Полиномы Эрмита

Полиномиальная последовательность

В математике полиномы Эрмита представляют собой классическую последовательность ортогональных полиномов .

Полиномы возникают в:

• обработка сигналов в виде эрмитовых вейвлетов для анализа вейвлет-преобразования
• вероятность , такая как ряд Эджворта , а также в связи с броуновским движением ;
• комбинаторика , как пример последовательности Аппеля , подчиняющейся теневому исчислению ;
• численный анализ в виде квадратуры Гаусса ;
• физика , где они порождают собственные состояния квантового гармонического осциллятора ; и они также встречаются в некоторых случаях уравнения теплопроводности ( когда этот член присутствует); ${\displaystyle {\begin{aligned}xu_{x}\end{aligned}}}$
• Теория систем в связи с нелинейными операциями над гауссовским шумом .
• Теория случайных матриц в гауссовских ансамблях .

Полиномы Эрмита были определены Пьером-Симоном Лапласом в 1810 году, ^{[1] [2]} , хотя и в малоузнаваемой форме, и подробно изучены Пафнутием Чебышевым в 1859 году . ^[3] Работа Чебышева осталась без внимания, и они были названы позже в честь Чарльза Эрмита. , который писал о полиномах в 1864 году, назвав их новыми. ^[4] Следовательно, они не были новыми, хотя Эрмит был первым, кто определил многомерные полиномы в своих более поздних публикациях 1865 года.

Определение

Как и другие классические ортогональные полиномы , полиномы Эрмита могут быть определены из нескольких разных отправных точек. С самого начала отметив, что широко используются две разные стандартизации, один из удобных методов заключается в следующем:

• «Вероятностные полиномы Эрмита» имеют вид
  $${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$$
• в то время как «полиномы Эрмита физики» имеют вид
  $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$$

Эти уравнения имеют форму формулы Родригеса и также могут быть записаны как:

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

Эти два определения не совсем идентичны; каждый является масштабированием другого:

$${\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$$

Это полиномиальные последовательности Эрмита различной дисперсии; см. материал о отклонениях ниже.

Обозначения He и H используются в стандартных ссылках. ^[5] Полиномы He _n иногда обозначаются H _n , особенно в теории вероятностей, потому что

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$$

функция плотности вероятностинормального распределенияожидаемым значениемстандартным отклонением

Первые шесть вероятностных полиномов Эрмита He _n ( x )

Первые шесть (физических) полиномов Эрмита H _n ( x )

• Первые одиннадцать вероятностных полиномов Эрмита:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{0}(x)&=1,\\{\mathit {He}}_{1}(x)&=x,\\{\mathit {He}}_{2}(x)&=x^{2}-1,\\{\mathit {He}}_{3}(x)&=x^{3}-3x,\\{\mathit {He}}_{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\{\mathit {He}}_{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\{\mathit {He}}_{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\{\mathit {He}}_{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\{\mathit {He}}_{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\{\mathit {He}}_{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\{\mathit {He}}_{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}}$$
• Первые одиннадцать полиномов Эрмита физики:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}}$$

Характеристики

Полином Эрмита n - го порядка — это многочлен степени n . Версия вероятностного He _n имеет ведущий коэффициент 1, а версия физика H _n имеет ведущий коэффициент 2 ⁿ .

Симметрия

Из приведенных выше формул Родригеса мы видим, что H _n ( x ) и He _n ( x ) являются четными или нечетными функциями , зависящими от n :

$${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad {\mathit {He}}_{n}(-x)=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{n}(x).}$$

Ортогональность

H _n ( x ) и He _n ( x ) являются полиномами n -й степени для n = 0, 1, 2, 3,... . Эти полиномы ортогональны относительно весовой функции ( меры )

$${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}{\mathit {He}})}$$

$${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$$

Более того,

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$$

дельта Кронекера ${\displaystyle \delta _{nm}}$

Таким образом, вероятностные полиномы ортогональны относительно стандартной нормальной функции плотности вероятности.

Полнота

Полиномы Эрмита (вероятностные или физические) образуют ортогональный базис гильбертова пространства функций, удовлетворяющих

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$$

Гаусса w ( x )

Ортогональный базис для L2 ( R , w ⁽ x ) dx ) является полной ортогональной системой . Для ортогональной системы полнота эквивалентна тому, что 0-функция является единственной функцией f ∈ L2 ( ^R , w ( x ) dx ) , ортогональной всем функциям в системе.

