В физике волновой пакет (также известный как волновой ряд или группа волн ) представляет собой короткий всплеск локализованного волнового действия, который распространяется как единое целое, очерченное огибающей . Волновой пакет может быть проанализирован или синтезирован из потенциально бесконечного набора составляющих синусоидальных волн с разными волновыми числами , с такими фазами и амплитудами, что они конструктивно интерферируют только в небольшой области пространства и деструктивно в других местах. [1] Любой сигнал ограниченной ширины во времени или пространстве требует множества частотных составляющих вокруг центральной частоты в пределах полосы пропускания , обратно пропорциональной этой ширине; даже функция Гаусса считается волновым пакетом, потому что ее преобразование Фурье представляет собой «пакет» волн частот, сгруппированных вокруг центральной частоты. [2] Каждая составляющая волновая функция и, следовательно, волновой пакет являются решениями волнового уравнения . В зависимости от волнового уравнения профиль волнового пакета может оставаться постоянным (отсутствие дисперсии) или может меняться (дисперсия) при распространении.
Идеи, связанные с волновыми пакетами – модуляцией , несущими волнами , фазовой скоростью и групповой скоростью – датируются серединой 1800-х годов. Идея групповой скорости, отличной от фазовой скорости волны, была впервые предложена У. Р. Гамильтоном в 1839 году, а первое полное изложение было сделано Рэлеем в его «Теории звука» в 1877 году. [3]
Эрвин Шредингер представил идею волновых пакетов сразу после публикации своего знаменитого волнового уравнения . [4] Он решил свое волновое уравнение для квантового гармонического осциллятора , ввел принцип суперпозиции и использовал его, чтобы показать, что компактное состояние может сохраняться. Хотя эта работа и привела к созданию важной концепции когерентных состояний , концепция волнового пакета не сохранилась. Через год после статьи Шредингера Вернер Гейзенберг опубликовал свою статью о принципе неопределенности , показав при этом, что результаты Шредингера применимы только к квантовым гармоническим осцилляторам , а не, например, к кулоновскому потенциалу , характерному для атомов. [4] : 829
В следующем, 1927 году, Чарльз Гальтон Дарвин исследовал уравнение Шредингера для несвязанного электрона в свободном пространстве, предположив, что исходный волновой пакет имеет гауссовую форму. [5] Дарвин показал, что через некоторое время положение пакета, движущегося со скоростью, будет
где – неопределенность в начальном положении.
Позже, в 1927 году, Пауль Эренфест показал, что время распространения волнового пакета материи шириной и массой в 2 раза составляет Поскольку он настолько мал, волновые пакеты масштаба макроскопических объектов с большой шириной и массой удваиваются только в космических масштабах времени. [4] : 830
Квантовая механика описывает природу атомных и субатомных систем с помощью волнового уравнения Шрёдингера . Классический предел квантовой механики и многие формулировки квантового рассеяния используют волновые пакеты, образованные из различных решений этого уравнения. Профили квантовых волновых пакетов изменяются по мере распространения; они показывают дисперсию. Физики пришли к выводу, что «волновые пакеты не подходят для представления субатомных частиц». [4] : 829
Шрёдингер разработал волновые пакеты в надежде интерпретировать квантово-волновые решения как локально компактные волновые группы. [4] Такие пакеты компромиссной локализации положения для распространения импульса. В координатном представлении волны (например, в декартовой системе координат ) положение локализованной вероятности частицы задается положением пакетного решения. Чем уже пространственный волновой пакет и, следовательно, чем лучше локализовано положение волнового пакета, тем больше разброс импульса волны . Этот компромисс между спредом позиции и спредом импульса является характерной особенностью принципа неопределенности Гейзенберга.
Один из видов оптимального компромисса минимизирует произведение неопределенности позиции и неопределенности импульса . [6] : 60 Если мы поместим такой пакет в покое, он останется в покое: среднее значение положения и импульса соответствует классической частице. Однако он распространяется во всех направлениях со скоростью, определяемой неопределенностью оптимального количества движения . Распространение происходит настолько быстро, что на расстоянии одного круга вокруг атома волновой пакет становится неузнаваемым.
Взаимодействие частиц в физике называется рассеянием ; Математика волновых пакетов играет важную роль в подходах к квантовому рассеянию . Монохроматический (одиночный импульс) источник создает трудности сходимости в моделях рассеяния. [7] : 150 Задачи рассеяния также имеют классические пределы. Всякий раз, когда мишень рассеяния (например, атом) имеет размер, намного меньший, чем волновой пакет, центр волнового пакета следует классическим траекториям рассеяния. В других случаях волновой пакет искажается и рассеивается при взаимодействии с целью. [8] : 295
Без дисперсии волновой пакет сохраняет свою форму по мере распространения. В качестве примера распространения без дисперсии рассмотрим волновые решения следующего волнового уравнения из классической физики:
где c — скорость распространения волны в данной среде.
