Операторы создания и уничтожения

Операторы, полезные в квантовой механике

Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы , которые имеют широкое применение в квантовой механике , особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем. ^[1] Оператор уничтожения (обычно обозначаемый ) уменьшает количество частиц в данном состоянии на одну. Оператор рождения (обычно обозначаемый ) увеличивает количество частиц в данном состоянии на одну и является сопряженным оператором уничтожения. Во многих разделах физики и химии использование этих операторов вместо волновых функций известно как второе квантование . Их представил Поль Дирак . ^[2] ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

Операторы рождения и уничтожения могут действовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто действуют на электронные состояния. Они также могут относиться конкретно к лестничным операторам квантового гармонического осциллятора . В последнем случае повышающий оператор интерпретируется как оператор создания, добавляющий в колебательную систему квант энергии (аналогично для понижающего оператора). Их можно использовать для представления фононов . Построение гамильтонианов с использованием этих операторов имеет то преимущество, что теория автоматически удовлетворяет теореме о кластерном разложении . ^[3]

Математика операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора . ^[4] Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, а все остальные коммутаторы исчезают. Однако для фермионов математика другая: вместо коммутаторов используются антикоммутаторы . ^[5]

Лестничные операторы для квантового гармонического осциллятора

В контексте квантового гармонического осциллятора лестничные операторы интерпретируются как операторы создания и уничтожения, добавляющие или вычитающие фиксированные кванты энергии в систему осцилляторов.

Операторы рождения/уничтожения различны для бозонов (целый спин) и фермионов (полуцелый спин). Это происходит потому, что их волновые функции имеют разные свойства симметрии .

Сначала рассмотрим более простой бозонный случай фотонов квантового гармонического осциллятора. Начнем с уравнения Шредингера для одномерного независимого от времени квантового гармонического осциллятора :

$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

Сделайте замену координат, чтобы обезразмерить дифференциальное уравнение .

$${\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.}$$

Уравнение Шрёдингера для генератора принимает вид

$${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

Обратите внимание, что эта величина представляет собой ту же энергию, что и найденная для квантов света , и что скобка в гамильтониане может быть записана как ${\displaystyle \hbar \omega =h\nu }$

$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}.}$$

Последние два члена можно упростить, рассмотрев их влияние на произвольную дифференцируемую функцию. ${\displaystyle f(q),}$

$${\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}=1,}$$

${\displaystyle -i[q,p]=1}$ ${\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}$

Поэтому,

$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1}$$

$${\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}$$

Если определить

$${\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)}$$

«оператор создания»«оператор повышения»

$${\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ \ \ \!{\frac {d}{dq}}+q\right)}$$

«оператора уничтожения»«оператора понижения»

$${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

Полагая , где – безразмерный оператор импульса, который имеем ${\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle [q,p]=i\,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что они подразумевают

$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}$$

Операторы и можно противопоставить обычным операторам , которые коммутируют со своими сопряженными. ^{[номер 1]} ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle a^{\dagger }\,}$

Используя приведенные выше коммутационные соотношения, оператор Гамильтона можно выразить как

$${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}$$

Можно вычислить коммутационные соотношения между операторами и и гамильтонианом: ^[6] ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle a^{\dagger }\,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

Эти соотношения можно использовать, чтобы легко найти все собственные состояния энергии квантового гармонического осциллятора следующим образом.

Предполагая, что это собственное состояние гамильтониана . Используя эти коммутационные соотношения, следует, что ^[6] ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}}$$

Это показывает, что и также являются собственными состояниями гамильтониана с собственными значениями и соответственно. Это идентифицирует операторы и как операторы «понижения» и «повышения» между соседними собственными состояниями. Разность энергий между соседними собственными состояниями равна . ${\displaystyle a\psi _{n}}$ ${\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}$ ${\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }$ ${\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle \Delta E=\hbar \omega }$

Основное состояние можно найти, предположив, что понижающий оператор имеет нетривиальное ядро: с . Применяя гамильтониан к основному состоянию, ${\displaystyle a\,\psi _{0}=0}$ ${\displaystyle \psi _{0}\neq 0}$

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}$$

${\displaystyle \psi _{0}}$

Это дает энергию основного состояния , что позволяет идентифицировать собственное значение энергии любого собственного состояния как ^[6] ${\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

$${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

Более того, оказывается, что первый из упомянутых в (*) числовых операторов играет наиболее важную роль в приложениях, а второй можно просто заменить на . ${\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,}$ ${\displaystyle aa^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle N+1}$

Следовательно,

$${\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}$$

Тогда оператор эволюции во времени

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}$$

Явные собственные функции

Основное состояние квантового гармонического осциллятора можно найти, наложив условие, что ${\displaystyle \ \psi _{0}(q)}$

$${\displaystyle a\ \psi _{0}(q)=0.}$$

Записанная в виде дифференциального уравнения, волновая функция удовлетворяет условию

$${\displaystyle q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0}$$

$${\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}q^{2}\right).}$$

Константа нормализации C находится из , используя интеграл Гаусса . Явные формулы для всех собственных функций теперь можно найти повторным применением к . ^[7] ${\displaystyle 1/{\sqrt[{4}]{\pi }}}$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$