Поскольку линейная оболочка полиномов Эрмита представляет собой пространство всех полиномов, необходимо показать (в случае физики), что если f удовлетворяет условию

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

n ≥ 0f = 0

Один из возможных способов сделать это — осознать, что вся функция

$${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

F ( it ) = 0t,преобразование Фурье( x ) e − ^{x 2 равно}f

В случае Эрмита также возможно доказать явное тождество, предполагающее полноту (см. раздел об отношении полноты ниже).

Эквивалентная формулировка того факта, что полиномы Эрмита являются ортогональным базисом для L ² ( R , w ( x ) dx ) , состоит во введении функций Эрмита (см. ниже) и в утверждении, что функции Эрмита являются ортонормированным базисом для L ² ( Р ) .

Дифференциальное уравнение Эрмита

Полиномы Эрмита вероятностного специалиста являются решениями дифференциального уравнения

$${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$$

λuλ ${\displaystyle u(x)=C_{1}He_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle C_{1}}$

Переписывание дифференциального уравнения как проблемы собственных значений

$${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$$

собственные функцииуравнением Эрмита ${\displaystyle He_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle L[u]}$

$${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$$

u ${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle C_{1}}$

Общие решения приведенных выше дифференциальных уравнений второго порядка фактически представляют собой линейные комбинации как полиномов Эрмита, так и вырожденных гипергеометрических функций первого рода. Например, для уравнения Эрмита физика

$${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$$

$${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$$

вырожденные гипергеометрические функции первого рода ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$

При наличии более общих граничных условий полиномы Эрмита можно обобщить для получения более общих аналитических функций для комплекснозначных λ . Также возможна явная формула полиномов Эрмита через контурные интегралы (Курант и Гильберт, 1989).

Рекуррентное отношение

Последовательность вероятностных полиномов Эрмита также удовлетворяет рекуррентному соотношению

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x).}$$

$${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

а _0,0 = 1а _1,0 = 0а _1,1 = 1

Для полиномов физика, предполагая

$${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$$

$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$$

$${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

а _0,0 = 1а _1,0 = 0а _1,1 = 2

Полиномы Эрмита составляют последовательность Аппелла , т. е. представляют собой полиномиальную последовательность, удовлетворяющую тождеству

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}'(x)&=n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Интегральная рекуррентность, выведенная и продемонстрированная в ^[6], выглядит следующим образом:

$${\displaystyle He_{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}He_{n}(t)dt-He'_{n}(0),}$$

$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).}$$

Эквивалентно, с помощью расширения Тейлора ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}{\mathit {He}}_{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right){\mathit {He}}_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$$

теневые

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

Следовательно, для m -х производных справедливы следующие соотношения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}{\mathit {He}}_{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}{\mathit {He}}_{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$$

Отсюда следует, что полиномы Эрмита также удовлетворяют рекуррентному соотношению

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n+1}(x)&=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Эти последние соотношения вместе с исходными полиномами H ₀ ( x ) и H ₁ ( x ) можно использовать на практике для быстрого вычисления полиномов.

Неравенства Турана :

$${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}$$

Более того, имеет место следующая теорема умножения :

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\{\mathit {He}}_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}{\mathit {He}}_{n-2i}(x).\end{aligned}}}$$

Явное выражение

Полиномы Эрмита физики можно явно записать как

$${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$$

Эти два уравнения можно объединить в одно с помощью функции пола :

$${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$$

Полиномы Эрмита He имеют аналогичные формулы, которые можно получить из них, заменив степень 2 x соответствующей степенью √ 2  x и умножив всю сумму на 2 ^—н/2:

$${\displaystyle He_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$$

Обратное явное выражение

Обратные к приведенным выше явным выражениям, то есть выражения для мономов в терминах вероятностных полиномов Эрмита He , равны

$${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}He_{n-2m}(x).}$$

Соответствующие выражения для полиномов Эрмита физика H следуют непосредственно при правильном масштабировании: ^[7]

$${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$$

Генерирующая функция

Полиномы Эрмита задаются экспоненциальной производящей функцией

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

Это равенство справедливо для всех комплексных значений x и t и может быть получено путем записи разложения Тейлора в точке x всей функции z → e ^{− z 2} (в случае физика). Можно также получить производящую функцию (физика), используя интегральную формулу Коши для записи полиномов Эрмита в виде