Используя физическое соглашение о времени, e − iωt , волновое уравнение имеет решения в виде плоских волн .
где
Это соотношение между ω и k должно быть справедливым, чтобы плоская волна была решением волнового уравнения. Оно называется дисперсионным соотношением .
Для упрощения рассмотрим только волны, распространяющиеся в одном измерении (распространение на три измерения не вызывает затруднений). Тогда общее решение
Волновой пакет — это локализованное возмущение, возникающее в результате суммы множества различных волновых форм . Если пакет сильно локализован, необходимо больше частот, чтобы обеспечить конструктивную суперпозицию в области локализации и деструктивную суперпозицию за ее пределами. Из основных решений в одном измерении общую форму волнового пакета можно выразить как
Как и в случае плоской волны, волновой пакет движется вправо при ω ( k ) = kc , поскольку u ( x , t ) = F ( x − ct ) , и влево при ω ( k ) = − kc , поскольку ты ( Икс , т ) знак равно F ( Икс + ct ) .
Этот фактор исходит из соглашений о преобразовании Фурье . Амплитуда A ( k ) содержит коэффициенты линейной суперпозиции плосковолновых решений. Эти коэффициенты, в свою очередь, могут быть выражены как функция u ( x , t ) , оцененная при t = 0 путем инвертирования приведенного выше соотношения преобразования Фурье:
Например, выбирая
мы получаем
и наконец
Недисперсионное распространение действительной или мнимой части этого волнового пакета представлено на анимации выше.
Напротив, в качестве примера дисперсии , когда волна меняет форму во время распространения, вместо этого рассмотрим решения уравнения Шредингера (безразмерного с 2Δ x , m и ħ , установленными равными единице),
Еще раз, ограничивая внимание одним измерением, решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее начальному условию , представляющее волновой пакет, локализованный в пространстве в начале координат, видится как
Впечатление о дисперсионном поведении этого волнового пакета можно получить, взглянув на плотность вероятности:
Профиль импульса A ( k ) остается инвариантным. Вероятностный ток
Вышеупомянутый дисперсионный гауссовский волновой пакет, ненормированный и просто центрированный в начале координат, вместо этого, при t =0, теперь может быть записан в 3D, теперь в стандартных единицах: [9] [10]
Преобразование Фурье также является гауссовым с точки зрения волнового числа, k -вектора (с обратной шириной,
Каждая отдельная волна вращается во времени только по фазе, так что зависящее от времени решение с преобразованием Фурье имеет вид
Обратное преобразование Фурье по-прежнему является гауссовым, но теперь параметр a стал комплексным, и появился общий коэффициент нормализации. [6]
Интеграл от Ψ по всему пространству инвариантен, поскольку он является скалярным произведением Ψ с состоянием нулевой энергии, которое представляет собой волну с бесконечной длиной волны, постоянную функцию пространства. Для любого собственного состояния энергии η ( x ) внутренний продукт
Интеграл ∫ |Ψ| 2 d 3 r также является инвариантом, что является утверждением сохранения вероятности. Явно,
в котором √ a — ширина P ( r ) в момент t = 0 ; r — расстояние от начала координат; скорость частицы равна нулю; и начало времени t = 0 может быть выбрано произвольно.
Ширина гауссианы — интересная величина, которую можно определить по плотности вероятности |Ψ| 2 ,
Например, если электронный волновой пакет изначально локализован в области атомных размеров (т. е. 10–10 м ), то ширина пакета удваивается примерно за 10–16 с . Очевидно, что волновые пакеты частиц действительно распространяются очень быстро (в свободном пространстве): [12] Например, через 1 мс ширина вырастет примерно до километра.
Этот линейный рост является отражением (независимой от времени) неопределенности импульса: волновой пакет ограничен узким диапазоном Δ x = √ a /2 и, таким образом, имеет импульс, который неопределенен (согласно принципу неопределенности) на величину ħ / √ 2 a , разброс скорости ħ/m √ 2 a , и, таким образом, в будущем положении на ħt /m √ 2 a . Тогда соотношение неопределенности представляет собой строгое неравенство, действительно очень далекое от насыщения! Первоначальная неопределенность Δ x Δ p = ħ /2 теперь увеличилась в ħt/ma раз (при больших t ).
Гауссова двумерная квантовая волновая функция:
где
[13]
В отличие от вышеупомянутого гауссовского волнового пакета, было замечено [14] , что определенная волновая функция, основанная на функциях Эйри , распространяется свободно без дисперсии огибающей, сохраняя свою форму. Он ускоряется неискаженно в отсутствие силового поля:
Тем не менее, в этой бессиловой ситуации нет никакого диссонанса с теоремой Эренфеста , поскольку состояние одновременно ненормируемо и имеет неопределенное (бесконечное) ⟨ x ⟩ во все времена. (Насколько это можно было определить, ⟨ p ⟩ = 0 во все времена, несмотря на кажущееся ускорение фронта.)