Матричное представление

Матричное выражение операторов рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора относительно указанного выше ортонормированного базиса имеет вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]a&={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Их можно получить через отношения и . Собственные векторы — это векторы квантового гармонического осциллятора, их иногда называют «числовым базисом». ${\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\left\langle \psi _{i}\right|a^{\dagger }\left|\psi _{j}\right\rangle }$ ${\displaystyle a_{ij}=\left\langle \psi _{i}\right|a\left|\psi _{j}\right\rangle }$ ${\displaystyle \psi _{i}}$

Обобщенные операторы создания и уничтожения

Благодаря теории представлений и C*-алгебрам, выведенные выше операторы на самом деле являются конкретным примером более обобщенного понятия операторов рождения и уничтожения в контексте алгебр CCR и CAR . Математически и даже в более общем смысле лестничные операторы можно понимать в контексте корневой системы полупростой группы Ли и связанной с ней полупростой алгебры Ли без необходимости реализации представления в виде операторов в функциональном гильбертовом пространстве . ^[8]

В случае представления в гильбертовом пространстве операторы строятся следующим образом: Пусть — одночастичное гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние одной частицы). ( Бозонная ) алгебра CCR над — это алгебра с оператором сопряжения (называемая * ), абстрактно порожденная элементами , где свободно пробегает по , подчиняясь соотношениям ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a(f)}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a(f),a(g)\right]&=\left[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\right]=0\\[1ex]\left[a(f),a^{\dagger }(g)\right]&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}}$$

обозначениях бра-кет

Отображение из в бозонную алгебру CCR должно быть комплексно антилинейным (это добавляет больше отношений). Его сопряженным является , и отображение является комплексным линейным в H . Таким образом , встраивается как комплексное векторное подпространство в собственную алгебру CCR. В представлении этой алгебры элемент будет реализован как оператор уничтожения и как оператор создания. ${\displaystyle a:f\to a(f)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ ${\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a(f)}$ ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$

В общем, алгебра CCR бесконечномерна. Если мы возьмем пополнение банахового пространства, оно станет C*-алгеброй . Алгебра CCR тесно связана с алгеброй Вейля , но не идентична ей . ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle H}$

Для фермионов (фермионная) алгебра CAR над строится аналогично, но вместо этого используются антикоммутаторные соотношения, а именно ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\\[1ex]\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}}$$

Алгебра CAR конечномерна только в том случае, если она конечномерна. Если мы возьмем пополнение банахового пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно станет алгеброй . Алгебра CAR тесно связана с алгеброй Клиффорда , но не идентична ей . ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C^{*}}$

Физически говоря, удаляет (то есть уничтожает) частицу в состоянии , тогда как создает частицу в состоянии . ${\displaystyle a(f)}$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ ${\displaystyle |f\rangle }$

Вакуумное состояние свободного поля — это состояние без частиц, характеризующееся ${\textstyle \left\vert 0\right\rangle }$

$${\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}$$

Если нормировано так, что , то дает число частиц в состоянии . ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle \langle f|f\rangle =1}$ ${\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}$ ${\displaystyle |f\rangle }$

Операторы рождения и уничтожения для уравнений реакции-диффузии

Описание операторов уничтожения и рождения также оказалось полезным для анализа классических уравнений реакции диффузии, таких как ситуация, когда молекулы газа диффундируют и взаимодействуют при контакте, образуя инертный продукт: . Чтобы увидеть, как такого рода реакции могут быть описаны с помощью формализма операторов уничтожения и рождения, рассмотрим частицы в узле i одномерной решетки. Каждая частица движется вправо или влево с определенной вероятностью, и каждая пара частиц в одном и том же месте аннигилирует друг друга с некоторой другой вероятностью. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+A\to \emptyset }$ ${\displaystyle n_{i}}$

Вероятность того, что одна частица покинет сайт за короткий период времени dt , пропорциональна , скажем, вероятности прыжка влево и прыжка вправо. Все частицы с вероятностью останутся на месте . (Поскольку время dt настолько короткое, вероятность того, что двое или более уйдут во время dt , очень мала и будет проигнорирована.) ${\displaystyle n_{i}\,dt}$ ${\displaystyle \alpha n_{i}dt}$ ${\displaystyle \alpha n_{i}\,dt}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}$

Теперь мы можем описать заселение решетки частицами как «кет» вида . Он представляет собой сопоставление (или конъюнкцию, или тензорное произведение) числа состояний , расположенных в отдельных узлах решетки. Напомним, что ${\displaystyle |\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }$ ${\displaystyle \dots ,|n_{-1}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{0}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{1}\rangle ,\dots }$

$${\displaystyle a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle }$$

$${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,}$$

n ≥ 0

$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Это определение операторов теперь будет изменено, чтобы учесть «неквантовую» природу этой проблемы, и мы будем использовать следующее определение: ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}$$

отметим, что хотя поведение операторов на кетах было изменено, эти операторы по-прежнему подчиняются коммутационному соотношению

$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Теперь определите , чтобы оно применялось к . Соответственно определим как применительно к . Так, например, конечным эффектом является перемещение частицы из -го места в i -е при умножении на соответствующий коэффициент. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |n_{i}\rangle }$ ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle |n_{i}\rangle }$ ${\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle (i-1)}$

Это позволяет записать чисто диффузионное поведение частиц как

$${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .}$$

Член реакции можно вывести, заметив, что частицы могут взаимодействовать по -разному, так что вероятность аннигиляции пары равна , что дает член ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)}$ ${\displaystyle \lambda n(n-1)dt}$

$${\displaystyle \lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}$$

где числовое состояние n заменяется числовым состоянием n - 2 на узле с определенной скоростью. ${\displaystyle i}$

Таким образом, государство развивается путем

$${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle }$$

Другие виды взаимодействий могут быть включены аналогичным образом.

Такой тип обозначений позволяет использовать методы квантовой теории поля при анализе реакционно-диффузионных систем. ^[10]

Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля

В квантовых теориях поля и задачах многих тел работают с операторами рождения и уничтожения квантовых состояний и . Эти операторы изменяют собственные значения числового оператора , ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle a_{i}^{\,}}$

$${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},}$$

квантовые числакортежатома водорода ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (n,\ell ,m,s)}$

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в системе нескольких бозонов таковы:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}}$$

Кронекера_ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором . ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle i\neq j}$

Если состояния, отмеченные i , являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H , то результат этой конструкции совпадает с конструкцией алгебры CCR и алгебры CAR из предыдущего раздела, кроме одного. Если они представляют собой «собственные векторы», соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, тогда интерпретация более тонкая.

Нормализация

В то время как Зи ^[11] получает нормализацию импульсного пространства посредством симметричного соглашения для преобразований Фурье, Тонг ^[12] и Пескин и Шредер ^[13] используют общее асимметричное соглашение для получения . Каждый выводит . ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

Средницкий дополнительно объединяет Лоренц-инвариантную меру со своей асимметричной мерой Фурье, что дает . ^[14] ${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$ ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}$

Смотрите также

• Фокское пространство
• Пространство Сигала – Баргмана
• Оптическое фазовое пространство
• Преобразование Боголюбова–Валатина.
• Преобразование Гольштейна – Примакова
• Преобразование Джордана – Вигнера
• Преобразование Джордана – Швингера
• Преобразование Клейна
• Канонические коммутационные соотношения

Примечания

1. Нормальный оператор имеет представление A = B + i C , где B , C самосопряжены и коммутируют , т.е. Напротив, a имеет представление где самосопряжены, но . Тогда B и C имеют общий набор собственных функций (и одновременно диагонализуемы), тогда как p и q, как известно, не имеют и не являются таковыми. ${\displaystyle BC=CB}$ ${\displaystyle a=q+ip}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle [p,q]=1}$

Рекомендации

1. Фейнман 1998, с. 151
2. Дирак, PAMD (1927). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения», Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265.
3. Вайнберг, Стивен (1995). «4». Квантовая теория полей Том 1 . Издательство Кембриджского университета. п. 169. ИСБН 9780521670531.
4. Фейнман 1998, с. 167
5. Фейнман 1998, стр. 174–5.
6. Брэнсон, Джим. «Квантовая физика в UCSD» . Проверено 16 мая 2012 г.
7. Этот и дальнейший операторный формализм можно найти в Glimm and Jaffe, Quantum Physics , стр. 12–20.
8. Харрис, Фултон, Теория представленийстр. 164
9. Прюсснер, Гуннар. «Анализ реакционно-диффузионных процессов методами теории поля» (PDF) . Проверено 31 мая 2021 г.
10. Баэз, Джон Карлос (2011). Теория сетей (серия сообщений в блоге; первый пост). Позже адаптирован в Баэза, Джона Карлоса; Биамонте, Джейкоб Д. (апрель 2018 г.). Квантовые методы в стохастической механике . дои : 10.1142/10623.
11. Зи, А. (2003). Квантовая теория поля в двух словах . Издательство Принстонского университета. п. 63. ИСБН 978-0691010199.
12. Тонг, Дэвид (2007). Квантовая теория поля. п. 24,31 . Проверено 3 декабря 2019 г.
13. Пескин, М .; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-50397-5.
14. Средницкий, Марк (2007). Квантовая теория поля. Издательство Кембриджского университета. стр. 39, 41. ISBN. 978-0521-8644-97. Проверено 3 декабря 2019 г.

• Фейнман, Ричард П. (1998) [1972]. Статистическая механика: Сборник лекций (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-36076-9.
• Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья. Ч. XII. В сети