$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$$

Используя это в сумме

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$$

Ожидаемые значения

Если X — случайная величина с нормальным распределением со стандартным отклонением 1 и ожидаемым значением μ , то

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[{\mathit {He}}_{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$$

Моменты стандартной нормали (с нулевым математическим ожиданием) можно считать непосредственно из соотношения для четных индексов:

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{2n}(0)=(2n-1)!!,}$$

(2 n − 1)!!двойной факториал

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$$

Асимптотическое расширение

Асимптотически при n → ∞ разложение ^[8]

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$$

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$$

приближение Стирлинга

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

Это разложение необходимо для разрешения волновой функции квантового гармонического осциллятора так, чтобы она согласовывалась с классическим приближением в пределе принципа соответствия .

Лучшее приближение, учитывающее изменение частоты, имеет вид

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

В более тонком приближении ^[9] , учитывающем неравномерное расстояние между нулями вблизи краев, используется замена

$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$$

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$$

Аналогичные приближения справедливы для монотонной и переходной областей. В частности, если

$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$$

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$$

$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$$

t

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$$

Aiфункция Эйри

Особые значения

Полиномы Эрмита, полученные физиком при нулевом аргументе H _n (0), называются числами Эрмита .

$${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$$

H _n (0) = −2( n − 1) H _{n − 2} (0)

С точки зрения вероятностных полиномов это переводится как

$${\displaystyle He_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$$

Отношения с другими функциями

Полиномы Лагерра

Полиномы Эрмита можно выразить как частный случай полиномов Лагерра :

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}}$$

Связь с вырожденными гипергеометрическими функциями

Полиномы Эрмита физики могут быть выражены как частный случай функций параболического цилиндра :

$${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}$$

правой полуплоскостиU ( a , b , z )вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}}$$

₁ F ₁ ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z )вырожденная гипергеометрическая функция Куммера

Полиномиальное разложение Эрмита

Подобно разложению Тейлора, некоторые функции выражаются в виде бесконечной суммы полиномов Эрмита. В частности, если , то он имеет разложение в полиномах Эрмита физики. ^[10] ${\displaystyle \int e^{-x^{2}}f(x)^{2}dx<\infty }$

Учитывая это , частичные суммы разложения Эрмита сходятся к по норме тогда и только тогда, когда . ^[11] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 4/3<p<4}$

$${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,(n-2k)!}}\,H_{n-2k}(x)=n!\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,2^{k}\,(n-2k)!}}\,He_{n-2k}(x),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.}$$

$${\displaystyle e^{ax}=e^{a^{2}/4}\sum _{n\geq 0}{\frac {a^{n}}{n!\,2^{n}}}\,H_{n}(x),\qquad a\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} .}$$

$${\displaystyle e^{-a^{2}x^{2}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{n!\left(1+a^{2}\right)^{n+1/2}2^{2n}}}\,H_{2n}(x).}$$

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\mathrm {~d} t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(2k+1)2^{3k}}}H_{2k}(x).}$$

$${\displaystyle \cosh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k)!}}\,H_{2k}(x),\qquad \sinh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x).}$$

$${\displaystyle \cos(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k}\,(2k)!}}\,H_{2k}(x)\quad \sin(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x)}$$

Дифференциально-операторное представление

Полиномы Эрмита вероятностного специалиста удовлетворяют тождеству

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},}$$

Dxэкспонентастепенной ряд

Поскольку коэффициенты экспоненты в степенном ряду хорошо известны, а производные монома x ⁿ более высокого порядка могут быть записаны явно, это дифференциально-операторное представление приводит к конкретной формуле для коэффициентов H _n , которую можно использовать чтобы быстро вычислить эти полиномы.

Поскольку формальным выражением преобразования Вейерштрасса W является e ^{D 2} , мы видим, что преобразование Вейерштрасса ( √ 2 ) ⁿ He _n (Икс/√ 2) — это х ^п . По сути, преобразование Вейерштрасса превращает ряд полиномов Эрмита в соответствующий ряд Маклорена .

Существование некоторого формального степенного ряда g ( D ) с ненулевым постоянным коэффициентом, такого, что He _n ( x ) = ^g ( D ) xn , является еще одним эквивалентом утверждения, что эти многочлены образуют последовательность Аппелла . Поскольку они являются последовательностью Апелля, они тем более являются последовательностями Шеффера .

Контурно-интегральное представление

Из приведенного выше представления производящей функции мы видим, что полиномы Эрмита имеют представление в терминах контурного интеграла , как

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}$$

Обобщения

Определенные выше полиномы Эрмита вероятностного средства ортогональны относительно стандартного нормального распределения вероятностей, функция плотности которого равна

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$$

Масштабируя, аналогично можно говорить об обобщенных полиномах Эрмита ^[12]

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)}$$

αα

$${\displaystyle (2\pi \alpha )^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.}$$

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).}$$

Сейчас если

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},}$$

n-й

$${\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,{\mathit {He}}_{k}^{[\beta ]}(x)}$$

теневой композицией

$${\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)={\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)}$$

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[\beta ]}(y).}$$

параметризованное семействобиномиального типа для α = β =1/2

«Отрицательная дисперсия»

Поскольку полиномиальные последовательности образуют группу при операции теневой композиции , можно обозначить через

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)}$$

α > 0 ${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)}$ ${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)}$

Они возникают как моменты нормального распределения вероятностей: n -й момент нормального распределения с ожидаемым значением µ и дисперсией σ ² равен

$${\displaystyle E[X^{n}]={\mathit {He}}_{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),}$$

X

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[-\alpha ]}(y)={\mathit {He}}_{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}$$

Функции Эрмита

Определение

Можно определить функции Эрмита (часто называемые функциями Эрмита-Гаусса) из полиномов физики:

$${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$$

$${\displaystyle {\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x).}$$

Поскольку эти функции содержат квадратный корень из весовой функции и были соответствующим образом масштабированы, они ортонормированы :

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},}$$

L ² ( R )

Функции Эрмита тесно связаны с функцией Уиттекера (Whittaker & Watson 1996) D _n ( z ) :

$${\displaystyle D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}}$$

функциям параболического цилиндра

Функции Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению

$${\displaystyle \psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.}$$

уравнению Шрёдингерасобственными функциями

Функции Эрмита: 0 (синий, сплошной), 1 (оранжевый, пунктирный), 2 (зеленый, пунктирный), 3 (красный, пунктирный), 4 (фиолетовый, сплошной) и 5 ​​(коричневый, пунктирный).

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}(x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{\sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}}$$

Функции Эрмита: 0 (синий, сплошной), 2 (оранжевый, пунктирный), 4 (зеленый, пунктирный) и 50 (красный, сплошной).

Отношение рекурсии

Следуя рекурсивным соотношениям полиномов Эрмита, функции Эрмита подчиняются

$${\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$$

$${\displaystyle x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x).}$$

Распространение первого соотношения на произвольные m -ые производные для любого натурального числа m приводит к

$${\displaystyle \psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x){\mathit {He}}_{k}(x).}$$

Эту формулу можно использовать в сочетании с рекуррентными соотношениями для He _n и ψ _n для эффективного вычисления любой производной функций Эрмита.

Неравенство Крамера

Для вещественного x функции Эрмита удовлетворяют следующей оценке Харальда Крамера ^{[13] [14]} и Джека Индрица: ^[15]

$${\displaystyle {\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

Функции Эрмита как собственные функции преобразования Фурье

Функции Эрмита ψ _n ( x ) представляют собой набор собственных функций непрерывного преобразования Фурье F . Чтобы увидеть это, возьмите физическую версию производящей функции и умножьте на e ^{—1/2х 2} . Это дает

$${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

Преобразование Фурье левой части имеет вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\right\}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){\frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

Преобразование Фурье правой части имеет вид

$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

Приравнивание одинаковых степеней t в преобразованных версиях левой и правой частей в конечном итоге дает

$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).}$$

Таким образом , функции Эрмита ψn ₍ x ) являются ортонормированным базисом L2 ⁽ R ) , который диагонализует оператор преобразования Фурье . ^[16]

Распределения Вигнера функций Эрмита

Функция распределения Вигнера функции Эрмита n -го порядка связана с полиномом Лагерра n -го порядка . Полиномы Лагерра:

$${\displaystyle L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},}$$

$${\displaystyle l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).}$$

n^[17],

$${\displaystyle W_{\psi _{n}}(t,f)=(-1)^{n}l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2}){\big )},}$$

x ∈ L ² ( R , C )

$${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$$

квантового гармонического осциллятораХипом Гроневолдом^[18]квантовой механики в фазовом пространстве

Между двумя семействами полиномов существуют и другие отношения .

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

В полиноме Эрмита He _n ( x ) дисперсии 1 абсолютное значение коэффициента при x ^k представляет собой количество (неупорядоченных) разбиений набора n -элементов на k одиночных элементов ип - к/2(неупорядоченные) пары. Эквивалентно, это количество инволюций набора из n -элементов ровно с k неподвижными точками или, другими словами, количество паросочетаний в полном графе на n вершинах, которые оставляют k вершин непокрытыми (действительно, полиномы Эрмита - это паросочетания полиномы этих графов). Сумма абсолютных значений коэффициентов дает общее количество разбиений на одиночки и пары, так называемые телефонные номера.

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... (последовательность A000085 в OEIS ).

Эта комбинаторная интерпретация может быть связана с полными экспоненциальными полиномами Белла следующим образом:

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}$$

x _i знак равно 0i > 2

Эти числа также могут быть выражены как специальные значения полиномов Эрмита: ^[19]

$${\displaystyle T(n)={\frac {{\mathit {He}}_{n}(i)}{i^{n}}}.}$$

Отношение полноты

Формула Кристоффеля -Дарбу для полиномов Эрмита гласит:

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}$$

Более того, в смысле распределений для указанных выше функций Эрмита справедливо следующее тождество полноты :

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),}$$

δдельта-функция Диракаψ _{n —}δ ( x − y )меру Лебегаy = xR ²

Это тождество распределения следует Винеру (1958), беря u → 1 в формуле Мелера , справедливой, когда −1 < u < 1 :

$${\displaystyle E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),}$$

^{[20] [21]}

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.}$$

Функция ( x , y ) → E ( x , y ; u ) представляет собой двумерную гауссову плотность вероятности на R ² , которая, когда u близка к 1, очень сконцентрирована вокруг линии y = x и очень разбросана по линии R 2 . эта линия. Следует, что

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},g\rangle =\iint E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle }$$

fg

Отсюда следует, что f можно выразить через функции Эрмита как сумму ряда векторов из L ² ( R ) , а именно:

$${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.}$$

Чтобы доказать приведенное выше равенство для E ( x , y ; u ) , преобразование Фурье гауссовских функций используется неоднократно:

$${\displaystyle \rho {\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\rho ^{2}x^{2}}{4}}}=\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{for }}\rho >0.}$$

Полином Эрмита тогда представляется как

$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds.}$$

С помощью этого представления для H _n ( x ) и H _n ( y ) очевидно, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\quad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.}$$

Смотрите также

• Преобразование Эрмита
• Полиномы Лежандра
• Ядро Мелера
• Функция параболического цилиндра
• Полиномы Романовского
• Неравенства Турана