В фазовом пространстве это очевидно в квазивероятном распределении Вигнера в чистом состоянии этого волнового пакета, форма которого по x и p инвариантна с течением времени, но характеристики которого ускоряются вправо при ускорении парабол B ( x − B 3 t 2 ) + ( п / B - tB 2 ) 2 знак равно 0 ,
Обратите внимание, что распределение импульса, полученное путем интегрирования по всем x, является постоянным. Поскольку это плотность вероятности в импульсном пространстве , очевидно, что сама волновая функция не нормируема.
Пределом узкой ширины обсуждаемого гауссовского волнового пакета является ядро свободного пропагатора K . Для других дифференциальных уравнений это обычно называют функцией Грина, [15] , но в квантовой механике традиционно зарезервировать название функции Грина для временного преобразования Фурье K .
Возвращаясь для простоты к одному измерению, когда m и ħ установлены равными единице, когда a — бесконечно малая величина ε , гауссово начальное условие, масштабированное так, чтобы его интеграл был равен единице,
Заметим, что очень узкий начальный волновой пакет мгновенно становится бесконечно широким, но с фазой, которая является более быстроколебательной при больших значениях x . Это может показаться странным — решение переходит от локализации в одной точке к тому, чтобы быть «везде» во все более поздние моменты времени , но это является отражением огромной неопределенности импульса локализованной частицы, как объяснено выше.
Далее заметим, что норма волновой функции бесконечна, что тоже верно, поскольку точно так же расходится квадрат дельта-функции .
Множитель, включающий ε, представляет собой бесконечно малую величину, которая необходима для того, чтобы гарантировать корректность определения интегралов по K. В пределе, когда ε → 0 , K становится чисто осциллирующим, а интегралы от K не сходятся абсолютно. В оставшейся части этого раздела он будет установлен равным нулю, но для того, чтобы все интегрирования по промежуточным состояниям были четко определены, предел ε → 0 следует принимать только после расчета конечного состояния.
Пропагатор — это амплитуда достижения точки x в момент времени t , начиная с начала координат, x = 0. Благодаря трансляционной инвариантности амплитуда достижения точки x при старте из точки y представляет собой одну и ту же функцию, только теперь преобразованную:
В пределе, когда t мало, пропагатор переходит к дельта-функции
Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что интеграл по всему пространству K всегда равен 1:
Таким образом, ядро распространения — это (будущая) эволюция дельта-функции во времени, и в некотором смысле оно непрерывно: оно переходит к исходной дельта-функции на малых временах. Если исходная волновая функция представляет собой бесконечно узкий пик в положении y ,
Теперь, поскольку каждую функцию можно записать как взвешенную сумму таких узких пиков,
Таким образом, это формальный способ выразить фундаментальное решение или общее решение . Интерпретация этого выражения заключается в том, что амплитуда частицы, находящейся в точке x в момент времени t , равна амплитуде, с которой она стартовала в точке y , умноженной на амплитуду, которую она прошла от y до x , суммированную по всем возможным начальным точкам . Другими словами, это свертка ядра K с произвольным начальным условием ψ 0 ,
Поскольку амплитуду перемещения от x до y за время t + t ' можно рассматривать в два этапа, пропагатор подчиняется тождеству состава:
Распространение волновых пакетов в квантовой механике напрямую связано с разбросом плотностей вероятности при диффузии . Для частицы, которая беспорядочно ходит , функция плотности вероятности в любой точке удовлетворяет уравнению диффузии (см. также уравнение теплопроводности )
Решением этого уравнения является расширяющаяся гауссиана,
Распространяющийся гауссиан является ядром распространения уравнения диффузии и подчиняется тождеству свертки :
Матрица имеет два индекса, что в непрерывном пространстве делает ее функцией x и x '. В этом случае из-за трансляционной инвариантности матричный элемент K зависит только от разности позиций, и удобным злоупотреблением обозначениями является обращение к оператору, матричным элементам и функции разности под одним и тем же именем:
Трансляционная инвариантность означает, что непрерывное умножение матриц
Экспонента может быть определена в диапазоне t s, который включает комплексные значения, при условии, что интегралы по ядру распространения остаются сходящимися,
Пределом этого выражения для z , приближающегося к чисто мнимой оси, является встреченный выше пропагатор Шрёдингера:
Исходя из фундаментальной идентичности возведения в степень или интеграции путей,
Таким образом, квантовая эволюция гауссианы, которая представляет собой комплексное диффузионное ядро K ,
Это иллюстрирует вышеупомянутую диффузионную форму комплексных гауссовских решений: