}\rightarrow \beta _{1}$ $\alpha _{2}\rightarrow \beta _{2}$ $S_{\бета \альфа}^{c}$

Эта формулировка пространства положения может быть также переформулирована в терминах S -матрицы импульсного пространства . ^[4] Поскольку ее преобразование Фурье дает связанную S -матрицу пространства положения , это зависит только от положения через экспоненциальные члены. Поэтому выполнение равномерного переноса в направлении на подмножестве частиц эффективно изменит S -матрицу импульсного пространства как ${\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}$ ${\boldsymbol {a}}$

{\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}\xrightarrow {{\boldsymbol {x}}_{i}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{i}+{\boldsymbol {a}}} e^{i{\boldsymbol {a}}\cdot (\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i})}{\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}.

По трансляционной инвариантности , трансляция всех частиц не может изменить S -матрицу, поэтому должна быть пропорциональна дельта-функции, сохраняющей импульс , чтобы гарантировать, что экспоненциальный фактор трансляции равен нулю. Если есть дополнительная дельта-функция только подмножества импульсов, соответствующих некоторому кластеру частиц, то этот кластер может быть перемещен сколь угодно далеко посредством трансляции без изменения S -матрицы, что нарушит разложение кластера. Это означает, что в импульсном пространстве свойство требует, чтобы S -матрица имела только одну дельта-функцию. ${\tilde {S}}_{\beta \alpha }$ $\delta (\Sigma {\boldsymbol {p}})$

Разложение кластера также можно сформулировать в терминах корреляционных функций , где для любых двух операторов и локализованных в некоторой области, значения вакуумного ожидания факторизуются, поскольку два оператора становятся удаленно разделенными ${\mathcal {O}}_{1}(x)$ ${\mathcal {O}}_{2}(x)$

\lim _{|{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty }\langle {\mathcal {O}}_{1}({\boldsymbol {x}}){\mathcal {O}} _{2}(0)\rangle \rightarrow \langle {\mathcal {O}}_{1}\rangle \langle {\mathcal {O}}_{2}\rangle .

Эта формулировка позволяет применять свойство к теориям, в которых отсутствует S -матрица, таким как конформные теории поля . Именно в терминах этих функций Уайтмана свойство обычно формулируется в аксиоматической квантовой теории поля . ^[5] В некоторых формулировках, таких как евклидова конструктивная теория поля , оно явно вводится как аксиома . ^[6]

Характеристики

Если теория построена из операторов создания и уничтожения , то свойство кластерного разложения автоматически выполняется. Это можно увидеть, разложив S -матрицу как сумму диаграмм Фейнмана, что позволяет идентифицировать связанные элементы S -матрицы со связанными диаграммами Фейнмана. Вершины возникают всякий раз, когда операторы создания и уничтожения коммутируют друг с другом, оставляя после себя одну дельта-функцию импульса. В любой связанной диаграмме с V вершинами, I внутренними линиями и L петлями, IL дельта-функций идут на фиксацию внутренних импульсов, оставляя V-(IL) дельта-функции незафиксированными. Форма формулы Эйлера гласит, что любой граф с C непересекающимися связными компонентами удовлетворяет C = V-I+L. Поскольку связанные элементы S -матрицы соответствуют диаграммам C=1, они имеют только одну дельта-функцию, и, таким образом, свойство кластерного разложения, сформулированное выше в импульсном пространстве в терминах дельта-функций, выполняется.

Микропричинность, локальное условие, требующее, чтобы коммутационные отношения локальных операторов исчезали для пространственноподобных разделений , является достаточным условием для того, чтобы S -матрица удовлетворяла кластерному разложению. В этом смысле кластерное разложение служит для S -матрицы той же цели, что и микропричинность для полей , предотвращая распространение причинного влияния между удаленно разделенными областями. ^[7] Однако кластерное разложение слабее, чем отсутствие сверхсветовой причинности, поскольку его можно сформулировать и для классических теорий. ^[8]

Одним из ключевых требований для кластерного разложения является то, что оно требует уникального вакуумного состояния , при этом оно не выполняется, если вакуумное состояние является смешанным состоянием . ^[9] Скорость, с которой корреляционные функции факторизуются, зависит от спектра теории, где, если она имеет разрыв массы , то имеет место экспоненциальный спад, в то время как, если присутствуют безмассовые частицы , то он может быть таким же медленным, как . ^[10] $м$ $\langle \phi (x) \phi (0) \rangle \sim e^{-m|x|}$ $1/|x|^{2}$

Ссылки

^ Wichmann, EH; Crichton, JH (1963). «Свойства разложения кластера матрицы S». Phys. Rev. 132 ( 6). Американское физическое общество: 2788–2799. Bibcode : 1963PhRv..132.2788W. doi : 10.1103/PhysRev.132.2788.
^ Вайнберг, С. (1996). Что такое квантовая теория поля, и что мы думали, что это такое? . Конференция по историческому исследованию и философским размышлениям об основах квантовой теории поля. стр. 241–251. arXiv : hep-th/9702027 .
^ Шварц, MD (2014). "7". Квантовая теория поля и стандартная модель . Cambridge University Press. стр. 96–97. ISBN 9781107034730.
^ Weinberg, S. (1995). "4". Квантовая теория полей: основы . Том 1. Cambridge University Press. С. 177–188. ISBN 9780521670531.
^ Боголюбов, Н.Н .; Логунов А.А. ; Тодоров, И.Т. (1975). Введение в аксиоматическую квантовую теорию поля . Перевод Fulling, SA ; Попова, Л.Г. (1-е изд.). Бенджамин. стр. 272–282. ISBN 9780805309829.
^ Яголницер, Д. (1993). "3". Рассеяние в квантовых теориях поля. Аксиоматический и конструктивный подходы . Princeton University Press. С. 155–156. ISBN 9780691633282.
^ Браун, Л. С. (1992). "6". Квантовая теория поля . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 311–313. doi :10.1017/CBO9780511622649. ISBN 978-0521469463.
^ Bain, J. (1998). «Weinberg on Qft: Demonstrative Induction and Underdetermination». Synthese . 117 (1): 7–8. doi :10.1023/A:1005025424031. JSTOR 20118095. S2CID 9049200.
^ Вайнберг, С. (1995). "19". Квантовая теория полей: современные приложения . Том 2. Cambridge University Press. стр. 167. ISBN 9780521670548.
^ Стритер, Р. Ф .; Вайтман, А. С. (2000) [1964]. "3". PCT, спин и статистика и все такое . Принстон: Princeton University Press. стр. 113. ISBN 978-0691070629.