Примечания

1. Лаплас (1811). «Записки об определенных интегралах и их применении к вероятностям, и особенно к поиску среднего значения, которое необходимо выбирать среди результатов наблюдений]. Mémoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut Imperial de France (на французском языке). 11 : 297–347.
2. Лаплас, П.-С. (1812), Théorie Analytique des Probilités [ Аналитическая теория вероятностей ], том. 2, стр. 194–203.Собраны в Œuvres Completes VII.
3. Чебышев, П. (1860). «Sur le développement des fonctions à une seulevarium» [О разработке функций с одной переменной]. Бюллетень Имперской академии наук Санкт-Петербурга (на французском языке). 1 : 193–200.Собрано в Œuvres I, 501–508.
4. Эрмит, К. (1864). «Sur un nouveau développement en série de fonctions» [О новом развитии функциональной серии]. ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 58 : 93–100.Собрано в Œuvres II , 293–303.
5. Том Х. Коорнвиндер, Родерик С.К. Вонг и Рулоф Кукук и др. (2010) и Абрамовиц и Стегун .
6. Уртадо Бенавидес, Мигель Анхель. (2020). Де-лас-суммы-де-потенциалы, лас-аппелл и ваши особенности в функциональных целях. [Тесис де маэстрия]. Университет Серджио Арболеды.
7. "18. Ортогональные полиномы, классические ортогональные полиномы, суммы" . Электронная библиотека математических функций . Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 30 января 2015 г.
8. Абрамовиц и Стегун 1983, с. 508–510, 13.6.38 и 13.5.16.
9. Сегё 1955, с. 201
10. «Учебник MATHEMATICA, часть 2.5: Расширение Эрмита» . www.cfm.brown.edu . Проверено 24 декабря 2023 г.
11. Аски, Ричард; Вайнгер, Стивен (1965). «Средняя сходимость разложений в ряды Лагерра и Эрмита». Американский журнал математики . 87 (3): 695–708. дои : 10.2307/2373069. ISSN  0002-9327.
12. Роман, Стивен (1984), Теневое исчисление , Чистая и прикладная математика, том. 111 (1-е изд.), Academic Press, стр. 87–93, ISBN. 978-0-12-594380-2
13. Эрдели и др. 1955, с. 207.
14. Сегё 1955.
15. Индриц, Джек (1961), «Неравенство для полиномов Эрмита», Труды Американского математического общества , 12 (6): 981–983, doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0132852-2 , MR  0132852
16. В этом случае мы использовали унитарную версию преобразования Фурье, поэтому собственные значения равны (− i ) ⁿ . Последующее разрешение идентичности затем служит для определения степеней, в том числе дробных, преобразования Фурье, то есть обобщения дробного преобразования Фурье , по сути, ядра Мелера .
17. Фолланд, Великобритания (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Анналы математических исследований, том. 122, Издательство Принстонского университета, ISBN 978-0-691-08528-9
18. Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G. дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
19. Бандерье, Сирил; Буске-Мелу, Мирей ; Дениз, Ален; Флажоле, Филипп ; Гарди, Даниэль; Гую-Бошам, Доминик (2002), «Производящие функции для генерации деревьев», Discrete Mathematics , 246 (1–3): 29–55, arXiv : math/0411250 , doi : 10.1016/S0012-365X(01)00250-3 , МР  1884885, S2CID  14804110
20. Мелер, Ф.Г. (1866), «Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung» [О разработке функции произвольного числа переменных в соответствии с функциями Лапласа высшего порядка], Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке) (66): 161–176, ISSN  0075-4102, ERAM  066.1720cj.. См. стр. 174, экв. (18) и с. 173, экв. (13).
21. Эрдели и др. 1955, с. 194, 10,13 (22).

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 773. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1989) [1953], Методы математической физики , том. 1, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-50447-4
• Эрдели, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции (PDF) , том. II, МакГроу-Хилл, ISBN 978-0-07-019546-2
• Федорюк, М.В. (2001) [1994], «Функция Эрмита», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Коорнвиндер, Том Х .; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• Лаплас, PS (1810), «Мемуар о интегральных определениях и применении вероятностей и специальных исследованиях среды, которые не могут быть выбраны из результатов наблюдений», Mémoires de l'Académie des Sciences : 279–347Oeuvres complètes 12, стр. 357–412, английский перевод. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine .
• Шохат, Дж.А.; Хилле, Эйнар; Уолш, Джозеф Л. (1940), Библиография по ортогональным полиномам , Бюллетень Национального исследовательского совета, том. Номер 103, Вашингтон, округ Колумбия: Национальная академия наук.- 2000 библиографических ссылок по полиномам Эрмита.
• Суетин, П.К. (2001) [1994], «Полиномы Эрмита», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Сегё, Габор (1955) [1939], Ортогональные полиномы , Публикации коллоквиума, том. 23 (4-е изд.), Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-1023-1
• Темме, Нико (1996), Специальные функции: введение в классические функции математической физики , Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-11313-3
• Винер, Норберт (1958) [1933], Интеграл Фурье и некоторые его приложения (переработанная редакция), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-60272-9
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1996) [1927], Курс современного анализа (4-е изд.), Лондон: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-58807-2

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с полиномами Эрмита, на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Эрмита». Математический мир .
• Научная библиотека GNU — включает C- версию полиномов Эрмита, функций, их производных и нулей (см. также Научную библиотеку GNU ).